Meccanica dei Sistemi e
Termodinamica
modulo di Gravitazione
Corsi di Laurea in: Fisica e Astrofisica,
Tecnolgie Fisiche Innovative
Anno Accademico 2006-2007
Lezioni ( docente: Savrié Mauro )
Mercoledì : 8:30-10:30
aula F4
Venerdì: 10:30-12:30
aula F4
Esercitazioni ( docente: G.Zavattini)
giovedì : 8:30-10:30
aula F4
Le copie delle presenti trasparenze saranno
disponibili in rete all’ indirizzo:
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cercare...ma occhio agli errori!
Inizio lezioni: 10 Gennaio 2007
Fine lezioni: 17 Marzo 2007
Esami:
- prova scritta: esito positivo:
p >18/30
sconsigliato: 15/30<p<18/30
non ammesso:
p<15/30
- prova orale :
A.A. 2006-07
esito positivo: p>18/30
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1
(Le forze centrali e ) la gravità
1.
Forze centrali
•Sono forze molto importanti in fisica
•Sono sempre dirette verso un centro di forza
•Origine delle coordinate coincidente con il centro della forza
•Sono conservative
•Il momento angolare si conserva
F
y
P
o
r
r'
F Frˆ
F'
P’
Repulsiva!!
F
r 0
x r F r
r
dl
0
dt
l C (ostante)
prima del ‘600 nella gravitazione (Universo) non c’era niente
da spiegare.
• corpi “terreni”
• corpi celesti
A.A. 2006-07
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2
Newton
nel 1665 ( aveva 23 anni ) ipotizza che la caduta dei
gravi ed il moto dei corpi celesti siano regolati dalle
stesse leggi.
non se lo è inventato. Si basa sulle osservazioni di
Tycho Brahe ed i calcoli del MATEMATICO
Keplero che aveva enunciato 3 leggi (
fenomenologiche).
1. i pianeti si muovono su orbite ellittiche di
cui il Sole occupa uno dei fuochi
2. I pianeti si muovono con velocità areolare
costante
3. i quadrati dei periodi di rivoluzione sono
proporzionali ai cubi delle distanze medie
dal Sole ( semi-asse maggiore )
Dimostrazione della II legge:
vt
v
r
S
p
se consideriamo un intervallo
di tempo infinitesimo dt:
dA
1
1
r v dt
r mv dt
2
2m
1
dA
r mv dt
2m
dA L
costante
dt 2m
L r mv r mvr v r mv L mrv mr 2
dA
A.A. 2006-07
1
L dt
2m
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3
Sole
I Pianeti
1.
2.
diametro: 1.4 106 Km
densità 0.25ρTerra
3.
4.
gravità: 28g
massa 1030 Kg
pianeta
Massa
(Kg)
<Dist> dal
Sole (m)
Dist. al
perielio
(Km)
Distanza
all’afelio
(Km)
Periodo
(s)
anni
T2/r3
(s2/m3)
Mercurio
3.181023
5.79 1010
45.9 106
69.8 106
7.60 106
0.241
2.97 10-19
Venere
4.88 1024
1.08 1011
107 106
109 106
1.94 107
0.615
2.99 10-19
Terra
5.98 1024
1.50 1011
147 106
152 106
3.16 107
1.0
2.97 10-19
Marte
6.42 1023
2.28 1011
207 106
249 106
5.94 107
1.88
2.98 10-19
Giove
1.90 1027
7.78 1011
740 106
816 106
3.74 108
11.9
2.97 10-19
Saturno
5.68 1026
1.43 1012
1350 106
1510 106
9.35 108
29.5
2.979 10-19
Urano
8.68 1025
2.87 1012
2730 106
3010 106
2.64 109
84.0
2.95 10-19
Nettuno
1.03 1026
4.50 1012
4460 106
4540 106
5.22 109
165
2.99 10-19
Plutone
1.4 1022
5.91 1012
4410 106
7360 106
7.82 109
248
2.96 10-19
LUNA:
1.
2.
3.
dist. dalla Terrra 0.384 106 Km
diametro: 3476 Km
volume 22 109 Km3 1/49 VTerra
A.A. 2006-07
4.
5.
