Multipli di un numero
DEFINIZIONE. I multipli di un numero sono costituiti dall’insieme dei prodotti ottenuti moltiplicando
quel numero per la successione dei numeri naturali.
ESEMPIO
I multipli del numero 4 costituiscono l’insieme
M4
{
0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
}
• Essendo la successione dei numeri naturali infinita, ne consegue che anche i multipli di
un numero sono infiniti.
• I multipli di 2 costituiscono la successione dei numeri pari, tutti gli altri numeri
costituiscono l’insieme dei numeri dispari.
La divisibilità
1
Divisori di un numero
DEFINIZIONE. Se un numero diviso per un altro numero dà resto zero (r = 0), diremo che il secondo
è un divisore del primo e che il primo è divisibile per il secondo.
ESEMPIO
18
3
6
resto
0
3 è divisore di 18 e 18 è divisibile per 3
18
4
4
resto
2
4 non è divisore di 18 e 18 non è divisibile per 4
• I divisori di un numero costituiscono un insieme finito, poiché il divisore più grande è
sempre uguale al numero stesso.
La divisibilità
2
I criteri di divisibilità
Divisibilità per 2
CRITERIO. Un numero è divisibile per 2 se la cifra delle unità è pari.
ESEMPIO
28
è divisibile per 2 perché la sua ultima cifra 8 è pari.
Divisibilità per 5
CRITERIO. Un numero è divisibile per 5 se termina con zero o con cinque.
ESEMPIO
90
La divisibilità
è divisibile per 5 perché termina con 0.
3
I criteri di divisibilità
Divisibilità per 3 e per 9
CRITERIO. Un numero è divisibile per 3 (o per 9) se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3 (o di 9).
ESEMPIO
15
18
è divisibile per 3 (e per 9) perché la somma delle sue cifre, 1 + 8 = 9, è
un multiplo di 3 (e di 9).
è divisibile per 3 (ma non per 9) perché la somma delle sue cifre, 1 + 5 = 6, è
un multiplo di 3 (e non di 9).
Divisibilità per 11
CRITERIO. Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e
quella di posto pari (o viceversa) è 0 o un multiplo di 11.
ESEMPIO
209
La divisibilità
è divisibile per 11 perché (2 + 9) – 0 = 11
4
I criteri di divisibilità
Divisibilità per 10, 100, 1000
CRITERIO. Un numero è divisibile per 10, 100, 1000, … se termina rispettivamente con uno, due,
tre, … zeri.
ESEMPIO
700
è divisibile:
per 100 perché termina con due zeri;
per 10 perché l’ultima cifra è uno zero.
La divisibilità
5
I criteri di divisibilità
Divisibilità per 4 e 25
CRITERIO. Un numero è divisibile per 4 o per 25 se le ultime due cifre formano un numero multiplo
di 4 o di 25, oppure sono due zeri.
ESEMPIO
128
475
è divisibile per 4 perché le ultime due cifre (28) sono divisibili per 4, infatti
è divisibile per 25 perché le ultime due cifre (75) sono divisibili per 25, infatti
La divisibilità
28 : 4 = 7
75 : 25 = 3
6
Numeri primi e numeri composti
DEFINIZIONE. Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso.
ESEMPIO
5
È un numero primo perché è divisibile per 1 e 5.
11
È un numero primo perché è divisibile per 1 e 11.
23
È un numero primo perché è divisibile per 1 e 23.
12
La divisibilità
Non è un numero primo perché è divisibile per altri
numeri (2, 3, 4, 6) oltre all’ 1 e a se stesso.
7
La scomposizione in fattori primi
DEFINIZIONE. L’operazione che ci permette di scrivere un numero composto come prodotto di fattori
primi si dice scomposizione in fattori primi o fattorizzazione.
ESEMPIO
Quoti
132
66
33
11
1
2
2
3
11
Divisori primi
132
2
2
3
11
REGOLA. Per scomporre un numero in fattori primi si eseguono le divisioni successive tra il numero
dato e i suoi divisori primi (in ordine crescente) fino ad ottenere come quoto uno. I divisori primi che
compaiono più di una volta si scrivono sotto forma di potenza.
