Punti notevoli del triangolo

PROGETTO
DIGI SCUOLA
PUNTI NOTEVOLI
DI UN
TRIANGOLO
Progetto a cura del gruppo di matematica dell’ITIS
“G. Ferraris” di Acireale
Rosanna Costarelli, Rita Maria Musmeci, Maria Ausilia Sapuppo
“Punti notevoli di un triangolo”
INTRODUZIONE
Il progetto è rivolto a una seconda classe di un istituto tecnico
industriale.
Gli alunni mostrano atteggiamenti differenti nei confronti della
matematica in generale e della geometria in particolare e
comunque tutti la ritengono una materia difficile.
Abbiamo pensato di scegliere questo argomento di geometria
perché riteniamo che la dinamicità del software CABRI II possa
aiutare gli alunni con maggiori difficoltà a “pensare” alla
geometria in modo differente.
OBIETTIVI GENERALI






Conoscere i concetti di assi, altezze, mediane e bisettrici di un
triangolo.
Conoscere i concetti di circocentro, ortocentro, baricentro e
incentro.
Utilizzare i concetti di asse e bisettrice come esempi di luogo
geometrico
Osservare le reciproche posizioni dei punti notevoli
relativamente alla natura del triangolo
Essere capace di lavorare in gruppo
Essere capace di usare consapevolmente un software
Lavorare in gruppo
Dal Lavoro di gruppo al
Gruppo di lavoro
Un gruppo di lavoro è costituito da un insieme di individui che
interagiscono tra loro con una certa regolarità, nella consapevolezza di
dipendere l’uno dall’altro e di condividere gli stessi obiettivi e gli
stessi compiti.
Perché un gruppo di lavoro possa evolversi e
maturare nel tempo ed avere una maggiore
collaborazione tra i suoi membri è
necessario che si passi dalla semplice
interazione ad una vera e propria
integrazione. La realizzazione concreta della
collaborazione all'interno del gruppo, è poi
facilitata dal meccanismo di negoziazione,
che permette il confronto e il passaggio dal
punto di vista dei singoli individui ad un
punto di vista comune e condiviso per
realizzare al meglio gli obiettivi previsti.
I ragazzi lavorano in gruppo
PREREQUISITI
Segmenti e proprietà.
Angoli e proprietà.
Il triangolo e le sue proprietà
Perpendicolarità
Luoghi geometrici
Circonferenza
Poligoni inscritti e circoscritti
Classificazione dei triangoli
Luoghi geometrici
Si definisce luogo geometrico un insieme di
punti che godono tutti della stessa proprietà
Esempi di luoghi geometrici sono:
-I punti della linea centrale dello spartitraffico
-I cerchi delle botti
Lo spartitraffico della ss. 114
zona S. Caterina
Le botti di rovere della Torrepalino
STRUMENTI
Utilizzo del software CABRI II
FASE OPERATIVA
1° FASE
2°
2° FASE
3° FASE
1° FASE

Costruzione di un triangolo a partire da tre
segmenti
2° FASE: Tracciare i segmenti
notevoli




Altezze. Punto d’incontro. Analisi dei casi
particolari
Mediane. Punto d’incontro. Proprietà
Bisettrici. Punto d’incontro. Bisettrice vista
come luogo geometrico. Centro della
circonferenza inscritta.
Assi. Punto d’incontro. Centro della
circonferenza circoscritta. Asse come luogo di
punti.
3° FASE

Studio delle reciproche posizioni dei punti
notevoli in relazione alla natura del triangolo.
COSTRUZIONE DI UN TRIANGOLO DATI TRE LATI
(macro n. 1)