6.
massa: 1/80 MTerra
densità: 0.61 ρTerra3.34ρacqua
gravità: 1/6 g
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4
Le principali lune di Giove (satelliti naturali del pianeta)
luna
Massa
(Kg)
<dist.> da
Giove
(Km)
Dist. al
periastro di
Giove
Distanza
all’
apoastro di
Giove
Periodo
(giorni)
Io
8.9 1022
422 103
422 103
422 103
1.77
Europa
4.8 1022
671 103
671 103
671 103
3.55
Ganimede
1.5 1023
1070 103
1068 103
1071 103
7.16
Callisto
1.1 1023
1883 103
1870 103
1896 103
16.69
I satelliti artificiali (della Terra)
satelliti
M
(Kg)
<dist.>
T(Km)
Dist. al
periastro.
(*103 Km)
Dist. apoa.
(*103 Km)
Periodo
(minuti)
Sputnik I
83
6.97
103
6.60
7.33
96.2
Sputnik II
3000 7.33
103
6.61
8.05
104
Explorer I
14
7.83
103
6.74
8.91
115
Vanguard I
1.5
8.68
103
7.02
10.3
134
ExplorerIII
14
7.91
103
6.65
9.17
116
Sputnik III
1320 7.42
103
6.59
8.25
106
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5
Conseguenze importanti della
2a e 3a legge
Nell’approssimazione delle orbite circolari
dA 1 2
II
r K1 cost. ;
dt 2
T2
III 3 K 2 cost.
a
Con la stessa approssimazione ( ma si potrebbe dimostrare
che vale sempre):
F M P a M P 2 rrˆ
T
2
2
F M P
rrˆ
T
2
M P massa del pianeta
La forza è centripeta, e per il sistema Terra-Sole vale:
FS ,T Fc
FS ,T
4
M r
2
T
4
2
MT r
KT r 3
2
MT r
T2
dalla III legge
FT ,S
MS
2
r
....è una forza inversamente proporzionale al quadrato
del raggio. Per azione e reazione questa forza è uguale a
quella esercitata dalla Terra sul Sole ed è proporzionale alla
massa della Terra, per simmetria...........
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6
Per simmetria quindi: FT , S
4
MT r
4 2 M T r
2
T
KS r3
2
Per il principio di azione e reazione :
FT , S FS ,T M T K S M S KT
Che valgono contemporaneamente se:
4 2
4 2
M T k S M S kT
Definendo la nuova costante:
modulo della forza
M MT
F
r2
M MT
F
r2
Cosa fece realmente Newton?
• confrontò le accelerazioni della
luna e di un grave ( vedremo come )
• considerò le masse puntiformi ( non
era evidente nel caso generale!)
Ed ipotizzò…………….
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7
La legge di gravitazione
universale
M 1M 2
F12 G
r̂12
2
r12
N.B.
Infatti se nella legge ricavata prima indichiamo
con G una costante di proporzionalità:
Mm
F G 2
r
E prima abbiamo visto che:
G
È una costante che non
dipende nè da M né da r
G= costante di gravitazione universale
Dimensioni:
Valore:
6.67 1011
F12 .........
A.A. 2006-07
3
1 2
L
M
T
Nm2
3
1 2
m
Kg
s
2
Kg
la forza è attrattiva
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8
Dimostrazione della III legge
Usiamo il sistema Terra-Luna nell’ aprossimazione
dell’ orbita circolare ( ma è sempre vera!!!):
ω
m
r
c
ω
R
M
C centro di massa
M r
m R
(e)
F 0 acm 0
Mm
2
G
m
r
2
R r
3
r
GM 2 r 3 4 2 2
T
4 3
T
r
GM
2
T2
4
cost.
3
r
GM
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9
Come fece Newton per verificare la validità della legge di
Gravitazione Universale? (forse....)
consideriamo il sistema Terra-Luna ed assumiamo che si
possa fare l’ approssimazione di masse puntiformi
(scopriremo che è vero!!!)
Confrontiamo le accelerazioni della Luna e di un grave
sulla superficie della Terra.
FT , L G
M T mL
;
2
rL
F G
MT m
rT2
si conoscevano (rL era inizialmente errato):
rL 3.84 108 m;
rT 6.38 106 m
nell’ ipotesi di lavorare in un sistema di riferimento
inerziale:
F
MT
F
MT
g G 2 ;
aL
G 2
m
rT
mL
rL
2
g rL2
2
g 2
g
T
2
2
r
r
r
r
2
T
L
L a T
2
aL rT
4
r
L
L
2
v
a L 2 r a 4 2 rL a 4 2 rL
L L
L rL
T 2 L
T2
rL3
g
4
2 2
8
T
r
r
3
.
84
10
m in accordo con i dati!!!
