Esercizi con soluzione
su
calcolo combinatorio
Livello elementare, senza spiegazione delle formule usate
Disposizioni semplici Dn,k = n(n-1)(n-2)….(n-k+1)
n=7 , k=4 > D7,4 = 7*6*5*4 = 840
n=10, k=3 > D10,3 = 10*9*8 = 720
n=12 k, 4 > D12,4 = 12*11*10*9 = 11880
Con cifre 1,3,7,9 distinte, quanti numeri con 2 cifre si possono ottenere?
n=4 ,k=2 > D4,2 = 4*3 = 12
1
3
5
7
Con 21 lettere, quante parole con 4 lettere si possono ottenere?
N=21 , k=4 > D21,4 = 21*20*19*18 = 143640
a,b,c,d,e,f,g,h,i,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,z
Quanti oggetti si devono avere per ottenere 20 disposizioni semplici
prendendoli 2 a 2 ?
Dx,k = 20 ; x(x-1) = 20 >> x^2-x-20=0 >> x = 5
Con 5 oggetti, ripetibili, presi 2 a 2, quante combinazioni con
ripetizione sono possibili?
n=5 ,k =2 >> Cn,k = n(n+k-1)/k! = 5*6 / 2 = 15
Con 4 oggetti, ripetibili, presi 3 a 3, quante combinazioni con
ripetizione sono possibili?
n=4 ,k =3 >> Cn,k = n(n+k-1)(n+k-2)/k! = 5*6*4 / 3! = 120/6 = 20
Disposizioni con ripetizione Dn,k = n^k
Con 4 oggetti presi due a due, disposizioni con ripetizione possibili?
n=4 , k=2 > 4^2 = 16
Con due oggetti presi 4 a 4 ,c on ripetizioni, disposizioni possibili ?
n = 2, k=4 > 2^4 = 16
Con sette oggetti presi 3 a tre, con ripetizione, disposizioni possibili?
n= 7 , k = 3 > 7^3 = 343
Con numeri 1,3,5,7 presi tre per volta, anche ripetendoli, quanti
numeri con tre cifre si possono ottenere ?
1
3
5
7
n= 4 ; k =3 > D4,3 = n^k = 4^3 = 64
Con cifre 0,1,2,3,4 , distinte, prese 3 a 3 , numeri possibili?
0, 1 , 2, 3, 4
n=5, k= 3 > Dn,k = 5*4*3 = 60
60/5 = 12 numeri con iniziale 0 , vanno ignorati : 12*4 = 48
012 – 021- 031 -041 …..da ignorare
102- 103 – 104- 123…….12
201- 203 - 204- 213…….12
301.………….………….…12
401……………………...…12
Con cifre 0, 1, 2, 3 , 4, ripetibili, prese 3 a 3 , numeri possibili?
0, 1, 2 ,3 , 4
n=5 , k=3 > D5,3 = 5^3 = 125
125/5 = 25 numeri con iniziale 0, vanno ignorati : 125-25=100
012………..25 da ignorare
123………..25
213………..25
312………..25
412………..25
Con le cifre 1,2,3,4,5 distinte, prese 3 a 3 :numeri possibili con inizio 1 ?
1, 2, 3, 4, 5
n = 5, k= 3 > D5,3 = 5*4*3 = 60
60/5 = 12 numeri con inizio 1
123…132………..12 iniziano con 1
213…234………..12
312…323………..12
412…423………..12
512…521………..12
Con le cifre 1,2,4,6,8 ,ripetibili, prese 3 a 3: numeri dispari possibili?
1,2,3,6,8
n=5, k=3 > D5,3 = 5^3 = 125
125/5 = 25 numeri che finiscono con 1 o 2 o 4 o 6 0 8
125-100 = 25 dispari
Calcolare permutazioni possibili con 6 oggetti
n=6
P6 = n! = 6! =*2*3*4*5*6 =720
Calcolare numeri di 5 cifre distinte possibili usando 1,2,3,4,5
1, 2, 3, 4,, 5
n = 5 Pn = P5 = n! = 5! = 120
Con le cifre distinte 0,1,2,3,4, quanti sono i numeri di 5 cifre possibili?
