TRASFORMATORE Allievi aerospaziali Versione aggiornata al 31 maggio 2011 RICHIAMI PRELIMINARI Proprietà di solenoidalità del vettore induzione magnetica B e flusso concatenato con una linea chiusa Solenoidalità di B S superficie chiusa B ndS 0 S S S1 S2 B ndS S1 B n1dS B n 2 dS 0 S2 S S1 B n1dS B n 2 dS S2 Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ • Per la solenoidalità del vettore induzione magnetica i due integrali di superficie estesi a S1 e S2 sono indipendenti dalla superficie purché questa sia orlata da γ. • Dati il vettore induzione magnetica ed una linea chiusa orientata γ si definisce pertanto flusso di tale vettore concatenato con γ la quantità: B ndS S in cui Sγ è una qualsiasi superficie orlata da γ e la normale n a Sγ è orientata in maniera congruente all’orientazione di γ. Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ; congruenza del verso della normale alla superficie S rispetto a quello della linea γ Legge di Faraday Data la f.e.m. (forza elettromotrice), associata al campo elettrico non conservativo K e alla linea chiusa orientata γ: e K tdl Legge di Faraday Tale f.e.m. è legata al flusso di B concatenato con γ dalla relazione: e = - d /dt in cui vale il segno – se il flusso concatenato con γ è calcolato con la stessa orientazione di γ con cui è definita la f.e.m e. Legge di Ampére Dati il campo magnetico H , una linea chiusa orientata λ e la corrente i concatenata con questa, si ha: H t dl i assumendo il segno + se il verso della corrente i è congruente con quello di λ ed il segno – nel caso contrario Legge di Ampére; congruenza del verso di i rispetto a quello di λ Legge di Ampére Nel caso di N spire in serie di un avvolgimento attraversate dalla corrente i e concatenate con λ, la stessa legge assume la forma: H tdl Ni % Legge di Ampére Se conferiamo un carattere algebrico al numero di spire, attribuendo un segno ad N, corrispondente al verso con cui sono avvolte le N spire intorno a λ, possiamo esprimere la legge di Ampere nella forma: H t dl Ni % Legge di Ampére Ovviamente il segno di N non è una caratteristica intrinseca dell’avvolgimento poiché riferito alla congruenza tra il verso delle N spire attraversate dalla corrente i con il verso di λ. % Legge di Ampére In analogia con la f.e.m e associata al campo elettrico K : e K tdl la quantità Ni associata al campo magnetico H : Ni H tdl è denotata come forza magneto motrice (f.m.m.). Riluttanza di un tubo di flusso del vettore induzione magnetica B • Sia S la sezione retta del tubo di flusso sufficientemente piccola rispetto alla sua lunghezza • Il flusso di B si può esprimere come φ=B·S • Sia λ la linea media del tubo di flusso % % H tdl Ni Hdl Ni H S B S dl Ni 1 dl Ni S R 1 dl S R Ni Configurazione schematica di un trasformatore Simbolo circuitale del doppio bipolo trasformatore i1 v1 i2 v2 Simbolo circuitale del trasformatore negli schemi degli impianti Andamento del campo di induzione magnetica B % Andamento del campo di induzione magnetica Distinguiamo tre tubi di flusso le cui linee medie sono p (tubo di flusso principale che si sviluppa prevalentemente nel ferro concatenato con entrambi gli avvolgimenti) e σ1 e σ2 (tubi di flusso disperso con un consistente sviluppo in aria e concatenati con uno solo dei due avvolgimenti) Tubo di flusso principale S np B Tale flusso determina l’accoppiamento magnetico dei due avvolgimenti e contribuisce al trasferimento di potenza dal primario al secondario p B n p dS S F.e.m. indotta dal flusso principale • La f.e.m. indotta in ciascuno degli avvolgimenti dal flusso principale è dato dalla somma delle f.e.m. indotte delle singole spire in serie • Al fine di calcolare la f.e.m. indotta nella singola spira, dobbiamo tener conto che il singolo avvolgimento sarà orientato e che pertanto l’orientamento della singola spira visto dall’alto potrà essere antiorario oppure orario Orientamento dell’avvolgimento B B