Teoria della relatività-4
19 dicembre 2014
Nuova definizione della quantità di moto
Teorema dell’energia cinetica
Espressione dell’energia cinetica
Energia relativistica, energia a riposo
Relazione tra energia e QM
Conservazione dell’energia relativistica
Relazione tra forza e accelerazione
Forza parallela alla velocità
Forza perpendicolare alla velocità
Quantità di moto
• Si puo` dimostrare che in relatività bisogna introdurre
una nuove definizione di quantità di moto (di un punto
materiale di massa m), affinche’ il principio di
conservazione di questa grandezza continui a valere
• La definizione classica p mu viene ora sostituita
da
p m u u
2
Energia cinetica
• Vogliamo trovare l’espressione dell’energia cinetica
per una particella che viene accelerata da una forza
F da velocità iniziale uA fino ad una velocità uB
F
u
3
Energia cinetica
• Partiamo dal lavoro elementare
dp
ds
dW F ds
ds dp dp u
dt
dt
• Esplicitiamo il differenziale della QM
dp d m u u mdu mdu
• Il lavoro finito è
W
B
A
B
B
B
B
A
A
A
A
dW mdu mdu u mu ud mu du
mu2 d
B
mudu
A
4
Energia cinetica
• Esprimiamo u in funzione di
1
2
2
u c 1 2
c2
du 3 d
u
• Otteniamo
2
B
B
B
1
c
2
2
2
W mc 1 2 d m 2 d mc d mc B A
A
A
A
• Il lavoro della forza esterna si ritrova come
variazione di energia cinetica del corpo (th.
dell’energia cinetica) W K K
B
A
5
Energia cinetica
• E quindi l’energia cinetica si puo` scrivere come
K mc2 const .
• Per determinare la costante poniamo uA=0, in tal
caso =1 e K=0, ne segue const . mc 2
2
• L’energia cinetica è dunque K mc 1
• Si introduce anche l’energia relativistica
E K mc 2 mc 2
• Tale relazione stabilisce l’equivalenza tra massa ed
energia
2
• Il termine mc è la cosiddetta energia a riposo, cioè
quella posseduta dal corpo fermo
6
Relazione tra K e p in
meccanica classica
• Possiamo esprimere K in funzione di p
eliminando v dalle equazioni classiche
1 2
p mv
K mv
2
• Troviamo le relazioni
p2
K
2m
p 2mK
7
Relazione tra E e p in relatività
• Similmente in relatività eliminiamo v dalle eqq.
E mc 2
p mu
• Dividendo membro a membro otteniamo
• Reintroducendo u in
pc 2
u
E
E
E 2 p 2c 2
• e sostituendo in E abbiamo
E 2 p 2c 2 m2c 4
8
Particelle senza massa
• Un’onda em puo` essere considerata, in meccanica
quantistica, come un insieme di fotoni, particelle
senza massa che viaggiano alla velocita` fissa c
• Molte delle relazioni che abbiamo trovato perdono di
significato per particelle di massa nulla
2
• Esempi ne sono E mc , p mu ove la massa è
nulla e è infinita
2
2 2
2 4
• La relazione E p c m c continua invece a
valere e diviene semplicemente E pc
9
Casi limite di E e p in relatività
1
1 u2
1
2
2
2
2
c
1 u c
• Caso u<<c , diventa
• QM ed energia diventano, all’ordine piu` basso in u
2
1
u
1 2
2
2
p mu
E mc 1
mc mu
2
2
2c
2
• L’energia cinetica diventa
1
p
K E mc 2 mu 2
2
2m
• Cioè ritroviamo le espressioni newtoniane per p e K
• Caso ultrarelativistico u~c , QM ed energia
diventano
E pc
p mc
10
Conservazione di E
• Si puo` dimostrare che l’energia relativistica E
di un sistema isolato si conserva
E K mc
2
• Poiche’ E è somma di energia cinetica K e
energia a riposo, ne segue che, in generale,
ne’ K ne’ l’energia a riposo (la ‘massa’) si
conservano separatamente
• Vediamo un esempio semplice
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Conservazione di E
• Supponiamo di avere due corpi di massa m
che si urtano centralmente con velocità uguali
e contrarie
• Inizialmente abbiamo una massa, un’energia
cinetica e un’energia relativistica pari a
M i m m 2m
K i mc 2 1 mc 2 1 2mc 2 1
Ei mc mc 2mc
2
2
2
12
Conservazione di E
• Supponiamo che l’urto sia totalmente
anelastico, nello stato finale avremo un unico
oggetto fermo di massa M
• Dopo l’urto abbiamo una massa, un’energia
cinetica e un’energia relativistica pari a
Mf M
Kf 0
E f Mc 2
13
Conservazione di E
• Applichiamo ora la conservazione di E: E f Ei
2
2
• Ne segue che Mc 2mc cioè la massa
finale è maggiore della massa iniziale
M f M i 2m 2m 2m 1
• Poiche’ l’urto è totalmente anelastico, c’è
perdita di energia cinetica
K f Ki 0 2mc 1
2
14
Conservazione di E
• Per il primo principio della termodinamica ci
dev’essere una produzione di calore Q (<0) pari alla
