TEOREMA DI PITAGORA e terna pitagorica

TEOREMA DI PITAGORA
Contenuti
1. Particolari terne
numeriche e teorema
di PITAGORA
2. Le terne pitagoriche
3 Applicazioni
A li i i del
d l
3.
teorema di Pitagora
1.
2.
3.
4.
5.
Competenze
Sapere il significato di terna
pitagorica
it
i
Sapere il teorema di Pitagora
Applicare il teorema di Pitagora
Risolvere problemi geometrici
con l’uso del teorema di
Pit
Pitagora
Sapere e usare il linguaggio
inerente ai contenuti esposti
p
Particolari Terne Numeriche
Gli antichi Egizi per costruire con
precisione un angolo retto
prendevano una fune e in essa
facevano 13 nodi alla stessa distanza
uno dall’alto (ottenendo così 12
tratti di corda ); con dei paletti , poi,
tendevano la corda in modo da
formare un triangolo che avesse i lati
lunghi rispettivamente 3 volte, 4
volte e 5 volte la distanza fra due
nodi successivi. L’angolo formato dai
due lati più corti era un angolo retto.
Noi partiremo proprio da questa
3 4 e 5,
5 così
terna di numeri , 3,
importante presso gli egizi da essere
considerata sacra, per arrivare a uno
dei p
più importanti
p
teoremi della
geometria : il Teorema di Pitagora.
Gli antichi popoli, oltre agli Egizi,
conoscevano questo sistema ma
usavano altre
lt terne
t
di numerii ; i
Cinesi pare usassero le terne:
5,12,13 e 8, 15, 17
Consideriamo queste terne: 3,4 e 5, 5, 12 e 13, 8, 15 e 17 ed
esaminiamone una caratteristica comune
comune, nota fin
dall’antichità.
32 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 52
52 + 12 2 = 25 + 144 = 169 = 132
82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 17 2
Dicesi terna pitagorica qualunque terna di numeri
naturali che sono le misure dei lati di un triangolo
rettangolo; ovvero: tali che il quadrato del più grande è
uguale
g
alla somma dei quadrati
q
degli
g altri due.
Q3 = Q1 +Q3
Q1
Q2
NUMERICAMENTE :
25cm2= 16cm2 + 9cm2
25
16
9
In un triangolo
g
rettangolo
g
il q
quadrato costruito sull’ipotenusa
p
è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due
cateti.
Quest ultimo modo di enunciare il Teorema di PITAGORA ci
Quest’ultimo
permette di ricavare le formule esplicative:
i2 = C2+c2
= i2+C2
da cui: C2 = i2-c2 e anche: c2
Sono queste le tre formule che ci permetteranno di
utilizzare il Teorema di PITAGORA in un qualsiasi
triangolo rettangolo. Da esse, infatti, conoscendo la
i
ò trovare la
l misura
i
d l terzo lato
l
misura
di d
due llatii sii può
del
estraendo la radice quadrata da ciascun membro delle tre
uguaglianze:
i=
C 2 + c2
C = i2 − c2
c = i2 − C 2
Applicazioni del Teorema di PITAGORA
PROBLEMA 1
Le dimensioni di un rettangolo
g
sono 12cm e
5cm .Determinare la lunghezza della
diagonale.
AB 12cm
AB=
12
;
A
D
B
C
BC=
BC 15cm
15
Sappiamo che la diagonale divide il rettangolo
in due triangoli rettangoli congruenti, ciascuno
dei quali ha per cateti le dimensioni del
rettangolo stesso e per ipotenusa la diagonale.
Possiamo
oss a o applicare
app ca e il Teorema
eo e a di
d Pitagora
tago a ad
uno dei due triangoli per esempio ABC :
AC = BC 2 + AB2 = 122 + 52 cm = 144 + 25cm = 169cm = 13cm
In generale, indicando le misure di base, altezza
e diagonale con b,h,d, si ha che
PROBLEMA 2
Il lato di un quadrato è lungo 10cm . C alcolare la
lunghezza della diagonale.
