“Lavoro” compiuto da una forza : v(t3) v(t2 ) ds v(t 1) B m F dW F ds Fds cos A lavoro infinitesimo : B lavoro da A a B : WAB dW A B F ds A unità di misura del lavoro (S.I.): [W]= N m Joule Esempio: B lavoro della forza d’attrito dinamico: W attr AB attr F ds m D mgux Ds AB m D mgDs AB A ux Fattr =-mDmgux A U.Gasparini, Fisica I v Ds B x 1 Lavoro della forza peso: z zA A ( I) zB ds mg (III) (II) ds dz ds cos B mg mg ds mgds cos mgdz B WAB mg ds mg A B dz mg ( z A zB ) A lavoro indipendente dal cammino percorso: W(I)AB = W(II)AB = W(III)AB la forza peso é un esempio di “forza conservativa” U.Gasparini, Fisica I 2 Potenza istantanea: lavoro compiuto per unità di tempo ad un dato istante: P( t ) Unità di misura (S.I.) : dW ( t ) dt [P] = [W] / [t] = J / s W (“Watt”) Se F è una forza applicata ad un punto materiale in moto con velocità v, la potenza sviluppata dalla forza F è: F ( t ) ds P(t ) F (t ) v (t ) dt P Potenza media: W Dt lavoro compiuto in un dato tempo diviso il tempo impiegato. Altre unità di misura di uso pratico: Lavoro: KWh 1KW 3600s 3.6 106 J Potenza: U.Gasparini, Fisica I h. p. 745.7W “chilowattora” “cavallo vapore” 3 Campo vettoriale E’ definito quando in ogni punto di una data regione dello spazio è definito un vettore, ossia siano date tre funzioni dei punti dello spazio, in generale indipendenti, che rappresentino le componenti (ad es. cartesiane) di un vettore. Esempio: campo vettoriale delle velocità delle particelle di un fluido in moto. “Campo di forza”: campo vettoriale che rappresenta, in ogni punto dello spazio in cui è definito, la forza cui un punto materiale è soggetto quando si trova in quel punto introduzione del concetto di “azione a distanza” In situazioni “statiche” ( sorgenti della forza indipendenti dal tempo) è un utile strumento matematico; in situazioni dinamiche (sorgenti della forza in moto), è indispensabile per la decrizione descrive. U.Gasparini, Fisica I 4 Campo di forza conservativo Campo di forza per il quale il lavoro lungo qualsiasi percorso chiuso sia nullo : F (r ) ds 0 per qualsiasi curva chiusa ds r F( r ) o, equivalentemente: B A F ds B A 1 A U.Gasparini, Fisica I F ds per qualsiasi coppia di punti A,B e per qualsiasi percorso 1 ,2 che li congiunge 2 1 B 2 5 Energia cinetica “Energia cinetica” di un punto materiale di massa m e velocità v : Ek E k kgm2 s 2 ( dimensioni: 1 2 mv 2 mkgms 2 mN J ) Per un punto materiale in moto da un punto A ad punto B sotto l’azione di una forza risultante F vale il teorema dell’energia cinetica : B DE k E kB E kA WA B F ds A vA A m E kA vB B 1 mv A 2 2 U.Gasparini, Fisica I F E kB 1 mv B 2 2 6 Teorema dell’ energia cinetica aT B ds a s(t) aN A B WA B F ds A dv (t ) dv (t ) v2 uT uN dt dt m dv (t ) ds dt ma ds A dv ( s) mv ds ds U.Gasparini, Fisica I B m B A dv( s(t )) ds dt B ma T ds dv ( t ) dt A m dv ( s) ds(t ) ds ds dt 1 1 2 mvdv mv B mv 2A E kB E kA 2 2 7 Esempio: moto lungo un piano inclinato privo d’attrito la reazione vincolare non compie lavoro F a 0 a mg d 2 x (t ) dt l condizioni iniziali: dalla legge di Newton: 2 g sin x x0 0, v0 0 Integrando l’equazione del moto: v (t ) g sin t x (t ) 1 g sin t 2 , x (t f ) t f 2 v f v (t f ) g sin t f 2 g sin 2g sin Utilizzando il teorema dell’energia cinetica, si giunge allo stesso risultato: =0 f DE k E k U.Gasparini, Fisica I E ki 1 mv 2 f Wi f 2 vf 2g sin mg sin lavoro della forza peso 8 Energia potenziale Per un campo di forza