FisDispStSol4

Dinamica dei portatori
Dinamica sotto un campo esterno
Gradienti di concentrazione
Ricombinazione di coppie
Eccitazione di coppie
In un semiconduttore perfetto gli elettroni si muovono
attraverso il potenziale periodico senza scattering.
Ma imperfezioni e impurezze possono essere causa di
scattering.
In ogni urto il portatore perde memoria
dello stato precedente all’urto e quindi
riparte con un k qualsiasi
Il tempo medio tra due urti è tsc
In approssimazione
quadratica per E
dk
= Fext
dt
1
k
v =  k E k   *

m
Impurezze
→ droganti (p n) o inintenzionali
Fononi
→ vibrazioni reticolari
Leghe
→ Fluttuazioni nel potenziale
Rugosità di
superficie
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Eq del moto
→ Interfacce
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1
Scattering rate
I diversi processi di scattering
sono scorrelati tra loro.
Il rate totale è la somma dei
rate dei singoli processi
Impurezze
→ droganti o inintenzionali
RTot =  Ri
Fononi
→ vibrazioni reticolari
1
1
=  i 
τ sc i τ sc
Leghe
→ Fluttuazioni nel potenziale
Rugosità di
superficie
→ Interfacce
Lo scattering dovuto alle impurenze
diminuisce con la temperatura
Quando un cristallo è soggetto ad un campo elettrico le
Lo scattering dovuto al reticolo aumenta
cariche si muovono nella direzione del campo (gli elettroni
con la temperatura
nella direzione opposta). Se ci sono stati a k superiore la
distribuzione si sposta nel verso del campo.
Ma, a causa dello scattering, si ha una velocità di drift vd
costante nella direzione del campo
Il trattamento completo del problema richiede di risolvere una eq. differenziale per la funzione di
distribuzione per gli elettroni.
Eq. del trasporto di Boltzmann
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2
Relazione velocità - campo
Risposta a campo debole
Elettroni indipendenti
Scattering da varie sorgenti con tempo medio tra due collisioni tsc
Tra due collisioni l'elettrone si muove in accordo all'eq dell'elettrone
Dopo ogni collisione l'elettrone perde tutta
l'energia in eccesso → il gas di elettroni è in
equilibrio termico.
La velocità è quindi nulla.
Nel tempo tsc l'elettrone guadagna velocità
fino a ( v(t ) = a t )
 eFτ sc
vd =
m*
eτ sc
μ= *
m
ne 2 τ sc
J = nevd =
F
*
m
ne τ sc
m*
2
Per elettroni e buche σ =
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libero
Mobilità (cm2/Vs)
Elettr
Buche
C
800
1200
Ge
3900
1900
Si
1500
450
GaAs
8500
400
InAs
33000
460
Forte dipendenza da massa efficace (anche
attraverso t)
Nei semicond drogati t diminuisce → anche m
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3
Hall Effect
Un metodo per misurare la densità di portatori (oltre
che determinarne il segno) è fornito dall’effetto Hall
All’equilibrio abbiamo che:
qE y  qv x Bz 
q
Jp
qp
Bz
1
Ey 
Bz J p
qp
Il segno del campo trasversale mi dà il segno dei
portatori, le intensità dei campi applicati e misurati la
densità di portatori
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4
Relazione velocità - campo
Risposta a campo forte (F ~ 1 ÷100 kV/cm)
E' il caso di molti
Rate di scattering
dispositivi (FET)
molto aumentato. tsc e m
diminuiscono
La risposta dei portatori è rappresentata da una
relazione velocità - campo
Si
E0V/cm

e
7x103
2
h
2x104
1
v
A forti campi la velocità
satura ad un valore di
vs~107cm/s
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vs

