Fisica 2
14° lezione
Programma della lezione
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Autoinduzione
Dimensioni e unità dell’autoinduttanza
Fem autoindotta
Induzione mutua
Circuito LR
Energia magnetica
Autoinduzione
• Un circuito percorso da corrente
genera un campo B
• Il flusso di B concatenato al
circuito è
B | S B dA
S
• B può essere calcolato usando la
prima formula di Laplace 0 dl r
B
4
i
• B è proporzionale alla corrente,
ne segue che anche il flusso lo è
r3
Autoinduttanza. Dimensioni, unità
di misura
• Il coefficiente di proporzionalità è detto
autoinduttanza del circuito
Li
• Dipende soltanto da fattori geometrici, come la
capacità elettrica
• Le dimensioni sono
L
i
• L’unità di misura è lo henry (H)
Wb Tm 2
H
A
A
Autoinduttanza di un solenoide
• Il campo B dentro un solenoide di N spire,
sezione A e lunghezza l è
N
B 0 ni 0 i
l
• Il flusso di B concatenato con le N spire è
NBA nlBA 0 n 2 Ali
• L’autoinduttanza è
L 0 n 2 Al
i
Fem autoindotta
• In un circuito non deformabile, se varia la
corrente, varia il flusso di B e quindi viene
indotta una fem
• In un circuito indeformabile l’autoinduttanza è
costante, la legge di Faraday si scrive
d
d ( Li)
di
E
L
dt
dt
dt
Induzione mutua
• Se due circuiti C1 e C2 sono vicini, il
flusso magnetico attraverso uno
dipende anche dal campo B, e quindi
dalla corrente, dell’altro
0
dl 2 r
12 B2 | S1 B2 dA1
B2
i2
3
4
r
S1
C1
• Di nuovo il flusso è proporzionale alla
corrente
12 M 21i2
• Ove M21 il coefficiente di induzione del
circuito 2 sul circuito 1
C2
Induzione mutua
• A questo termine si aggiunge naturalmente quello di
autoinduzione, il flusso totale è quindi
1 L1i1 M 21i2
• Simmetricamente per il circuito 2 avremo
2 L2i2 M12i1
• Si può dimostrare che
M12 M 21
• Il valore comune M è detto induttanza mutua
• Dipende sia dalla forma di entrambi i circuiti che dalla
loro disposizione relativa e distanza
• Dimensioni e unità di misura sono le stesse di L
Circuito LR
• Contiene un resistore R e un induttore L
• Inizialmente il circuito è aperto e i=0
• Alla chiusura del circuito i è ancora zero, ma
varia come di dt e nell’induttanza c’è una fcem
L di dt
• Al tempo t circola una corrente i e ai capi di R
c’è una caduta di potenziale iR
• Per il 2° principio di Kirchhoff
di
Eb iR L 0
dt
Analisi qualitativa del circuito LR
• Al tempo t=0, i=0 e la fcem L di dt è uguale
all’opposto della fem della batteria. Ne segue
che i cresce come di Eb
dt 0 L
• Al crescere di i, cresce la caduta di potenziale
sulla resistenza. Ne segue che i cresce come
di Eb iR
dt
L L
• Cioè più lentamente che per t=0
Analisi qualitativa del circuito LR
• Il valore finale di i si ottiene uguagliando a zero
Eb
di dt e vale
if
R
• L’equazione del circuito ha la stessa forma che
per il circuito di carica di un condensatore
• Si ottiene come soluzione
Eb
i
1 e t
R
L
• Con
R
costante di tempo del circuito
Energia Magnetica
• Partiamo dall’equazione del circuito LR e
moltiplichiamo tutti i termini per la corrente
di
Ei i R Li
dt
2
• Il primo membro rappresenta la potenza erogata
dalla batteria
• Il primo termine a secondo membro è la potenza
dissipata nella resistenza
• Il secondo termine rappresenta la rapidità con
cui viene erogata energia all’induttore
Energia Magnetica
• Possiamo dunque scrivere
dU m
di
Li
dt
dt
• La quantità totale di energia accumulata
nell’induttore si trova integrando da i=0 a i=If
If
1 2
U m dU m Lidi LI f
2
0
• Si deve dunque compiere lavoro per instaurare
una corrente in un induttore
Energia Magnetica
• Nell’istaurare una corrente in un induttore si
genera un campo B
• Il lavoro compiuto può quindi interpretarsi
come il lavoro necessario per produrre il
campo B
• L’energia accumulata in un induttore è
accumulata nel campo B
• Nel caso di un solenoide rettilineo
B 0 ni
L 0 n Al
2
Energia Magnetica
• L’energia magnetica accumulata è
2
2
1 2 1
B
B
U m LI f 0 n 2 Al
lA
2
2
20
0 n
• Poiché Al è il volume del solenoide, definiamo
la densità di energia magnetica
2
Um
B
m
lA 20
• Questo risultato è generale