0, 1, 2, 3, 4
n=5 > Pn = P5 = 5! = 120
120 / 5 = 24 gruppi che iniziano con 0,1,2,3,4
ignorare 24 gruppi che iniziano con 0
120-24 = 96 numeri possibili
01234…..24 ignorare
12340…..24
23410…..24
32104…..24
43210…..24
Calcolare numero permutazioni 4 oggetti dei quali 2 uguali
n=4 > Pn = n! / c! = 4! / 2! = 1*2*3*4 / 2 = 12
Calcolare numero permutazioni 7 oggetti dei quali 2 e 3 uguali
n=7 > Pn,s,c = P7,2,3 = 7! / 2!3! = 1*2*3*4*5*6*7 / 2*(1*2*3) =4*5*6*7/2 =420
Calcolare numero di anagrammi possibili con la parola lodare
n=6 Pn = P6 = 6! = 1*2*3*4+5*6 = 720
Calcolare numero di anagrammi possibili con la parola votare
n=6 Pn = P6 = 6! = 720
Calcolare numero di anagrammi possibili con la parola potere
n = 6 Pn,x = P6,2 = 6! / 2! 720 / 2 = 360
Calcolare numero di anagrammi possibili con la parola toppata
n=7 Pn,x,y,z = P7,2,2,2 = 7! / 2!2!2! = 5040 / 8 = 630
Calcolare numero di allineamenti possibili con 5 oggetti distinti
n =5 Pn = P5 = 5! = 120
Calcolare numero combinazioni semplici con 6 oggetti distinti, 2 a 2
n=6 , k=2 > Cn,k = C6,2 = n! / (n-k)!k! = 6! /(4!)*2! = 720 / 48 = 15
Calcolare numero combinazioni semplici con 10 oggetti distinti, 4 a 4
n=10 , k = 4 > Cn,k = C10,4 =
10! / (6!)(4!)=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10/(1*2*3*4*5*6)(1*2*3*4) =
=7*8*9*10/1*2*3*4 = 5040/24 = 210
Calcolare numero combinazioni semplici con 10 oggetti distinti, 6 a 6
n=10 , K =6 > Cn,k = C10,6 = 10! / (4!)(6!) =
=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10/ (1*2*3*4)(1*2*3*4*5*6)=
=5*6*7*8*9*10 / 1*2*3*4*5*6 = 151200 / 720 = 210
Calcolare numero combinazioni semplici con 10 oggetti distinti, 5 a 5
n=10 , k=5 > Cn,k = C10,5 = 10! /(5!)(5!) =
=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 / (1*2*3*4*5)*120 =
=6*7*8*9*10 /120 = 30240 / 120 = 252
Calcolare numero combinazioni semplici con 12 oggetti distinti, 4 a 4
n=12 , K =4 > Cn,k = C12,4 = 12! / (8!)(4!) =
= 11880 / 24 = 495
Calcolare numero combinazioni semplici con 12 oggetti distinti, 3 a 3
n=12 , k=3 > Cn,k = C12,3 = 12! /(9!)(3!) =
1320 / 6 = 220
Calcolare numero di ambi possibili con 90 numeri lotteria
1,2,3,4,5,6,…..90
n=90 , k=2 > Dn,k = D90,2 = 90* (90-1)/(2!) = 90*89 / 2 = 8010 / 2 = 4005
Calcolare numero di cinquine possibili con i 90 numeri della lotteria
1,2,3,4,5,6,7,8,….90
n=90, k=5 > Dn,k = D90,5 = 90(90-1)(90-2)(90-3)(90-4)/5! =
90*89*88*87*86 / 120 = 43949268
Disegnare, contare, calcolare numero di diagonali possibili in quadrilateri
B
A
n=4 ; K = 2
AB
BC
CD
DA
AC
BD
D
Dn,k = n(n-1)/k! = 4(3)/2 = 6
Da 6 togliere 4 lati = 2 diagonali
C
A
A
D
B
B
D
C
C
Disegnare, contare, calcolare numero di diagonali possibili in pentagono
n=5 ; k=2 Dn,k = D5,2 = 5*4/2 = 10
Da 10 togliere 5 lati > 5 diagonali
5
AB
BC
CD
DE
EA
A
B
E
D
C
5
AC
AD
EB
EC
DB
Disegnare, contare, calcolare numero di diagonali possibili in esagono
n=6 ; k=2 Dn,k = D6,2 = 6*5/2 = 15
Da 15 togliere 6 lati > 9 diagonali
3
a
3
b
2
c
f
6
9
ab
bc
cd
de
ef
fa
ac
ad
ae
bd
be
bf
ce
cf
df
1
e
d
B7 n=10 ; k=2 Dn,k = D10,2 = 10*9/2 = 45
7A
C6
10
AB
BC
CD
DE
EF
FG
GH
HK
KJ
JA
BJ
BK
BH
BG
BF
D5 BE
BD
j
E4
K
F3
H1
Da 45 togliere 10 lati > 35 diagonali
G2
GJ
GK
CJ
CK
CH
CG
CF
CE
FJ
FK
FH
HJ
Disegnare, contare, calcolare numero di diagonali possibili in decagono
AC
AD
AE
AF
AG
AH
AK
DJ
DK
DH
DG
DF
EJ
EK
EH
EG