Disegna due punti M, N, quindi il segmento MN, esso sarà il primo dei tre segmenti assegnati.
Disegna due punti P, Q, quindi il segmento PQ, esso sarà il secondo dei tre segmenti assegnati.
Disegna due punti R, S, quindi il segmento RS, esso sarà il terzo dei tre segmenti assegnati.
Dovremo costruire il triangolo ABC, i cui lati siano congruenti ai segmenti assegnati.
Disegna un punto A , esso sarà un vertice del triangolo.
Usando il compasso traccia la circonferenza di centro A e raggio MN, prendi su di essa un punto
e chiamalo B.
Usando il compasso traccia la circonferenza di centro A e raggio PQ, poi traccia la circonferenza
di centro B e raggio RS, chiama con C uno dei due punti di intersezione di tali circonferenze.
Indica le circonferenze con il tratteggio.
Colora in azzurro i punti A, B, C.
Traccia il triangolo ABC e coloralo in rosso.
Se vuoi verificare puoi calcolare le misure dei segmenti, dei lati del triangolo.
REGISTRAZIONE DELLA MACRO
OGGETTI INIZIALI
I punti
M e N, P e Q, R e S, A .
OGGETTI FINALI
Il triangolo ABC
MESSAGGIO DI AIUTO
Costruisce il triangolo dati tre segmenti.
I tre segmenti devono soddisfare le proprietà triangolari.
Seleziona gli estremi dei tre segmenti dati .
Seleziona un punto che sarà un vertice del nuovo triangolo.
COSTRUZIONE DELL’ORTOCENTRO
(MACRO N.3)



Disegna un triangolo ABC utilizzando la macro n.1.
Traccia le altezze relative a due lati del triangolo, e indica con “O ortocentro”
il loro punto di intersezione.
Usando il comando ATTRIBUTI segna O con la crocetta e coloralo in fucsia.
NASCONDI le due altezze.
REGISTRAZIONE DELLA MACRO



OGGETTI INIZIALI
I vertici A,B,C
OGGETTI FINALI
Il punto O
MESSAGGIO DI AIUTO
Seleziona i vertici di un triangolo, apparirà il punto notevole: Ortocentro.
ANALISI CASI PARTICOLARI

Costruisci in verde le due rette che contengono le due altezze, indica con O il
loro punto d’incontro Costruisci adesso la terza altezza. Cosa noti?
……………………………………………………………………………

Prova a muovere un vertice del triangolo. Cosa accade? Quando si verifica tale
circostanza ? (E’ conveniente misurare gli angoli per vedere di che tipo di
triangolo si tratta e fissare tali misure.)
……………………………………………………………………………
..…………………………………………………………………………..
E se il triangolo fosse rettangolo?

COSTRUZIONE DEL BARICENTRO
(macro n. 2)




Disegna un triangolo ABC utilizzando la macro n.1.
Segna i punti medi di due dei suoi lati, traccia le due mediane, e indica con “G
baricentro” il loro punto di intersezione.
Usando il comando ATTRIBUTI segna G con il punto più grande e coloralo in
verde.
NASCONDI le due mediane e i punti medi.
REGISTRAZIONE DELLA MACRO

OGGETTI INIZIALI
I vertici A,B,C

OGGETTI FINALI
Il punto G

MESSAGGIO DI AIUTO
Seleziona i vertici di un triangolo, apparirà il punto notevole : Baricentro.
PROPRIETA’
IL BARICENTRO DIVIDE CIASCUNA MEDIANA IN DUE PARTI DELLE
QUALI QUELLA CHE HA UN ESTREMO NEL VERTICE È DOPPIA DELL’ALTRA.




Costruisci un triangolo ABC
Costruisci in rosso due mediane e indica con G il loro punto d’incontro. Costruisci adesso la terza mediana.
Cosa noti?
…………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………
Prova a muovere un vertice del triangolo. Cosa accade?
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Calcola le misure dei sei segmenti in cui tali mediane sono divise dal punto G e successivamente fai variare il
triangolo. In che rapporto si trovano le due parti di una stessa mediana?
………………………………………………………………………………………….........................................
.......................................................................................................

IL TRIANGOLO MEDIANO
Considera adesso il triangolo mediano che ha per vertici i punti medi del triangolo dato e determina come
prima il baricentro di questo nuovo triangolo . Cosa noti?
COSTRUZIONE DELL’INCENTRO
( macro n.4)




Disegna un triangolo ABC utilizzando la macro n.1.
Traccia le bisettrici di due angoli del triangolo.
Attenzione: se vuoi usare questa costruzione per progettare una MACRO, è necessario nel
costruire le bisettrici indicare gli angoli non con tre punti qualsiasi ma con i punti A,B,C.
Indica con “I incentro” il punto di intersezione delle due bisettrici.
Usando il comando ATTRIBUTI segna I con il cerchietto e coloralo in blu.
NASCONDI le due bisettrici.
REGISTRAZIONE DELLA MACRO

OGGETTI INIZIALI
I vertici A,B,C

OGGETTI FINALI
Il punto I.
MESSAGGIO DI AIUTO
Seleziona i vertici di un triangolo, apparirà il punto notevole : Incentro.
PROPRIETA’