La divisibilità
8
Criterio generale di divisibilità
CRITERIO. Due numeri sono divisibili tra loro se ciascun fattore del numero divisore è presente nella
scomposizione del numero dividendo ed ha esponente minore o uguale a quello del fattore
corrispondente.
ESEMPIO
2160
216
108
54
27
9
3
2160 = 24 33 5 1
2
2
2
2
3
3
3
5
90
9
3
1
2
3
3
5
90 = 2 32 5
Poiché tutti i fattori del divisore sono presenti fra i
fattori del dividendo ed hanno esponente minore,
possiamo affermare che 2160 è divisibile per 90.
REGOLA. Il quoziente di due numeri divisibili fra loro si ottiene moltiplicando tutti i fattori del
dividendo aventi per esponente la differenza degli esponenti con cui compaiono nei due termini della
divisione.
La divisibilità
9
Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.)
DEFINIZIONE. Il M.C.D. di due o più numeri è il maggiore tra i divisori comuni ai numeri dati.
ESEMPIO
D12
12
16
{ 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
D12, 16
D16
{ 1, 2, 4, 8,16 }
{ 1, 2, 4 }
Il numero 4 è il maggiore dei divisori comuni tra i due numeri e viene chiamato Massimo
Comune Divisore (M.C.D.).
M.C.D. (12, 16) = 4
CRITERIO. Se due o più numeri sono tali che il maggiore di essi è divisore di ciascuno degli altri,
quest’ultimo numero è il M.C.D. dei numeri dati.
La divisibilità
10
Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.)
DEFINIZIONE. Due o più numeri si dicono primi tra loro se hanno 1 come M.C.D.
ESEMPIO
6
D12
25
{ 1, 2, 3, 6 }
D16
{ 1, 5, 25 }
M.C.D. (6, 25) = 1
6 e 25 sono primi tra loro.
La divisibilità
11
Il calcolo del Massimo Comune Divisore (M.C.D.) attraverso la
scomposizione in fattori primi
REGOLA. Per calcolare il M.C.D. di due o più numeri si scompongono i numeri dati in fattori primi,
poi si moltiplicano tra loro tutti i fattori comuni, presi ciascuno una sola volta e con l’esponente
minore.
ESEMPIO
1760
176
88
44
22
11
1
2 5
2
2
2
2
11
1760 = 25 5 11
420
42
21
7
1
2
2
3
7
5
22 52
2
200 = 23 52
420 = 22 3 5 7
I fattori comuni con l ’ esponente minore delle tre
scomposizioni sono 22 e 5.
M.C.D. (1760, 420, 200) = 22
La divisibilità
200
2
1
5 = 20
12
Il minimo comune multiplo (m.c.m.)
DEFINIZIONE. Il m.c.m. di due o più numeri è il minore tra i multipli comuni ai numeri stessi.
ESEMPIO
3
2
M2
{ 2, 4, 6, 4, 8, 10, 12 … }
M2,3
M3
{ 3, 6, 9, 12,15, 18, 21 …}
{ 6, 12, 18, 24 …}
Il numero 6 è il minore dei multipli in comune tra i due numeri, pertanto
m.c.m. (2, 3) = 6
CRITERIO. Se due o più numeri sono tali che il maggiore di essi è multiplo di ciascuno degli altri,
quest’ultimo numero è il m.c.m. dei numeri dati.
CRITERIO. Se due o più numeri sono primi tra loro, il m.c.m. è dato dal prodotto dei due numeri.
La divisibilità
13
Il calcolo del minimo comune multiplo (m.c.m.) attraverso la
scomposizione in fattori primi
REGOLA. Per calcolare il m.c.m. di due o più numeri si scompongono i numeri dati in fattori primi,
poi si moltiplicano tra loro tutti i fattori comuni e non comuni, presi ciascuno una sola volta e con
l’esponente maggiore.
ESEMPIO
210
21
7
1
2
3
7
5
210 = 2 3 5 7
525
105
21
7
1
5
5
3
7
525 = 3 52 7
735
147
49
7
1
5
3
7
7
735 = 3 5 72
I fattori comuni con l’esponente maggiore sono 3, 52 e 72, il fattore non comune è 2.
m.c.m. (210, 525, 735) = 2 3 52 72 = 7350
La divisibilità
14