conservativo, si definisce “energia potenziale” quella funzione dei punti dello spazio tale che la sua differenza tra due qualsiasi punti A, B sia uguale a meno il lavoro compiuto dalla forza del campo per andare da A a B (lungo un qualsiasi percorso): DE pAB ( r ) E p ( rB ) E p ( rA ) WA B B F ( r ) ds A E p ( rB ) E p ( rA ) WA B E p ( rA ) ossia: B F ( r ) ds A E pB E p ( x B , y B , z B ) E p ( x A , y A , z A ) B E pA E p ( x A , y A , z A ) uz ux rA o x A A rB uy [F B ( x , y , z ) dx Fy ( x , y , z ) dy Fz ( x , y , z )dz] F ( x , y , z ) u F ( x , y , z ) u x x y y F( r ) Fz ( x , y , z ) u z l’energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria ( al valore ad essa convenzionalmente assegnato in un punto arbitrario) U.Gasparini, Fisica I 9 Energia meccanica E’ la somma dell’ energia cinetica e dell’ energia potenziale : EM (r , v ) E k E p (r ) Principio di conservazione dell’energia meccanica : nel moto di un corpo in un campo di forze conservativo, l’energia meccanica è costante : per due punti qualsiasi A,B della traiettoria : B E kA E pA E kB E p Infatti: B E kB E kA WA B DE p E pA E p teorema dell’ energia cinetica U.Gasparini, Fisica I definizione di energia potenziale 10 Esempio: energia potenziale della forza peso: B z DU U B U A A zA mg ds A zB mgdz mg ( z B zA) A U B U A mg ( z B z A ) B mg B O Il punto A può essere scelto nell’origine: A O zA 0 U B U O mgz B [ ovvero, considerando il percorso OA: U A U O mg ( z A zO ) U B U O mg( z A zO ) mg( z B z A ) U O mg( z B zO )] Posto : U O 0. U B U ( z B ) mgz B ossia, per il generico punto P di coordinata z : U ( z) mgz U.Gasparini, Fisica I 11 Esempio: conservazione dell’energia meccanica nel moto di un corpo sotto l’azione della forza peso. z v0 h mg x E iM 1 1 f 2 mv0 mgh E M mv 2 2 2 v 2 v 2 v0 2 gh [ dall’equazione del moto si giunge allo stesso risultato: v x (t ) v0 x v z ( t ) v 0 z gt z ( t ) h v0 z t z (t vz f v0 z gt f v0 f ) 0tf v0 z v0 z 2 2 v2 v xf v zf f U.Gasparini, Fisica I f 1 gt 2 2 2 v0 z 2hg 2 / g v0 f 2hg 2 v0 z 2hg 2 2 2 v0 x v 0 z 2 gh v 0 2 gh 12 ] Lavoro ed energia potenziale di una “forza elastica” F ( x) kxux Forza elastica: “costante elastica”: [k] = N / m (il comportamento “elastico” dei materiali, cioè per deformazioni riproducibili che non inducono modificazioni irreversibili della struttura, è descritto da una legge di questo tipo, detta “legge di Hooke”) F ( x) kxux 0. Lavoro: 2 W12 F ( x ) ds 1 2 1 ux x 1 kxdx kx 2 2 x2 x1 Energia potenziale: DE p E p ( x2 ) E p ( x1 ) W12 E p ( x ) E p ( x1 ) Scelto x 10. e posto U.Gasparini, Fisica I 1 2 k ( x12 x2 ) 2 1 2 k ( x2 x12 ) 2 1 k ( x 2 x12 ) 2 E p ( x 0.) 0. E p ( x) 1 kx 2 2 13 Bilancio energetico In presenza di forze sia conservative che non conservative ( o “dissipative”) , vale l’equazione del “bilancio energetico”: DE M (r , v) D( E k E p (r )) WNC energia potenziale associata alle forze conservative presenti Infatti: lavoro compiuto dalle forze non conservative E kf E ki W tot WCons. WNC ( E pf E ip ) WNC E kf E pf ( E ki E ip ) WNC Esempio: moto lungo un piano scabro z E iM Fattr zi 0 mg l U.Gasparini, Fisica I 1 mvi2 mgzi 2 1 f EM mv 2 f 2 1 1 mv 2f mvi2 mgzi 2 2 WNC Fatt m D mg cos 1 1 mv 2 mvi2 mgzi f 2 2 m D mg cos Gradiente di una funzione scalare La relazione che definisce l’energia potenziale di un campo di forza conservativo: DE pAB ( r ) B F ( r ) ds A può essere invertita, introducendo il concetto di “gradiente” di una funzione scalare: data una funzione scalare V ( r ) = V(x,y,z) , si definisce il “gradiente di V” il vettore , indicato con V, tale che per qualsiasi spostamento infinitesimo dr risulti: V dr dV V (r dr ) V (r ) V cos dr dV V (r ) V P U.Gasparini, Fisica I dr P’ Il prodotto scalare del vettore gradiente di V nel punto r con il vettore dr è uguale alla variazione infinitesima della funzione V( r ) tra il punto r e il punto r+dr V (r dr ) dV V cos dr 15 Gradiente di una funzione scalare (II) La “derivata direzionale”(limite della variazione per unità di spostamento della funzione V( r ) lungo la direzione Dr ): dV V ( r Dr ) V ( r ) lim V cos V dr Dr Dr 0 é massima (cos = 1 ) quando dr é diretto lungo la direzione del gradiente di V il gradiente di V é un vettore diretto lungo la direzione di massima variazione (per unità di spostamento) della funzione V( r ); il suo modulo é uguale al valore della derivata direzionale di V( r ) lungo tale direzione; il verso è quello in direzione dei valori crescenti di V Superfici a egual valori di V dV V2 V1 V dr1 dr2 U.Gasparini, Fisica I V( r ) = V2 dV dV dr1 dr2 dr1 dr2 dV dV dr1 dr2 V( r ) = V1 16 Esempio: gradiente di una funzione scalare V(x,y) In uno spazio bidimensionale (per es.: V(x,y)= h altezza del suolo s.l.m.) V(x,y) 400 300 200 100 y x y curve di egual livello P1 V=100 V=200 V V V=300 V=400 P2 V P3 x Il gradiente di V in ogni punto P è diretto perpendicolarmente alle curve di egual livello (ossia lungo la direione di massima pendenza del terreno) U.Gasparini, Fisica I 17 Rappresentazione del gradiente in coordinate cartesiane Per una funzione V( r ) = V(x,y,z) : dV V ( r dr ) V ( r ) V ( x dx , y dy , z dz ) V ( x , y , z ) V ( x , y , z ) V ( x , y , z ) V ( x , y , z ) dx dy dz x y x “derivate parziali” V ( x dx , y , z ) V ( x , y , z ) Dx 0 Dx lim Dalla definizione di gradiente: V dr dV V (r dr) V (r) V dr V dx V dy V dz dV V V V U.Gasparini, Fisica I x x y z y V ( x , y , z ) x V ( x , y , z ) y V ( x , y , z ) z z rappresentazione del vettore gradiente in coordinate cartesiane ortogonali 18 Rappresentazione del gradiente in coordinate polari Per una funzione V( r ) = V(r,,j) : V ( r , , j ) V ( r , , j ) V ( r , , j ) dr d dj r j dV lo spostamento dr ha componenti polari: dr drur rdu r sin djuj ur z dr P=( r,,j j x V dr V V r P’=( r+dr, +d, j+dj d dj y r sin r V , r U.Gasparini, Fisica I u r uj dalla definzione di gradiente: dr V V 1 V , r rd V V j r sin dj dV j 1 V r sin j 19 Forza : gradiente dell’energia potenziale dE p ( r ) F ( r ) ds Dalla definizione di energia potenziale: E p E p E p dx dy dz ( Fx dx Fy dy Fz dz ) x y z E p ( x , y , z ) x E p ( x , y , z ) Fy ( x , y , z ) y Fx ( x , y , z ) Fz ( x , y , z ) E p ( x , y , z ) z Esempio: dall’energia potenziale della forza peso : Fx ( x , y , z ) Fy ( x , y , z ) F (r ) E p (r ) E p 0 x E p 0 y E p ( x, y, z) mgz c E p Fz ( x , y , z ) mg z U.Gasparini, Fisica I F (0,0,mg ) 20 Superficie equipotenziale E p ( x , y , z) E p F luogo dei punti dello spazio aventi lo stesso valore dell’ energia potenziale costante z per uno spostamento ds lungo la superficie, per definizione: ds y dE p 0 x dE p E p ds 0 Il vettore: E p F E p ds è in ogni punto dello spazio perpendicolare alla superficie equipotenziale passante per quel punto. Esempio: superfici equipotenziali della forza peso E p ( z) mgz = costante EP = - mg z y x U.Gasparini, Fisica I mg 21