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Meccanica dei Sistemi e Termodinamica modulo di Gravitazione Corsi di Laurea in: Fisica e Astrofisica, Tecnolgie Fisiche Innovative Anno Accademico 2006-2007 Lezioni ( docente: Savrié Mauro ) Mercoledì : 8:30-10:30 aula F4 Venerdì: 10:30-12:30 aula F4 Esercitazioni ( docente: G.Zavattini) giovedì : 8:30-10:30 aula F4 Le copie delle presenti trasparenze saranno disponibili in rete all’ indirizzo: www.fe.infn.it/~savrie cercare...ma occhio agli errori! Inizio lezioni: 10 Gennaio 2007 Fine lezioni: 17 Marzo 2007 Esami: - prova scritta: esito positivo: p >18/30 sconsigliato: 15/30<p<18/30 non ammesso: p<15/30 - prova orale : A.A. 2006-07 esito positivo: p>18/30 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 1 (Le forze centrali e ) la gravità 1. Forze centrali •Sono forze molto importanti in fisica •Sono sempre dirette verso un centro di forza •Origine delle coordinate coincidente con il centro della forza •Sono conservative •Il momento angolare si conserva F y P o r r' F Frˆ F' P’ Repulsiva!! F r 0 x r F r r dl 0 dt l C (ostante) prima del ‘600 nella gravitazione (Universo) non c’era niente da spiegare. • corpi “terreni” • corpi celesti A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 2 Newton nel 1665 ( aveva 23 anni ) ipotizza che la caduta dei gravi ed il moto dei corpi celesti siano regolati dalle stesse leggi. non se lo è inventato. Si basa sulle osservazioni di Tycho Brahe ed i calcoli del MATEMATICO Keplero che aveva enunciato 3 leggi ( fenomenologiche). 1. i pianeti si muovono su orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi 2. I pianeti si muovono con velocità areolare costante 3. i quadrati dei periodi di rivoluzione sono proporzionali ai cubi delle distanze medie dal Sole ( semi-asse maggiore ) Dimostrazione della II legge: vt v r S p se consideriamo un intervallo di tempo infinitesimo dt: dA 1 1 r v dt r mv dt 2 2m 1 dA r mv dt 2m dA L costante dt 2m L r mv r mvr v r mv L mrv mr 2 dA A.A. 2006-07 1 L dt 2m prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 3 Sole I Pianeti 1. 2. diametro: 1.4 106 Km densità 0.25ρTerra 3. 4. gravità: 28g massa 1030 Kg pianeta Massa (Kg) <Dist> dal Sole (m) Dist. al perielio (Km) Distanza all’afelio (Km) Periodo (s) anni T2/r3 (s2/m3) Mercurio 3.181023 5.79 1010 45.9 106 69.8 106 7.60 106 0.241 2.97 10-19 Venere 4.88 1024 1.08 1011 107 106 109 106 1.94 107 0.615 2.99 10-19 Terra 5.98 1024 1.50 1011 147 106 152 106 3.16 107 1.0 2.97 10-19 Marte 6.42 1023 2.28 1011 207 106 249 106 5.94 107 1.88 2.98 10-19 Giove 1.90 1027 7.78 1011 740 106 816 106 3.74 108 11.9 2.97 10-19 Saturno 5.68 1026 1.43 1012 1350 106 1510 106 9.35 108 29.5 2.979 10-19 Urano 8.68 1025 2.87 1012 2730 106 3010 106 2.64 109 84.0 2.95 10-19 Nettuno 1.03 1026 4.50 1012 4460 106 4540 106 5.22 109 165 2.99 10-19 Plutone 1.4 1022 5.91 1012 4410 106 7360 106 7.82 109 248 2.96 10-19 LUNA: 1. 2. 3. dist. dalla Terrra 0.384 106 Km diametro: 3476 Km volume 22 109 Km3 1/49 VTerra A.A. 2006-07 4. 5. 6. massa: 1/80 MTerra densità: 0.61 ρTerra3.34ρacqua gravità: 1/6 g prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 4 Le principali lune di Giove (satelliti naturali del pianeta) luna Massa (Kg) <dist.