Il teorema di Pitagora

TEOREMA DI PITAGORA
Contenuti
1. Particolari terne
numeriche e teorema
di PITAGORA
2. Le terne pitagoriche
3. Applicazioni del
teorema di Pitagora
1.
2.
3.
4.
5.
Competenze
Sapere il significato di terna
pitagorica
Sapere il teorema di Pitagora
Applicare il teorema di Pitagora
Risolvere problemi geometrici
con l’uso del teorema di
Pitagora
Sapere e usare il linguaggio
inerente ai contenuti esposti
Particolari Terne Numeriche
Gli antichi Egizi per costruire con
precisione un angolo retto
prendevano una fune e in essa
facevano 13 nodi alla stessa distanza
uno dall’alto (ottenendo così 12
tratti di corda ); con dei paletti , poi,
tendevano la corda in modo da
formare un triangolo che avesse i lati
lunghi rispettivamente 3 volte, 4
volte e 5 volte la distanza fra due
nodi successivi. L’angolo formato dai
due lati più corti era un angolo retto.
Noi partiremo proprio da questa
terna di numeri , 3, 4 e 5, così
importante presso gli egizi da essere
considerata sacra, per arrivare a uno
dei più importanti teoremi della
geometria : il Teorema di Pitagora.
Gli antichi popoli, oltre agli Egizi,
conoscevano questo sistema ma
usavano altre terne di numeri ; i
Cinesi pare usassero le terne:
5,12,13 e 8, 15, 17
Consideriamo queste terne: 3,4 e 5, 5, 12 e 13, 8, 15 e 17 ed
esaminiamone una caratteristica comune, nota fin
dall’antichità.
32  4 2  9  16  25  52
52  12 2  25  144  169  132
82  152  64  225  289  17 2
Dicesi terna pitagorica qualunque terna di numeri
naturali che sono le misure dei lati di un triangolo
rettangolo; ovvero: tali che il quadrato del più grande è
uguale alla somma dei quadrati degli altri due.
Q3 = Q1 +Q3
Q1
Q2
NUMERICAMENTE :
25cm2= 16cm2 + 9cm2
25
16
9
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa
è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due
cateti.
Quest’ultimo modo di enunciare il Teorema di PITAGORA ci
permette di ricavare le formule esplicative:
i2 = C2+c2
= i2+C2
da cui: C2 = i2-c2 e anche: c2
Sono queste le tre formule che ci permetteranno di
utilizzare il Teorema di PITAGORA in un qualsiasi
triangolo rettangolo. Da esse, infatti, conoscendo la
misura di due lati si può trovare la misura del terzo lato
estraendo la radice quadrata da ciascun membro delle tre
uguaglianze:
i  C 2  c2
C  i2  c2
c  i2  C2
Applicazioni del Teorema di PITAGORA
PROBLEMA 1
Le dimensioni di un rettangolo sono 12cm e
5cm .Determinare la lunghezza della
diagonale.
AB= 12cm
;
A
D
B
C
BC= 15cm
Sappiamo che la diagonale divide il rettangolo
in due triangoli rettangoli congruenti, ciascuno
dei quali ha per cateti le dimensioni del
rettangolo stesso e per ipotenusa la diagonale.
Possiamo applicare il Teorema di Pitagora ad
uno dei due triangoli per esempio ABC :
AC  BC 2  AB 2  12 2  5 2 cm  144  25cm  169cm  13cm
In generale, indicando le misure di base, altezza
e diagonale con b,h,d, si ha che
PROBLEMA 2
Il lato di un quadrato è lungo 10cm. Calcolare la
lunghezza della diagonale.
La diagonale divide il quadrato in due triangoli
rettangoli isosceli congruenti, ad uno dei quali
applichiamo il teorema di Pitagora:(vedi fig.)
D
C
A
B
BD  AB  AD  10  10 cm 
2
2
2
2
 100  100cm  10 2cm 
 10  1,41cm  14,1cm
L’uguaglianza BD=10 2 ci dice che la lunghezza
della diagonale del quadrato è uguale al prodotto
della lunghezza del lato per 2 ;quindi indicando
con d è l tali lunghezze, possiamo scrivere la
seguente formula:
ovvero,dato che
d=1,41l
formula inversa:
l 
d
2
d l 2
2  1,41
ovvero : l 
(valore approssimato ):
d
1,41
Tale terna gode di due importanti proprietà :
1. Rispetto a una qualsiasi unità di misura, sono le
misure dei lati di un triangolo che è necessariamente
rettangolo;2. Sono tali che la somma dei quadrati delle
due misure più piccole è uguale al quadrato della
misura più grande.
Interpretiamo la seconda proprietà da un punto di vista
geometrico. Assumiamo come unità di misura il cm. e
osserviamo che:
32=9cm2
rappresenta l’area del quadrato
costruito
sul cateto minore.
42=16cm2
rappresenta l’area del quadrato
costruito
sull’ipotenusa cateto maggiore.
52=25cm2
rappresenta l’area del quadrato
costruito sull’ipotenusa
Geometricamente tale proprietà ci dice:L’area del
quadrato sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree
dei quadrati costruiti sui due cateti.
Si può dimostrare tale relazione sperimentalmente con il metodo della
pesata.
Consideriamo un triangolo rettangolo e i tre quadrati costruiti
rispettivamente sui due cateti e sull’ipotenusa, come in figura .
Disegniamo , e poi ritagliamo, i tre quadrati su uno stesso cartone a
spessore uniforme e mettiamo Q1 e Q2 sul piatto di una bilancia e Q3
sull’altro piatto della bilancia.
Noteremo il perfetto equilibrio della bilancia; e ciò ci dice che Q1 e Q2
hanno lo stesso peso di Q3 e noi ne deduciamo che Q1 e Q2 hanno la
stessa estensione di Q3:
Q1 + Q2 = Q3
Un po’ di storia
Pitagora nacque a Samo, un’isola della Grecia, probabilmente nel 570 a.C.,
fu il primo filosofo-matematico della storia. Intorno a Pitagora e alla sua
scuola sorsero parecchie leggende che esaltarono il carattere filosofico,
religioso e scientifico della sua grande figura e resero ancora più misteriosa
l’attività della scuola stessa . Il nucleo fondamentale su cui Pitagora basava la
sua concezione della matematica è il “NUMERO”:”I numeri sono il principio
di tutte le cose”, recitava la sua dottrina filosofica.
Parecchie sono le scoperte che vengono attribuite alla scuola pitagorica,
anche se il merito veniva sempre dato all’illustre maestro. Per quanto
riguarda la geometria, ai pitagorici vengono attribuiti, fra le altre scoperte .
a) Il teorema sulla somma degli angoli del triangolo.
b) Il cosiddetto “teorema di Pitagora”.
c) La risoluzione di parecchi problemi sulle aree,allora ancora insoluti.
d) la costruzione dei poliedri regolari.
I pitagorici studiarono, con particolare interesse , i poligoni e i solidi regolari;
il pentagono e la stella pentagonale a cinque punte pare che avessero
affascinato talmente tanto il grande maestro che li pose a simbolo della scuola