  E0  
1   E  
 
 
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1
5
Fenomeni di “rottura” (breakdown)
Per campi elettrici estremamente alti (≥ 100 kV/cm)
Avvengono fenomeni di “rottura” in cui la corrente produce una “scarica”
Questo avviene per moltiplicazione dei portatori; il numero di portatori aumenta
progressivamente.
Un elettrone “caldo” ovvero con energia molto alta in banda di conduzione interagisce
con un elettrone in banda di valenza cedendogli energia e portandolo in banda di
conduzione.
Il bilancio è che da un unico portatore in banda di conduzione si termina con due
elettroni in banda di conduzione ed una buca in valenza (Valanga)
dI  z 
= αimp I
dz
Rate di impatto di portatori
Dipende fortemente dalla gap
(minima energia necessaria)
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Si definisce campo critico di rottura il valore per cui
il rate è 1 mm-1
Bandgap
(eV)
Campo critico
(V/m)
SiO2
9
107
C
5.5
107
GaAs
1.43
4x105
Si
1.1
3x105
Ge
0.664
105
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6
Tunnel banda-banda. Zener
L'elettrone vede una barriera di potenziale
triangolare alta Eg e larga d=Eg/eF
La probabilità di tunneling (per E=0)
attraverso uno spessore dx è data dal
quadrato della funzione d’onda
Trascurando le riflessioni e considerando
la sequenza di barriere di spessore dx e
altezza decrescente
( x  dx)  Ae  x  x  dx   ( x)e   x dx
 x  =

     x dx

T = e 0



d
2m
2m


E

eFx
=
Eg 1  x / d 
g
2
2


*
*
 2 d 
T= 2
 0
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=e

4
3
2 m* E g

d
e

4
3







2
2 m* E g E g

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eF
7
Trasporto per diffusione di portatori
Gradiente di concentrazione di particelle → diffusione da
zona a maggiore concentrazione a quella di minore.
Moto casuale delle particelle
In tale moto sono soggette a processi di collisione
Cammino libero medio l, tempo medio di collisione tsc
Sia n(x,t) il profilo di concentrazione
dnx,t di elettroni
nx0  l   nx0 + l  = 
2l
f(x,t) il flusso di elettroni attraverso
dx un piano x=x0

nx0  l   nx0 + l lA
l2
nx,t  =
=
2τ sc A
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dnx,t 
dnx,t 
=  Dn
τ sc dx
dx
px,t  =
dpx,t 
= Dp
dx
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8
Trasporto per diffusione di portatori
Dn coeff di diffusione → dipende da l , tsc ma anche,
indirettamente, da T.
l = vth T τ sc T 
In media vettorialmente nulla ma in modulo non nulla.
Con la diffusione avviene anche trasporto di corrente
J tot diff  = J n diff + J p diff  =
d
d
= eDn
nx,t   eD p
px,t 
dx
dx
NB: il diverso segno dei due termini
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9
Trasporto di portatori
Le cariche si muovono per l'effetto combinato di diffusione e campo
esterno.
d
J n  x  = eμn n x F  x + eDn
n x,t 
dx
d
J p  x  = eμ p p x F  x   eD p
p x,t 
dx
All'equilibrio le due correnti totali devono essere individualmente nulle.
F x  = 
Dn 1 dnx 
μn nx  dx
Possiamo esprimere n(x) in funzione
m di EF(x)
Dn
Dp
n
E −2/s)
E ( x)
@RT (cm2/s) −(cm
2/Vs)
(cm
(
)
k T
n ( x )= ni e
Ge
100
dE F
dn( x) n(50
x) dE Fi 3900
mp
(cm2/Vs)
Si
480
Fi
F
B
1
1 dEFi
F  x  =  U  x  =
e
e dx
Dn k BT
=
μn
e
35dx
GaAs 220
Relazione di Einstein
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=
(
−
+
k B12.5
T
dx 1350
dx
10
8500
)
=0
1900
400
k BT
 mm 
2 m
Dn =  v t  v 
m
  mvth 
t sc
e
e
 e 
l2
2
th sc
2
th
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10
Iniezione di carica - Livelli quasi-Fermi
In condizioni di equilibrio abbiamo una funzione di distribuzione di
elettroni (Fermi) tra i vari livelli permessi. Non c'è flusso netto di
energia esterna né di particelle.
Ma, ad esempio, fotoni possono rilasciare energia o una batteria cariche.
Dobbiamo trovare il modo di rappresentare questi fenomeni.
Anche se non in equilibrio complessivo, possiamo assumere che
separatamente in banda di conduzione e di valenza ci sia una certa
forma di equilibrio.
Quasi-equilibrio Definiamo una funzione di Fermi per elettroni
(conduzione) ed una per buche (valenza) con differenti EF .
 EFn  Ec 