perdita di energia cinetica
Q K f Ki 2mc 2 1
• Dal punto di vista relativistico, a questo calore
corrisponde l’aumento di massa del sistema
Q
M f Mi 2 0
c
• Questo è un’esempio di equivalenza tra massa ed
energia
15
Conservazione di E
• In realtà il concetto di massa va pensato non come
somma delle sole masse dei singoli costituenti il
sistema, ma anche dell’energia interna del sistema
K1 K 2
2mc2 1
M i mm
2m
2m M
2
2
c
c
• In tal modo la ‘massa relativistica’ si conserva, è
infatti un’altro modo di scrivere la conservazione
dell’energia relativistica
f
Ei 2mc Mc E f
2
2
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Relazione tra accelerazione e forza
dp d
d
du
• Partiamo dall’eq. F
mu m u m
dt dt
dt
dt
• Ricordando che K E mc 2 mc 2 mc 2
• Abbiamo dK dE
d 2
dt
dt
m
dt
c
• Sostituendo nell’espressione della forza e ricordando
du
che
dK dW dp u dp
a
dt
• otteniamo
dt
dt
dt
dt
u F u
d
du u
F m u m
2 F u ma
dt
dt c
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Relazione tra accelerazione e forza
• Risolvendo per l’accelerazione
u
F
a
F u
2
m mc
• Questa eq. ci dice che in generale
l’accelerazione non è parallela alla forza
• Ci sono due casi in cui accelerazione e forza
sono parallele
– Quando la forza è parallela alla velocità
– Quando è perpendicolare alla velocità
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F parallela a u
• In questo caso particolare
• E l’accelerazione diviene
2
u F u u Fu Fu
F
F u2
F u2 F
a
1 2
2
m m c
m c m 3
• Accelerazione e forza sono proporzionali tramite
3
m
il fattore
detto “massa longitudinale”
19
F parallela a u (esempio)
• Consideriamo una particella di massa m e carica q,
inizialmente ferma, soggetta ad un campo elettrico E
diretto lungo x
F
F
qE
a
m
m
• Passando alla proiezione lungo x
dv qE
a
3
3
dt m
v
• E separando le variabili
3
v dv dt
• La soluzione è
v
t
0
0
3
3
3
v
dv dt t
20
F parallela a u (esempio)
c 2
• Per risolvere l’integrale cambiamo variabile w 1
v
w
v dv
v
3
0
• Quindi
v
0
dv
v
1 c 2
2
32
c dw
1
3 2 c
2ww
w
v
v
1
2
v
c2
t
v
v
1 2
c
qE
t
t
m
v t
2t 2
qEt 2
1 2
1
c
mc
• Risolvendo per v
2
v
21
F parallela a u (esempio)
• Per la posizione moltiplichiamo per v l’eq. del moto
v v dv vdt dx
3
• Ricordando che vale la relazione
• otteniamo v v dv c d dx
x
• e integrando
2
3
2
1 c d 0 dx
d v 3
2
dv c
c 2 1 x
• Sostituendo il valore trovato per la velocità otteniamo
qE 2
c 2 t mc 2
x t 1
1
t
1
qE
v
mc
22
F parallela a u (esempio)
• Il limite per t 0 dà i risultati classici
• Il limite per t dà il limite relativistico
23
F perpendicolare a u
• In questo caso particolare F u 0
• E l’accelerazione diviene
F
a
m
• Accelerazione e forza sono proporzionali tramite
il fattore m detto “massa trasversale”
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F perp. a u (esempio)
• Consideriamo una particella di massa m e carica
q(<0), soggetta ad un campo magnetico B uniforme
diretto lungo z e con velocità iniziale contenuta nel B
piano perpendicolare a z
u
• La forza agente sulla particella è
F
F qu B
• ed è contenuta nel piano perpendicolare a z
• Da cio` segue che la velocità è sempre contenuta in
tale piano
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F perp. a u (esempio)
• Dette t e n le direzioni tangente e normale alla
traiettoria, l’accelerazione diviene
du ˆ u 2
a at an t nˆ
dt
R
• e l’eq. del moto
2
du
u
ˆ
F q uBnˆ ma m t nˆ
R
dt
B
u
F
• Poiche’ la forza di Lorentz è sempre perpendicolare
alla velocità quest’ultima dev’essere costante in
modulo e quindi du/dt=0, esattamente come in
meccanica classica
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F perp. a u (esempio)
• L’eq. del moto diviene allora
u2
q uB m
R
• Da cui ricaviamo il raggio (locale) della traiettoria
m
R
u
qB
• Siccome u è costante, ne segue che, se B è
uniforme, anche R è costante, cioè la traiettoria è
una circonferenza
B
u
F
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F perp. a u (esempio)
• Noto R possiamo esprimere la velocità, la QM e la
velocità angolare come segue
qB
u
R
m
p q BR
u qB
R m
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a caso generale
• L’accelerazione può essere espressa come
F||
F
a a a||
3
m m
29