Disegna un triangolo scaleno ABC, traccia con lo strumento BISETTRICE
le rette e colora in blu le due semirette bisettrici degli angoli, indica con I il
loro punto d’incontro.
Costruisci adesso la terza bisettrice. Cosa noti?
……………………………………………………………….…….……
Prova a muovere un vertice del triangolo. Cosa accade?
..………………………………………………………….…........………
Traccia le distanze dall’incentro ai lati del triangolo. Misura tali distanze. Cosa
osservi?
…………………………………………………..……………..……….
Queste tre distanze rappresentano ……………………………… e l’incentro
rappresenta il ……….. della circonferenza inscritta.
LA BISETTRICE DI UN ANGOLO INTERNO DI UN TRIANGOLO DIVIDE IL
LATO OPPOSTO IN PARTI PROPORZIONALI AGLI ALTRI DUE LATI

Traccia il triangolo di vertici A,B,C. Traccia la bisettrice di vertice B e chiama con D il punto di
intersezione con il lato AC.
Ipotesi ABˆ D  DBˆ C

Tesi







AD AB

DC BC
Dal punto C traccia la parallela a BD, la quale incontra il prolungamento del lato AB nel punto
E
ˆ C e ECˆ B , essi sono congruenti perché angoli
Consideriamo gli angoli DB
………………………………………… rispetto alle parallele BD e …………….., tagliate
dalla trasversale ………………
ˆ
ˆ
ABD e BEC
Consideriamo gli angoli …………………………………
, essi sono congruenti perchè
………………………………………………………. rispetto alle parallele BD e EC tagliate
dalla ………………………. AE
Quindi il triangolo BEC è isoscele di base ……………………… perché …………………
BCˆE  .......................
Consideriamo le rette BD, EC e la loro parallela per A. Per il teorema di Talete si ha
AD AB AB


DC BE ......
Raggio della circonferenza
inscritta in un triangolo




La misura del raggio della circonferenza inscritta in un
triangolo si ottiene dal rapporto tra l’area del triangolo e
la misura del semiperimetro
Scheda di lavoro:
Disegna con Cabri il triangolo di vertici A,B,C
Determina l’incentro. Traccia la distanza IF
dell’incentro da un lato del triangolo, questa distanza
rappresenta ………………………
della circonferenza inscritta. Traccia quindi la
circonferenza di centro I e raggio IF
Unisci il punto I con i tre vertici del triangolo. Il
triangolo ABC viene suddiviso nei ……………
IAC, IAB, IBC.
L’area di ABC : SABC=………+………….+ ……..
Tracciamo ora le altezze IF, IE,ID dei tre triangoli:
esse rappresentano i ………………. della
circonferenza inscritta
L’area SABC=AC*IF/2+…………. +………..=
R*(AB+AC+BC)/2 = r*p
(p è il semiperimetro)
Da cui r=SABC/p
COSTRUZIONE DEL CIRCOCENTRO
(MACRO N. 5)



Disegna un triangolo ABC utilizzando la macro n.1.
Traccia gli assi relativi a due lati del triangolo, e indica con “O’ circocentro” il
loro punto di intersezione.
Usando il comando ATTRIBUTI segna O’ con il cerchietto e coloralo in azzurro.
NASCONDI i due assi.
REGISTRAZIONE DELLA MACRO

OGGETTI INIZIALI
I vertici A,B,C

OGGETTI FINALI
Il punto O’

MESSAGGIO DI AIUTO
Seleziona i vertici di un triangolo, apparirà il punto notevole: Circocentro.
PROPRIETA’




Costruisci in lilla due assi dei lati del triangolo indica con O’ il loro punto d’incontro.
Costruisci adesso il terzo asse. Cosa noti?
………………………………………………………………………….………
Traccia la distanza dal circocentro ai vertici del triangolo. Misura tali distanze. Cosa
osservi?
……………………………………………………………………………………
Queste tre distanze rappresentano …………………………………e il circocentro
rappresenta il ……….. della circonferenza circoscritta.
Prova a muovere un vertice del triangolo. Cosa accade?
Quando si verifica tale circostanza ?
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Studio delle reciproche posizioni dei punti notevoli in
relazione alla natura del triangolo.