T
L
2
rT
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lo aveva misurato Eratostene
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10
se è vero che l’ accelerazione del grave e della Luna seguono la
stessa legge:
g
r2
aL
L
2
T
r
3.62 103
l’ accelerazione della Luna la possiamo calcolare in base al suo T ed
alla sua distanza
vL2
r
aL
4 2 L2 2.72 10 3 ms 2
rL
TL
coincide entro l’ 1% con
g
3.61 103 il rapporto inverso del
aL
quadrato delle distanze
ms-1:
se g=9.81
misurato!!!
inoltre:
MT
MT
g G 2 G g 2
rT
rT
1
2
11 Nm
6.67 10
2
Kg
Cavendish
Calcolare la variazione di g con la quota
r r r r h g ( r rT h)
h
2
g( r ) GM T rT 1
rT
g
h
2 0!!!!
g
rT
2
Fgrav.
m
h
2
GM T rT 1 2
rT
G
MT
rT h 2
h
g 1 2
rT
6000 Km 6015 Km
h
1
r h 15 Km
rT 400
1
g : 9.80ms 975ms g
200
2
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2
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11
Misura di Gcon la
Bilancia di Cavendish
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12
Massa inerziale e massa gravitazionale
da esperimenti
di dinamica
da esperimenti
gravitazionali
MASSA
ma sono uguali le quantità che si misurano?
siano dati
tre corpi:
FCA G
#
Min
Mgr
distanza
A
MA,in
MA,gr
dAC=r
C
MC,in
MC,gr
dCB=r
B
MB,in
M,gr
M A, gr M C , gr
r
2
; FCB G
PA M A, gr
FCA PA
FCB PB
PB M B , gr
ma in un esperimento inerziale:
PA M A ,in g
PA M A
PB M B ,in g
PB M B
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M B , gr M C , gr
r2
M A ,gr
M B ,gr
M A ,in
M B ,in
M A ,gr
M B ,gr
M A ,in
M B ,in
13
Bisogna fare un esperimento!
lmin.
T 2
gmgr.
Newton
l
T 2
g
solo se:
min.=mgr.
Bessel:
misure accurate con pendoli:
1.
2.
min.
1
mgr .
1
6 104
Eötvos (1909): min.=mgr. con 1/108
Dicke (1964) : min.=mgr. con 1/1010
Baricentro e centro di Massa?
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14
Campo Gravitazionale
1.
2.
regione di spazio sede di forze gravitazionali
è una grandezza vettoriale
n
mi m0
Ftot G 3 ri 0
ri 0
i 1
3.
4.
il campo di una massa non è perturbato
dalle altre masse
caratterizzato da un vettore tipico: g
n
Forza
Ftot
mi
g
G 3 ri 0
m0 i 1
ri 0 unità di massa
campo: funzione vettoriale della
Gdm
posizione ( e del tempo?)
g 2 r̂
campo: è un “intermediario”
r
m3
m2
mi
ri 0 fi 0
m1
m0
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15
g x 2 g1 cos 2G
g x 2Gm
x
x
2
a
m x
r2 r
3
2 2
•il segno meno indica che
per x>0 il campo è verso sx
•come va il campo per x>>a?
A.A. 2006-07
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16
Mm
F G 2 rˆ
r
Essendo centrale (radiale), in coordinate polari si ha che:
Mm
f rˆ g 2 ; fˆ 0; fˆ 0
r
verifichiamo che è conservativo:
Mm
F G 2 rˆ
r
f GMmx( x 2 y 2 z 2 ) 3 2
x
3
2
2
2 2
f y GMmy( x y z )
f GMmz( x 2 y 2 z 2 ) 3 2
z
dr
r
x
WAB
A
z
O
ds
B
A
B
WAB
r'
B
A
y
F ds
ˆ
GMmr r ds
2
B
WAB GMm r 2 dr
A
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17
WAB
1 1
GMm
rB rA
dalla definizione di potenziale:
dalla definizione di
energia potenziale:
Mm
U r -G
r
dU
F r
dr
funzione solo del punto
V r G
Mm
C.
r
E p r G
Mm
C
r
• <0 per r finito
• =0 per R=∞
•Fg è attrattiva
•W>0 se m viene da ∞
• U(r) vale per qualunque cammino
per una distribuzione continua di massa:
G
V (r ) m dm
r
1.
N.B.