> da Giove (Km) Dist. al periastro di Giove Distanza all’ apoastro di Giove Periodo (giorni) Io 8.9 1022 422 103 422 103 422 103 1.77 Europa 4.8 1022 671 103 671 103 671 103 3.55 Ganimede 1.5 1023 1070 103 1068 103 1071 103 7.16 Callisto 1.1 1023 1883 103 1870 103 1896 103 16.69 I satelliti artificiali (della Terra) satelliti M (Kg) <dist.> T(Km) Dist. al periastro. (*103 Km) Dist. apoa. (*103 Km) Periodo (minuti) Sputnik I 83 6.97 103 6.60 7.33 96.2 Sputnik II 3000 7.33 103 6.61 8.05 104 Explorer I 14 7.83 103 6.74 8.91 115 Vanguard I 1.5 8.68 103 7.02 10.3 134 ExplorerIII 14 7.91 103 6.65 9.17 116 Sputnik III 1320 7.42 103 6.59 8.25 106 A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 5 Conseguenze importanti della 2a e 3a legge Nell’approssimazione delle orbite circolari dA 1 2 II r K1 cost. ; dt 2 T2 III 3 K 2 cost. a Con la stessa approssimazione ( ma si potrebbe dimostrare che vale sempre): F M P a M P 2 rrˆ T 2 2 F M P rrˆ T 2 M P massa del pianeta La forza è centripeta, e per il sistema Terra-Sole vale: FS ,T Fc FS ,T 4 M r 2 T 4 2 MT r KT r 3 2 MT r T2 dalla III legge FT ,S MS 2 r ....è una forza inversamente proporzionale al quadrato del raggio. Per azione e reazione questa forza è uguale a quella esercitata dalla Terra sul Sole ed è proporzionale alla massa della Terra, per simmetria........... A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 6 Per simmetria quindi: FT , S 4 MT r 4 2 M T r 2 T KS r3 2 Per il principio di azione e reazione : FT , S FS ,T M T K S M S KT Che valgono contemporaneamente se: 4 2 4 2 M T k S M S kT Definendo la nuova costante: modulo della forza M MT F r2 M MT F r2 Cosa fece realmente Newton? • confrontò le accelerazioni della luna e di un grave ( vedremo come ) • considerò le masse puntiformi ( non era evidente nel caso generale!) Ed ipotizzò……………. A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 7 La legge di gravitazione universale M 1M 2 F12 G r̂12 2 r12 N.B. Infatti se nella legge ricavata prima indichiamo con G una costante di proporzionalità: Mm F G 2 r E prima abbiamo visto che: G È una costante che non dipende nè da M né da r G= costante di gravitazione universale Dimensioni: Valore: 6.67 1011 F12 ......... A.A. 2006-07 3 1 2 L M T Nm2 3 1 2 m Kg s 2 Kg la forza è attrattiva prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 8 Dimostrazione della III legge Usiamo il sistema Terra-Luna nell’ aprossimazione dell’ orbita circolare ( ma è sempre vera!!!): ω m r c ω R M C centro di massa M r m R (e) F 0 acm 0 Mm 2 G m r 2 R r 3 r GM 2 r 3 4 2 2 T 4 3 T r GM 2 T2 4 cost. 3 r GM A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 9 Come fece Newton per verificare la validità della legge di Gravitazione Universale? (forse....) consideriamo il sistema Terra-Luna ed assumiamo che si possa fare l’ approssimazione di masse puntiformi (scopriremo che è vero!!!) Confrontiamo le accelerazioni della Luna e di un grave sulla superficie della Terra. FT , L G M T mL ; 2 rL F G MT m rT2 si conoscevano (rL era inizialmente errato): rL 3.84 108 m; rT 6.38 106 m nell’ ipotesi di lavorare in un sistema di riferimento inerziale: F MT F MT g G 2 ; aL G 2 m rT mL rL 2 g rL2 2 g 2 g T 2 2 r r r r 2 T L L a T 2 aL rT 4 r L L 2 v a L 2 r a 4 2 rL a 4 2 rL L L L rL T 2 L T2 rL3 g 4 2 2 8 T r r 3 . 