k BT 

n = NC e
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 EFp  Ev 

 k T 

B
p = Nve 
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11
Generazione e ricombinazione di portatore
In condizioni di equilibrio termico, alcuni elettroni vengono eccitati
(generazione termica) Gth in banda di conduzione mentre altrettanti si
rilassano (ricombinazione) Rth in banda di valenza.
Il rate di ricombinazione sarà
proporzionale al numero di
elettroni e di buche disponibili
All’equilibrio
Gth=Rth=bn0p0
Altri meccanismi di generazione
(ottica) e di ricombinazione (sia
ottica che con difetti) sono
possibili e importanti.
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12
Generazione e ricombinazione ottica di portatori
Assorbimento ed emissione di luce
Transizioni banda-banda.
– Conservazione dell'energia ~ 0.5 ÷ 5
eV
– Conservazione del momento ~
2.5x10-4 ÷ 2.5x10-3 Å-1 (~ 10 Å-1 )
→ transizioni verticali
•
•
TRANSIZIONE DIRETTA
fotone ↔ elettrone eccitato
TRANSIZIONE INDIRETTA
fotone ↔ elettrone eccitato +
fonone
I z  = I 0e
 αz
2
=
c
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E x, t  = E0e
n~r  nr  i
n~r = nr  i
 n~r

i  x t 
 c

 E0e
n

i  r x t   
 c

c
e
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13
Generazione e ricombinazione di portatori
Se non c'è assorbimento l'onda si propaga senza attenuazione con velocità c/nr
Se c'è assorbimento l'intensità, energia per unità di area nell’unità di tempo
ovvero flusso di fotoni di energia ħ, decade come
 αz
I z  = I 0e
In funzione della densità di potenza ottica che cade sul semiconduttore, il
~
Pop
flusso di fotoni è
Φ=
~
ω
α Pop
Gth=Rth=bn0p0
Il rate di generazione ottica GL è allora GL = α Φ =
ω
G  GL  Gth
n  p
R  b nn pn  b nn 0  p  pn 0  p 
Il rate netto per i portatori minoritari dp (in un semicond drogato n) è allora
dpn
p
nn 0  pn 0 , p
 G  R  GL  b nn 0  pn 0  p p  GL 
dt
1 bnn 0 low-level injection
Gap diretta tr ~ 1 ns, Gap indiretta tr ~ 1÷0,1 ms
δp
R=
Processi radiativi
τp
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14
Generazione e ricombinazione di portatori
Semiconduttore tipo-n
δp
R=
τp
n  p
Gth=Rth=bn0p0
nn 0  pn 0 , p
low-level injection
Rate di generazione è indipendente
dalla popolazione
Rate di ricombinazione è dominato
dalla concentrazione di portatori
minoritari
dpn (0)  t p GL
dpn (t )  t pGL e
t t p
ddpn
dp
  R dpn 
dt
1 bnn 0
Gap diretta tr ~ 1 ns, Gap indiretta tr ~ 1÷0,1 ms
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15
Ricombinazione nonradiativa
Impurezze e difetti creano livelli nella gap tra le bande Trappole profonde
Portatori possono essere intrappolati se passano entro un'area s dal difetto
Sezione d'urto di cattura
Così può avvenire ricombinazione nonradiativa in competizione con quella
radiativa.
(numero trap/unità
di tempo)
La probabilità di incontrare una trappola è:
r = N t σvth
Nell'assunzione:
 Livelli di trappola a mezza gap
 Condizione di iniezione di portatori np>>ni2
np  ni2
n0dp  p0dn  dndp
RR = r
r
n  ni + p  pi 
n + p 
n≈n0
Shockley-Read-Hall
n  n0  dn
p  p0  dp
n0 p0  ni2
RR 
n0  dn, p
dp
τp
3 ÷ 30 Å
La sezione d'urto tipica è dell'ordine s ~ 10-13 ÷ 10-15 cm2
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16
Ricombinazione nonradiativa
Impurezze e difetti creano livelli nella gap tra le bande Trappole profonde
Portatori possono essere intrappolati se passano entro un'area s dal difetto
Sezione d'urto di cattura
Così può avvenire ricombinazione nonradiativa in competizione con quella
radiativa.
Ra ra n =
1
n = N t (1  f t )σ n vth n
τ nnr
(Ra=Rb all’eq. termico)
Rb  en N t f t
en  σ n vth ni e  Et  EFi / kT
Rc  N t f t σ p vth p
Rd  e p N t (1  f t )
e p  σ p vth ni e  Et  EFi / kT
R
Fuori dell’equilibrio termico (iniezione di portatori) Ra  Rb
R