2.
la forza di Newton è corretta solo se M ha una
distribuzione di massa sferica o se è puntiforme
altrimenti vale per gli elementi dm
per i sistemi legati gravitazionalmente
1 2
Mm
E mv G
0
2
r
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18
consideriamo infatti un corpo di massa m (satellite) orbitante
attorno ad un corpo di massa M(pianeta). Sia M fisso nell’
origine di un sistema di riferimento inerziale e l’ orbita di m
sia circolare.
Mm
U r G
r
1 2 1
K mv m 2 r 2
2
2
nel approssimaione di orbita circolare:
Mm
Mm
2
G
m r G 2
2
r
R r
GM
2r 2
r
GM 2 r 3
1 GMm
K
2 r
1 2
Mm 1 Mm
Mm
E mv G
G
G
2
r
2
r
r
1 Mm
1 Mm
E G
0
E G
0
2
r
2
a
per tutti i sistemi
legati
A.A. 2006-07
per orbite ellittiche
a= semi asse magg.
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19
E (nergia )
si può dimostrare che per un’orbita
qualunque :
3
Mm
E
E0 0
K
E0 0
G2
2
1
e
M m 2J 2
J cost. : momento angolare de ll' orbita
e eccentricità dell' orbita
r0
r
E K U
E0 0
E
A.A. 2006-07
U
orbita
ellisse
cerchio
parabola
iperbole
Eccent.
0<e<1
e=0
e=1
e>1
En.totale
<0
<0
=0
>0
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20
Riordiniamo le idee sul
potenziale gravitazionale
Per come avevamo definito il potenziale:
U U b U a Lab
Che per l’ energia potenziale del P.M. in b:
U b Lab U a
In cui L’energia potenziale di a può essere
scelta arbitrariamente.
Per una particella rispetto al campo terrestre
la poniamo uguale a zero sulla superficie
terrestre:
U Lab 0 mg y mgy
Nei casi generali:
U a 0
U r Lr 0
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21
Per una particella di massa m che si muove
verso la Terra in direzione radiale la forza che
agisce sulla particella (forza del campo):
MT m
F r G 2
r
r
U r Lr F r dr
M T m
U r G 2 dr
r
r
r
MT m
MT m
U r G
G
r
r
Quindi l’ energia e’ una proprietà del sistema
di masse e non di una delle masse del sistema.
Per la forza:
dU
d
M T m
F
G
dr
dr
r
MT m
F G 2
r
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22
Esempio
Velocità di fuga
L’energia potenziale di un corpo di massa m sulla
superficie terrestre vale il lavoro, cambiato di
segno, che le forze del campo compiono per
trasportare il corpo di massa m dall’ infinito (ove
Fg=0; Ug=0) fin sulla superficie terrestre:
MT m
U r G
rT
Il lavoro necessario per portare la massa all’ infinito partendo
dalla superficie terrestre, è dato da:
Lr G
MT m
6 107 J Kg 1
rT
Quale dovrebbe essere la sua velocità iniziale?
1 2
MT m
mv0 G
2
rT
MT
v0 2G
11.2 Kms1 40 103 Kmh1
rT
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23
Esempio
2) Periodo massimo di un pendolo
l
T 2
g
x0
m
???
x
rT
F G
MT m
mg
2
RT
x
MT m
Fx F cos F
G 2 x
RT
RT
Fx Kx
m
m
2
M m
K
G T3
RT
RT
RT
T 2
2
GM T
g
2
RT
T 2
T 84.3 60s
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24
Sistemi di particelle
Se due particelle sono a distanza r la loro
energia potenziale è:
U r Lr
Lr
Lr
Lavoro
compiuto
dalla
forza
gravitazionale per portare le particelle
da distanza infinita a distanza r
Energia potenziale di un sistema=lavoro
che forze esterne devono compiere per
costituire il sistema a partire da una
configurazione di riferimento
Nel campo terrestre noi ( forza esterna) dovremmo
compiere il lavoro :
• per separare il P.M dalla Terra :
U y mg y mgy
• per portarlo dall’ infinito a r:
U y Lr mgy
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25
E per un sistema di
più masse...
y
m1
m3
m2
o
r12 : G
m1m2
r12
r23 : G
x
r13 : G
m1m3
r13
m2 m3
r23
E l’energia potenziale del sistema:
m1m2
m1m3
m2 m3
U G
G
G
r12
r13
r23
Mentre per separare i corpi:
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L U
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26
E per un sistema di più masse...
y
m1
m3
r13
r12
r23
m2
x
o
m2 : r12 : G
m1m2
r122
m3 : r13 : G
m1m3
r132
m2 m3
r23 : G 2
r23
E l’energia potenziale del sistema è la somma:
m1m2
m1m3
m2 m3
U G 2 G 2 G 2
r12
r13
r23
Mentre per separare i corpi:
L U
m1m3
m2 m3
m1m2
L G 2 G 2 G 2
r12
r13
r23
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Esempio
Energia potenziale (di legame)del sistema
Terra-Sole:
M S MT
U TS G
5.0 1033 J
rTS
M s 3.0 105 M T
24
Avendo considerato: M T 6.0 10 Kg
11
r 15
.