84 10 m in accordo con i dati!!! T L 2 rT A.A. 2006-07 lo aveva misurato Eratostene prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 10 se è vero che l’ accelerazione del grave e della Luna seguono la stessa legge: g r2 aL L 2 T r 3.62 103 l’ accelerazione della Luna la possiamo calcolare in base al suo T ed alla sua distanza vL2 r aL 4 2 L2 2.72 10 3 ms 2 rL TL coincide entro l’ 1% con g 3.61 103 il rapporto inverso del aL quadrato delle distanze ms-1: se g=9.81 misurato!!! inoltre: MT MT g G 2 G g 2 rT rT 1 2 11 Nm 6.67 10 2 Kg Cavendish Calcolare la variazione di g con la quota r r r r h g ( r rT h) h 2 g( r ) GM T rT 1 rT g h 2 0!!!! g rT 2 Fgrav. m h 2 GM T rT 1 2 rT G MT rT h 2 h g 1 2 rT 6000 Km 6015 Km h 1 r h 15 Km rT 400 1 g : 9.80ms 975ms g 200 2 A.A. 2006-07 2 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 11 Misura di Gcon la Bilancia di Cavendish A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 12 Massa inerziale e massa gravitazionale da esperimenti di dinamica da esperimenti gravitazionali MASSA ma sono uguali le quantità che si misurano? siano dati tre corpi: FCA G # Min Mgr distanza A MA,in MA,gr dAC=r C MC,in MC,gr dCB=r B MB,in M,gr M A, gr M C , gr r 2 ; FCB G PA M A, gr FCA PA FCB PB PB M B , gr ma in un esperimento inerziale: PA M A ,in g PA M A PB M B ,in g PB M B A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie M B , gr M C , gr r2 M A ,gr M B ,gr M A ,in M B ,in M A ,gr M B ,gr M A ,in M B ,in 13 Bisogna fare un esperimento! lmin. T 2 gmgr. Newton l T 2 g solo se: min.=mgr. Bessel: misure accurate con pendoli: 1. 2. min. 1 mgr . 1 6 104 Eötvos (1909): min.=mgr. con 1/108 Dicke (1964) : min.=mgr. con 1/1010 Baricentro e centro di Massa? A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 14 Campo Gravitazionale 1. 2. regione di spazio sede di forze gravitazionali è una grandezza vettoriale n mi m0 Ftot G 3 ri 0 ri 0 i 1 3. 4. il campo di una massa non è perturbato dalle altre masse caratterizzato da un vettore tipico: g n Forza Ftot mi g G 3 ri 0 m0 i 1 ri 0 unità di massa campo: funzione vettoriale della Gdm posizione ( e del tempo?) g 2 r̂ campo: è un “intermediario” r m3 m2 mi ri 0 fi 0 m1 m0 A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 15 g x 2 g1 cos 2G g x 2Gm x x 2 a m x r2 r 3 2 2 •il segno meno indica che per x>0 il campo è verso sx •come va il campo per x>>a? A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 16 Mm F G 2 rˆ r Essendo centrale (radiale), in coordinate polari si ha che: Mm f rˆ g 2 ; fˆ 0; fˆ 0 r verifichiamo che è conservativo: Mm F G 2 rˆ r f GMmx( x 2 y 2 z 2 ) 3 2 x 3 2 2 2 2 f y GMmy( x y z ) f GMmz( x 2 y 2 z 2 ) 3 2 z dr r x WAB A z O ds B A B WAB r' B A y F ds ˆ GMmr r ds 2 B WAB GMm r 2 dr A A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 17 WAB 1 1 GMm rB rA dalla definizione di potenziale: dalla definizione di energia potenziale: Mm U r -G r dU F r dr funzione solo del punto V r G Mm C. r E p r G Mm C r • <0 per r finito • =0 per R=∞ •Fg è attrattiva •W>0 se m viene da ∞ • U(r) vale per qualunque cammino per una distribuzione continua di massa: G V (r ) m dm r 1. N.B. 2. la forza di Newton è corretta solo se M ha una distribuzione di massa sferica o se è puntiforme altrimenti vale per gli elementi dm per i sistemi legati gravitazionalmente 1 2 Mm E mv G 0 2 r A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 18 consideriamo infatti un corpo di massa m (satellite) orbitante attorno ad un corpo di massa M(pianeta). Sia M fisso nell’ origine di un sistema di riferimento inerziale e l’ orbita di m sia circolare. Mm U r G r 