Considera un triangolo di natura qualsiasi e attraverso le macro n. 2 , 3, 4 e 5
costruisci i quattro punti notevoli.
Calcola le lunghezze dei lati del triangolo, fissa ai lati tali misure e modificalo
in modo da renderlo equilatero. Cosa accade per O, I, G e O’ ?
………………………………………………
E se il triangolo fosse isoscele?
E se il triangolo fosse rettangolo?
E se il triangolo fosse ottusangolo?
RIFLETTI
Dei quattro punti notevoli ce ne sono tre sempre allineati? (Puoi vederlo
tracciando la retta che unisce due di essi).Questa retta associata
intrinsecamente a ogni triangolo, si chiama retta di Eulero, dal nome del
famoso matematico del ‘700 Leonhard Euler.
Adesso osserva ………

Prova a condurre dai vertici A, B e C le parallele
ai rispettivi lati opposti. Si determinerà un
triangolo. Traccia gli assi dei lati del nuovo
triangolo. Cosa noti?
Teorema di Ceva
Dato un triangolo qualsiasi di vertici A, B e C e i punti
D, E e F rispettivamente sui tre lati BC, AB e AC, la
condizione affinchè le tre rette AD, BF e CE si
incontrino in un punto è che valga la relazione
AE BD CF


1
EB DC FA
 questo teorema contiene come casi particolari i
teoremi sull’esistenza del baricentro, dell’ortocentro,
dell’incentro e del circocentro.
Esso fu scoperto dall’italiano Giovanni Ceva nel 1678

Circonferenza di Feuerbach
Dato un triangolo qualsiasi ABC, la circonferenza che
passa per i piedi D,E e F delle tre altezze passa anche
per i punti medi L, M e N dei tre lati e per i punti medi
X,Y e Z dei segmenti che congiungono i vertici con
l’ortocentro H.
Essa è detta circonferenza di Feuerbach o dei nove punti,
dal nome di Karl W. Feuerbach che la scoprì nel 1822.

CURIOSITA’
Circocentro, incentro e qualche altro punto erano noti sin
dai tempi classici. In seguito i matematici ne hanno
individuati numerosi altri, con curiosità, passione,
testardaggine….. Al punto che è sorta una specie
di “caccia al punto notevole”. Oggi, ci si può rendere
conto dello stato dell’arte in questo settore consultando
http:/faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ dove
si trova addirittura una Enciclopedia dei punti notevoli,
curata dal matematico Clark Kimberling.
Punti notevoli di un triangolo:
Ortocentro
 Baricentro
 Circocentro
 Incentro

Ortocentro

L’ortocentro è il punto di intersezione delle tre
altezze di un triangolo
B
Altezza relativa al lato di un triangolo
L’altezza relativa al lato di un triangolo è il segmento di
perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto
Baricentro
Il baricentro è il punto di intersezione delle tre
mediane del triangolo
Mediana

La mediana è il segmento che congiunge un
vertice di un triangolo col punto medio del lato
opposto
Definizione di Circocentro

Il circocentro è l’intersezione degli assi dei tre
lati del triangolo.

E’ così detto perché coincide col centro della
circonferenza circoscritta al triangolo
Circocentro
Asse di un segmento


L’asse di un segmento è la retta perpendicolare
condotta al segmento stesso nel suo punto
medio. Ha la caratteristica che tutti i suoi punti
sono equidistanti dagli estremi del segmento
CD è l’asse di AB
AC=CB
AD=DB
Centro della circonferenza
circoscritta al triangolo
AO=OB=OC perché raggi
Circonferenza circoscritta ad un
triangolo

Dicesi circonferenza circoscritta ad un triangolo
una circonferenza che contiene i vertici del
triangolo
Definizione di incentro

L’incentro è il punto di intersezione delle tre
bisettrici dei tre angoli del triangolo

E’ così detto perché è il centro della
circonferenza inscritta nel triangolo
Incentro
I è l’incentro
Bisettrice di un angolo


La bisettrice di un angolo è la semiretta che
condotta dal vertice divide l’angolo in due angoli
congruenti
Ha la caratteristica che tutti i suoi punti sono
equidistanti dai lati
Bisettrice di un angolo bis
AM=AH
BN=BK
Centro della circonferenza inscritta
in un triangolo
Circonferenza inscritta in un
triangolo

Dicesi circonferenza inscritta in un triangolo una
circonferenza tangente ai tre lati del triangolo
HI=KI=LI