10
m
TS
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Dimostrazione della I legge di
Keplero
r̂
dr
y
α
v
il moto avviene nel piano:
rd
d
o
x
dalla conservazione
dell’ energia:
E
dr
vr v cos dt
d
v vsen r
dt
1 2
Mm
mv G
costante
2
r
2
2
1 dr d
Mm
m r
E
G
2 dt dt
r
ma il momento angolare si conserva:
d
L rmvsen rm r
dt
L costante
d
L
dt mr 2
2
L2
2E
M
dr
2G
2 2
m
r
dt m r
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L2
dr
2E
M
2 2
2G
dt
m
r
mr
1
2
ma dato che ci interessa solo la relazione tra r e l’ anomalia φ
d
L
dr mr 2
d
L
dt mr 2
dr
a b2
d 2 b 1 2
r
r r
1
L2
2E
M
m 2 r 2 m 2G r
1
2
1
2
2
L2
b
2 Em
Mm
a G
2E
si può integrare ( non tanto facilmente!!!!)
0 a cos
b 2 ar
r a b
2
2
φ0=cost. di integ.0
r a a 2 b 2 cos b 2
equazione di un’ ellisse di assi a ( maggiore)
e b ( minore)
I pianeti si muovono intorno al Sole su orbite ellittiche
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equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine
ellitticit à
e eccentricità
a b
a
f f
e
P( x , y )
b
A
f1
o
a
f2
B
1 2
2a
f1o ae
1
0
f1 P Pf 2 cost. 2a
e
1
x ae y x ae y
2
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1
2 2
2
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1
2 2
2a
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equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine
ellitticit à
e eccentricità
a b
a
2c
P( x , y )
M
P'
b
A
f1
f f
e
o
a
B
f2
1 2
2a
cerchio ausiliario o eccentrico
f1 f 2 2ae
f1 P Pf 2 cost. 2a
c
a 2 b2
e
a
a
oM a
f1 P ' f 2 P ' a
b2 a 2 1 e2
x oM cos a cos
y oM cos asen
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equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine
2c
P( x , y )
M
P'
b
A
a
f1
x a cos
y b sin
f2
B
x 2 a 2 cos 2
y 2 b 2 sin 2
b 2 x 2 b 2 a 2 cos 2
2 2
2 2
2 2
b
x
a
y
a
b
a 2 y 2 a 2b 2 sin 2
x2 y2
2 1
2
a
b
eq. cartesiana dell’ ellisse
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x a cos
y b sin
eq. parametrica dell’ ellisse
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equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine
2c
P( x , y )
M
P'
b
A
fy
a
f1
anomalia eccentrica
B
f2 f x
anomalia vera
f 2 M r raggio vettore
dal teorema di Pitagora:
2
2
r f2 f x f2 f y
2
2
2
2
f 2 f x b sen f 2 f y a cos 2
2
r b sen a cos e
2
2
2
1 cos 2 sen 2
2
2
b2 a 2 1 e2
r a1 e cos
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y
2c
P( x , y )
b
A'
d
r
a f2 O
f1
c
a 2 b2 r
ε
a
a
d
d D r cos
1
1 cos
r D
D
Q
S
A
x
D
r
D r cos
fattore di scala
D
r
1 cos
L’ equazione della nostra orbita era:
r a a 2 b 2 cos b 2
r
b2
2
2
a
b
a 1
cos
a
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r
b2
a a 2 b 2 cos
b2
r
a1 cos
2
b
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r 1 cos
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a
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y
2c
c
a 2 b2 r
a
a
d
P( x , y )
b
A'
S
A
x
D
quando il punto P coincide con A:
D
D OA OA OA
1
quando il punto P coincide con A’:
OA' D OA'
r
OA'
d D OA'
d
r
a f2 O
f1
r OA
OA
d AV D OA
Q
D
OA'
1
2D
2a OA OA'
1 2
D a 1 2
a 2 b2
a1
2
a
2
b
D
a
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Domanda da 10 punti!!!!