1 2 1 K mv m 2 r 2 2 2 nel approssimaione di orbita circolare: Mm Mm 2 G m r G 2 2 r R r GM 2r 2 r GM 2 r 3 1 GMm K 2 r 1 2 Mm 1 Mm Mm E mv G G G 2 r 2 r r 1 Mm 1 Mm E G 0 E G 0 2 r 2 a per tutti i sistemi legati A.A. 2006-07 per orbite ellittiche a= semi asse magg. prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 19 E (nergia ) si può dimostrare che per un’orbita qualunque : 3 Mm E E0 0 K E0 0 G2 2 1 e M m 2J 2 J cost. : momento angolare de ll' orbita e eccentricità dell' orbita r0 r E K U E0 0 E A.A. 2006-07 U orbita ellisse cerchio parabola iperbole Eccent. 0<e<1 e=0 e=1 e>1 En.totale <0 <0 =0 >0 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 20 Riordiniamo le idee sul potenziale gravitazionale Per come avevamo definito il potenziale: U U b U a Lab Che per l’ energia potenziale del P.M. in b: U b Lab U a In cui L’energia potenziale di a può essere scelta arbitrariamente. Per una particella rispetto al campo terrestre la poniamo uguale a zero sulla superficie terrestre: U Lab 0 mg y mgy Nei casi generali: U a 0 U r Lr 0 A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 21 Per una particella di massa m che si muove verso la Terra in direzione radiale la forza che agisce sulla particella (forza del campo): MT m F r G 2 r r U r Lr F r dr M T m U r G 2 dr r r r MT m MT m U r G G r r Quindi l’ energia e’ una proprietà del sistema di masse e non di una delle masse del sistema. Per la forza: dU d M T m F G dr dr r MT m F G 2 r A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 22 Esempio Velocità di fuga L’energia potenziale di un corpo di massa m sulla superficie terrestre vale il lavoro, cambiato di segno, che le forze del campo compiono per trasportare il corpo di massa m dall’ infinito (ove Fg=0; Ug=0) fin sulla superficie terrestre: MT m U r G rT Il lavoro necessario per portare la massa all’ infinito partendo dalla superficie terrestre, è dato da: Lr G MT m 6 107 J Kg 1 rT Quale dovrebbe essere la sua velocità iniziale? 1 2 MT m mv0 G 2 rT MT v0 2G 11.2 Kms1 40 103 Kmh1 rT A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 23 Esempio 2) Periodo massimo di un pendolo l T 2 g x0 m ??? x rT F G MT m mg 2 RT x MT m Fx F cos F G 2 x RT RT Fx Kx m m 2 M m K G T3 RT RT RT T 2 2 GM T g 2 RT T 2 T 84.3 60s A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 24 Sistemi di particelle Se due particelle sono a distanza r la loro energia potenziale è: U r Lr Lr Lr Lavoro compiuto dalla forza gravitazionale per portare le particelle da distanza infinita a distanza r Energia potenziale di un sistema=lavoro che forze esterne devono compiere per costituire il sistema a partire da una configurazione di riferimento Nel campo terrestre noi ( forza esterna) dovremmo compiere il lavoro : • per separare il P.M dalla Terra : U y mg y mgy • per portarlo dall’ infinito a r: U y Lr mgy A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 25 E per un sistema di più masse... y m1 m3 m2 o r12 : G m1m2 r12 r23 : G x r13 : G m1m3 r13 m2 m3 r23 E l’energia potenziale del sistema: m1m2 m1m3 m2 m3 U G G G r12 r13 r23 Mentre per separare i corpi: A.A. 2006-07 L U prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 26 E per un sistema di più masse... y m1 m3 r13 r12 r23 m2 x o m2 : r12 : G m1m2 r122 m3 : r13 : G m1m3 r132 m2 m3 r23 : G 2 r23 E l’energia potenziale del sistema è la somma: m1m2 m1m3 m2 m3 U G 2 G 2 G 2 r12 r13 r23 Mentre per separare i corpi: L U m1m3 m2 m3 m1m2 L G 2 G 2 G 2 r12 r13 r23 A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 27 Esempio Energia potenziale (di legame)del sistema Terra-Sole: M S MT U TS G 5.0 1033 J rTS M s 3.0 105 M T 24 Avendo considerato: M T 6.0 10 Kg 11 r 15 . 