L a diagonale
di
l
divide
di id
il quadrato
d t
in
i
due
d
triangoli
t i
li
rettangoli isosceli congruenti, ad uno dei quali
applichiam o il teorem a di P itagora:(vedi fig.)
D
C
A
B
BD =
=
AB + AD = 10 + 10 cm =
2
2
100 + 100 cm = 10
2
2
2 cm =
= 10 ⋅ 1,41cm = 14,1cm
L uguaglianza BD=10 2 ci dice che la lunghezza
L’uguaglianza
della diagonale del quadrato è uguale al prodotto
della lunghezza del lato per 2 ;quindi indicando
con d è l tali lunghezze, possiamo scrivere la
seguente formula:
d =l 2
ovvero,dato
ovvero
dato che
d=1,41l
formula inversa:
l =
d
2
2 = 1,41
ovvero
:l =
(valore approssimato ):
d
1 , 41
Tale terna gode di due importanti proprietà :
1. Rispetto a una qualsiasi unità di misura, sono le
misure dei lati di un triangolo che è necessariamente
rettangolo;2. Sono tali che la somma dei quadrati delle
due misure più piccole è uguale al quadrato della
misura più grande.
grande
Interpretiamo la seconda proprietà da un punto di vista
geometrico. Assumiamo come unità di misura il cm. e
osserviamo
i
che:
h
32=9cm2
rappresenta l’area del quadrato
costruito
sul cateto minore.
42=16cm2
rappresenta l’area del quadrato
costruito
sull’ipotenusa cateto maggiore.
52=25cm2
rappresenta l’area del quadrato
costruito sull’ipotenusa
sull ipotenusa
Geometricamente tale proprietà ci dice:L’area del
quadrato sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree
dei quadrati costruiti sui due cateti.
cateti
Si puòò dimostrare
di
tale
l relazione
l i
sperimentalmente
i
l
con il metodo
d della
d ll
pesata.
Consideriamo un triangolo rettangolo e i tre quadrati costruiti
rispettivamente sui due cateti e sull’ipotenusa, come in figura .
Disegniamo , e poi ritagliamo, i tre quadrati su uno stesso cartone a
spessore
p
uniforme e mettiamo Q
Q1 e Q
Q2 sul piatto
p
di una bilancia e Q3
Q
sull’altro piatto della bilancia.
Noteremo il perfetto equilibrio della bilancia; e ciò ci dice che Q1 e Q2
hanno lo stesso peso di Q3 e noi ne deduciamo che Q1 e Q2 hanno la
stessa estensione di Q3:
Q1 + Q2 = Q3
Un po’ di storia
Pitagora
g
nacque
q a Samo
Samo,, un’isola della Grecia,, p
probabilmente nel 570 a.C.,,
fu il primo filosofofilosofo-matematico della storia. Intorno a Pitagora e alla sua
scuola sorsero parecchie leggende che esaltarono il carattere filosofico,
religioso e scientifico della sua grande figura e resero ancora più misteriosa
l’attività della scuola stessa . Il nucleo fondamentale su cui Pitagora basava la
sua concezione della matematica è il “NUMERO”:”I numeri sono il principio
di tutte le cose”,
cose” recitava la sua dottrina filosofica
filosofica.
Parecchie sono le scoperte che vengono attribuite alla scuola pitagorica,
anche se il merito veniva sempre dato all’illustre maestro. Per quanto
riguarda
i
d la
l geometria,
t i aii pitagorici
it
i i vengono attribuiti,
tt ib iti fra
f le
l altre
lt scoperte
t .
a) Il teorema sulla somma degli angoli del triangolo.
b) Il cosiddetto “teorema di Pitagora”.
c) La risoluzione di parecchi problemi sulle aree,allora ancora insoluti.
d) la costruzione dei poliedri regolari.
regolari.
Ip
pitagorici
g
studiarono,, con p
particolare interesse , i p
poligoni
g
e i solidi regolari;
g
;
il pentagono e la stella pentagonale a cinque punte pare che avessero
affascinato talmente tanto il grande maestro che li pose a simbolo della scuola
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