Cosa succede se aumentiamo o diminuiamo di poco il
“raggio” dell’ orbita?
y
P
r
φ
x
descriviamo il moto in
sistema di riferimento non
inerziale con origine nel Sole
ed un asse r diretto da S
verso P. Il sistema ruota con
velocità angolare ω:
Mm
Fg G 2 rˆ Fg forza grav.
r
2
Fc m rrˆ
Fc forza app. centrifuga
Mm
d
La componente radiale
F
F
F
G
m
r
G
C
2
del risultante delle forze: R
r
dt
2
L
costante in generale ( orbite ellittiche ) ma il mom. angolare:
costante
d
L
Mm L2
FR G 2 3
2
dt mr
r
mr
è conservativa
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U eff . r Fr dr
Mm
L2
U eff . r G
r
2mr 2
U eff . r 0
U eff . r 0
U eff . r minima
per r r0 2r
U(r)
L2
per r
2GMm 2
e per r
U(r)
Ueff.(r)
è del tipo :
2
K r r0 U 0
r* r0
r
r
-GMm/r
U 0 G 2
nell’ intorno di r0 l’ energia potenziale è ben
approssimanta da una funzione del tipo
M 2 m3
2L2
U r K r r0 U 0
2
esiste quindi un forza di richiamo:
Fr
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U eff .
r
2 K r r0
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Rappresentazione grafica
dei campi di forza
linee di forza
1. Il vettore del campo ha la direzione della
tangente alla linea di forza in ogni punto
2. iniziano e finiscono sulle “sorgenti” del
campo
3. la loro densità è proporzionale all’ intensità
del campo
4. la loro distribuzione nello spazio in genere
rispecchia le “simmetrie” delle sorgenti
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Linee di forza che
indicano
il
campo
gravitazionale vicino
ad
una
massa
puntiporme.
La
direzione delle L.d.F.
indica la direzione del
campo in ogni punto;
la densità delle linee è
proporzionale
all’
intensità del campo
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40
Esempio 41
y
o
MT
F mg mG 3 rr
RT
MT
MT
Fx mG 3 rsin
RT
r
RT
x
x
sin
r
Fx G
M T mr x
MT m
G
x
3
3
RT r
RT
Fx
MT
ax
G 3 x 2 x
m
RT
Dove:
g
2
RT
T
2
5 103 s
RT
g
2
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41
Campo di una distribuzione a simmetria sferica nel caso
di uno strato sferico
cosa succede fuori e dentro la distribuzionedi massa?
e se la distribuzione è piena?
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42
M
3M
cos tan te
V
4R 3
Per un punto che dista r dal centro:
3
4
r
M' r3 M 3
3
R
M'
M
g r G 2 G 3 r
r
R
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43
Quesito
Ad una distanza r dal centro:
M' m
M ' V '
F G 2
r
4m
F G
r
3
Cosa ci ricorda?
K
3m
T 2
2
m
G 4m
3
T
84.2'
G
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44
Distribuzione di massa a simmetria sferica..........come puntiforme.
Consideriamo per ora uno “strato sferico”
Consideriamo una fetta dell strato ( anello):
lungh. 2 rsen dV 2 t r 2 send
l arg h. r d
M dV 2 t r 2 send
spessore t
La forza esrecitata dall’ anello sulla massa m di “prova” in P:
mdM
2 send
dF G 2 cos 2 Gt mr
cos
2
x
x
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45
mdM
2 send
dF G 2 cos 2 Gt mr
cos
2
x
x
R r cos 2
cos
; x R 2 r 2 2 Rr cos
x
R2 r 2 x2
r cos
;2 xdx 2 Rrsen d
2R
x
send
dx
Rr
dF
Gtmr R 2 r 2
R
2
x2
1dx
Rr
K
ma dato che:
R2 r 2
Rr x 2 1dx 4r
4r t m
Mm
dF K 4r G
G
Rr
2
R r
R2
F
R2
come se tutta la massa fosse concentrata in un punto
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46
Vale assumendo:
1. Simmetria sferica
2. E se ρ=ρ(r)?
3. Vale per la FG che agisce su m ma
viceversa
Possiamo dimostrare che F=0 dentro lo strato?
Siamo sempre ricondotti
ad un integrale del tipo:
B
I R 2 r 2 x 2 1 dx
A
Ma ora:
A r R; B r R
I 0;
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F 0
47