10 m TS A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 28 Dimostrazione della I legge di Keplero r̂ dr y α v il moto avviene nel piano: rd d o x dalla conservazione dell’ energia: E dr vr v cos dt d v vsen r dt 1 2 Mm mv G costante 2 r 2 2 1 dr d Mm m r E G 2 dt dt r ma il momento angolare si conserva: d L rmvsen rm r dt L costante d L dt mr 2 2 L2 2E M dr 2G 2 2 m r dt m r A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 29 L2 dr 2E M 2 2 2G dt m r mr 1 2 ma dato che ci interessa solo la relazione tra r e l’ anomalia φ d L dr mr 2 d L dt mr 2 dr a b2 d 2 b 1 2 r r r 1 L2 2E M m 2 r 2 m 2G r 1 2 1 2 2 L2 b 2 Em Mm a G 2E si può integrare ( non tanto facilmente!!!!) 0 a cos b 2 ar r a b 2 2 φ0=cost. di integ.0 r a a 2 b 2 cos b 2 equazione di un’ ellisse di assi a ( maggiore) e b ( minore) I pianeti si muovono intorno al Sole su orbite ellittiche A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 30 equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine ellitticit à e eccentricità a b a f f e P( x , y ) b A f1 o a f2 B 1 2 2a f1o ae 1 0 f1 P Pf 2 cost. 2a e 1 x ae y x ae y 2 A.A. 2006-07 1 2 2 2 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 1 2 2 2a 31 equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine ellitticit à e eccentricità a b a 2c P( x , y ) M P' b A f1 f f e o a B f2 1 2 2a cerchio ausiliario o eccentrico f1 f 2 2ae f1 P Pf 2 cost. 2a c a 2 b2 e a a oM a f1 P ' f 2 P ' a b2 a 2 1 e2 x oM cos a cos y oM cos asen A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 32 equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine 2c P( x , y ) M P' b A a f1 x a cos y b sin f2 B x 2 a 2 cos 2 y 2 b 2 sin 2 b 2 x 2 b 2 a 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 b x a y a b a 2 y 2 a 2b 2 sin 2 x2 y2 2 1 2 a b eq. cartesiana dell’ ellisse A.A. 2006-07 x a cos y b sin eq. parametrica dell’ ellisse prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 33 equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine 2c P( x , y ) M P' b A fy a f1 anomalia eccentrica B f2 f x anomalia vera f 2 M r raggio vettore dal teorema di Pitagora: 2 2 r f2 f x f2 f y 2 2 2 2 f 2 f x b sen f 2 f y a cos 2 2 r b sen a cos e 2 2 2 1 cos 2 sen 2 2 2 b2 a 2 1 e2 r a1 e cos A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 34 y 2c P( x , y ) b A' d r a f2 O f1 c a 2 b2 r ε a a d d D r cos 1 1 cos r D D Q S A x D r D r cos fattore di scala D r 1 cos L’ equazione della nostra orbita era: r a a 2 b 2 cos b 2 r b2 2 2 a b a 1 cos a A.A. 2006-07 r b2 a a 2 b 2 cos b2 r a1 cos 2 b prof. Savrié Mauro r 1 cos [email protected] a www.fe.infn.it/~savrie 35 y 2c c a 2 b2 r a a d P( x , y ) b A' S A x D quando il punto P coincide con A: D D OA OA OA 1 quando il punto P coincide con A’: OA' D OA' r OA' d D OA' d r a f2 O f1 r OA OA d AV D OA Q D OA' 1 2D 2a OA OA' 1 2 D a 1 2 a 2 b2 a1 2 a 2 b D a A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 36 Domanda da 10 punti!!!! Cosa succede se aumentiamo o diminuiamo di poco il “raggio” dell’ orbita? y P r φ x descriviamo il moto in sistema di riferimento