N t σ n σ p vth np  ni2



σ n n  ni e Et  Ei  kT  σ p p  ni e  Et  Ei  kT

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nn 0  pn 0
nn 0 pn 0  ni2
R
1  2
1
tR
 Ra  Rb  Rc  Rd
N t σ p vth  pn  pn 0 
ni
n0
cosh Et  EFi  kT 

dp
tR
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17
Equazione di continuità
Nel trattare il processo di trasporto di carica occorre tenere conto dei processi di
ricombinazione e generazione
Il bilancio dei processi deve portare alla conservazione delle particelle.
In un volume fissato, il rate di flusso di particelle è determinato da flusso dovuto
alla corrente, la perdita di particelle per ricombinazione ed il guadagno da
generazione.
 Il rate di ricombinazione nel volume A dx
 Il rate di flusso di corrente Jn
R=
δn
Adx
τn
1 J n x 
 J n x  J n x + dx 
A
dxA
 e 

e
e x


 Il rate di generazione GAdx

1 J n x  δn
δn =
 +G
t
e x
τn

1 J p x  δp
δp = 
 +G
t
e x
τp
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Eq. continuità
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18
Trasporto per diffusione

1 J n x  δn
δn =
 +G
t
e x
τn

1 J p x  δp
δp = 
 +G
t
e x
τp
Consideriamo solo processi di diffusione in assenza di
generazione.
(e.g. diodo p-n)

2
δn
δn = Dn 2 δn 
t
x
τn

J n diff  = eDn δn
x

J p diff  = eD p δp
x

2
δp
δp = D p 2 δp 
t
x
τp
Il profilo di carica in un diodo p-n in stato stazionario
2
δn
δn
δn
=
=
x 2
Dn τ n L2n

δp
δp
δp =
= 2
2
x
Dp τ p Lp
2
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Ln2=Dn tn
Lunghezza di diffusione
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19
Trasporto per diffusione con iniezione esterna
In x=0 iniettiamo una densità di
elettroni in eccesso dn(0)

δn
δn
δn
=
=
x 2
Dn τ n L2n
2
A x=L la densità sia dn(L)
2
δp
δp
δp =
= 2
2
x
Dp τ p Lp
δn  x  = A1e
=

δn 0  e
e
x / Ln
  L  x  / Ln
e
L >>Ln ; dn(L)=0
δnx = δn0e
 x / Ln
δn L  = A1e
A1 =
+ A2 e
 x / Ln
A2 =
Combinazione lineare delle due soluzioni
 L  x  / Ln
δn 0 = A1 + A2
L / Ln
+ δnL e
e
x / Ln
e
 x / Ln
 L / Ln
L / Ln
+ A2e
δn L   δn 0 e
e
L / Ln
e
 L / Ln
 L / Ln
 δn L + δn 0 e
e
L / Ln
 L / Ln
e
L / Ln
 L / Ln

L<< Ln Sviluppiamo al primo ordine
 L  x 
L  x   + δn L 1+ x  1+ x 
δn 0 1+
 1+
 L
Ln
Ln 
Ln 
n


δn  x  =
1+ L / Ln   1  L / Ln 
δn  x  = δn 0  
Ln distanza media percorsa
da un elettrone prima di
ricombinarsi
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δn 0   δn L 
x
L
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20