non inerziale con origine nel Sole ed un asse r diretto da S verso P. Il sistema ruota con velocità angolare ω: Mm Fg G 2 rˆ Fg forza grav. r 2 Fc m rrˆ Fc forza app. centrifuga Mm d La componente radiale F F F G m r G C 2 del risultante delle forze: R r dt 2 L costante in generale ( orbite ellittiche ) ma il mom. angolare: costante d L Mm L2 FR G 2 3 2 dt mr r mr è conservativa A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 37 U eff . r Fr dr Mm L2 U eff . r G r 2mr 2 U eff . r 0 U eff . r 0 U eff . r minima per r r0 2r U(r) L2 per r 2GMm 2 e per r U(r) Ueff.(r) è del tipo : 2 K r r0 U 0 r* r0 r r -GMm/r U 0 G 2 nell’ intorno di r0 l’ energia potenziale è ben approssimanta da una funzione del tipo M 2 m3 2L2 U r K r r0 U 0 2 esiste quindi un forza di richiamo: Fr A.A. 2006-07 U eff . r 2 K r r0 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 38 Rappresentazione grafica dei campi di forza linee di forza 1. Il vettore del campo ha la direzione della tangente alla linea di forza in ogni punto 2. iniziano e finiscono sulle “sorgenti” del campo 3. la loro densità è proporzionale all’ intensità del campo 4. la loro distribuzione nello spazio in genere rispecchia le “simmetrie” delle sorgenti A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 39 Linee di forza che indicano il campo gravitazionale vicino ad una massa puntiporme. La direzione delle L.d.F. indica la direzione del campo in ogni punto; la densità delle linee è proporzionale all’ intensità del campo A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 40 Esempio 41 y o MT F mg mG 3 rr RT MT MT Fx mG 3 rsin RT r RT x x sin r Fx G M T mr x MT m G x 3 3 RT r RT Fx MT ax G 3 x 2 x m RT Dove: g 2 RT T 2 5 103 s RT g 2 A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 41 Campo di una distribuzione a simmetria sferica nel caso di uno strato sferico cosa succede fuori e dentro la distribuzionedi massa? e se la distribuzione è piena? A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 42 M 3M cos tan te V 4R 3 Per un punto che dista r dal centro: 3 4 r M' r3 M 3 3 R M' M g r G 2 G 3 r r R A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 43 Quesito Ad una distanza r dal centro: M' m M ' V ' F G 2 r 4m F G r 3 Cosa ci ricorda? K 3m T 2 2 m G 4m 3 T 84.2' G A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 44 Distribuzione di massa a simmetria sferica..........come puntiforme. Consideriamo per ora uno “strato sferico” Consideriamo una fetta dell strato ( anello): lungh. 2 rsen dV 2 t r 2 send l arg h. r d M dV 2 t r 2 send spessore t La forza esrecitata dall’ anello sulla massa m di “prova” in P: mdM 2 send dF G 2 cos 2 Gt mr cos 2 x x A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 45 mdM 2 send dF G 2 cos 2 Gt mr cos 2 x x R r cos 2 cos ; x R 2 r 2 2 Rr cos x R2 r 2 x2 r cos ;2 xdx 2 Rrsen d 2R x send dx Rr dF Gtmr R 2 r 2 R 2 x2 1dx Rr K ma dato che: R2 r 2 Rr x 2 1dx 4r 4r t m Mm dF K 4r G G Rr 2 R r R2 F R2 come se tutta la massa fosse concentrata in un punto A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie 46 Vale assumendo: 1. Simmetria sferica 2. E se ρ=ρ(r)? 3. Vale per la FG che agisce su m ma viceversa Possiamo dimostrare che F=0 dentro lo strato? Siamo sempre ricondotti ad un integrale del tipo: B I R 2 r 2 x 2 1 dx A Ma ora: A r R; B r R I 0; A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie F 0 47