F.e.m. indotta nell’avvolgimento di sinistra (verso congruente con B ) S B np B B è orientata verso l’alto; ϒ è congruente con p. p e p1 N1 d p dt F.e.m. indotta nell’avvolgim. di sinistra (verso non congruente con B ) B è orientata verso l’alto; ϒ non è congruente con p. B B p e p1 N1 d ( p ) dt F.e.m. nell’avvolgimento di sinistra B L’induzione è orientata verso l’alto; i casi dei due possibili versi dell’avvolgim. si sintetizzano con: e p1 () N1 e p1 N1 d p dt d p dt F.e.m. nell’avvolgimento di destra B L’induzione è orientata verso il basso; i casi dei due possibili versi dell’avvolgim. si sintetizzano analogamente con: ep 2 N2 d p dt F.e.m. indotte dai flussi dispersi I flussi dispersi 1 (primario) e 2 (secondario) sono proporzionali ad i1 ed i2. Le f.e.m. indotte da tali flussi sono: di1 e 1 l 1 dt e 2 di2 l 2 dt Induttanze di dispersione Le induttanze di dispersione l 1 e l 2 sono legate ai flussi dispersi 1 e 2 dalle relazioni: N1 1 l 1 i1 N2 2 l 2 i2 Accoppiamento magnetico perfetto Se i flussi dispersi 1 e 2 e le induttanze di dispersione l 1 e l 2 sono nulli, l’accoppiamento magnetico dei due avvolgimenti si dice perfetto Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo Leggi di Kirchhoff delle tensioni (LKT) per i due avvolgimenti v1 + ep1 + eσ1= r1 i1 v2 + ep2 + eσ2= r2 i2. Legge di Ampére p H tdl N1i1 N 2i2 % Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo LKT per i due avvolgimenti d p di1 v1 r1 i1 l 1 N1 dt dt d p di2 v2 r2 i2 l 2 N2 dt dt Legge di Ampére R p N1i1 N 2i2 Trasformatore ideale Ipotesi semplificative: • Avvolgimenti perfettamente conduttori→ r1=r2=0 • Accoppiamento magnetico perfetto tra i due avvolgimenti →lσ1= lσ2=0 • Riluttanza trascurabile del tubo di flusso principale →R=0 % Trasformatore ideale Equazioni nel dominio del tempo d p v1 N1 v2 N 2 dt d p dt 0 N1i1 N2i2 Trasformatore ideale in regime sinusoidale v1 2V1 sin( t ) Equazioni nel dominio dei fasori: V1 jN1 p V2 jN 2 p V 1 / V 2 N1 / N 2 0 N1 I1 N 2 I 2 I 1 / I 2 N 2 / N1 % Trasformatore ideale in regime sinusoidale Posto: a N1 / N2 (rapporto di trasformazione) le equazioni del trasformatore ideale si riducono a: V1 V2 I1 a 1 a I2 Doppio bipolo Trasformatore ideale: rappresentazione grafica Equazioni V1 V2 a I1 1 a I2 Doppio bipolo Trasformatore ideale V1 V2 a I1 1 a I2 Trasformatore ideale: proprietà di trasparenza alle potenze V1 aV2 1 I1 I 2 a V1 I1 V2 I 2 ( P1 jQ1 ) ( P2 jQ2 ) P1 P2 Q1 Q2 % Trasformatore ideale: proprietà di trasparenza alle potenze i2 i1 v1 v2 P1 potenza assorbita dal primario (avvolgim. 1) P2 potenza erogata dal secondario (avvolgim. 2) e trasferita all’utilizzatore. P1 P2 Pot. attiva assorbita = Pot. attiva erogata Rendimento unitario Applicazioni del trasformatore • • • • Abbassatore di tensione Elevatore di tensione Piccolissime potenze di pochi W Grandi trasformatori di diverse centinaia di MVA (reti di produzione, trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica) Struttura della rete elettrica nazionale (produzione, trasmissione e distribuzione) Traliccio ad alta tensione Isolatori Doppio bipolo Trasformatore ideale V1 V2 a I1 1 a I2 Trasformatore ideale: proprietà di trasformazione delle impedenze Essendo V1 aV2 V1 z '2 I1 I 2 a I1 dove V2 z2 I 2 z' 2 a 2 z 2 Diversi modelli del trasformatore reale di crescente complessità • Modello 1: r1 r2 0 , l 1 l 2 0 , ferro ideale, privo di perdite con riluttanza R finita e costante; • Modello 2: r1 r2 0 , l 1 l 2 0 , ferro reale con perdite; • Modello 3: avvolgimenti reali ( r1, r2 0 ), loro accoppiamento magnetico non perfetto ( l 1 , l 2 0), ferro reale con perdite, rete equivalente a T. Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo LKT per i due avvolgimenti d p di1 v1 r1 i1 l 1 N1 dt dt d p di2 v2 r2 i2 l 2 N2 dt dt Legge di Ampére R p N1i1 N 2i2 Modello 1 del trasformatore reale • Avvolgimenti ideali ( r1 r2 0) • Accoppiamento perfetto ( l 1 l 2 0 ) • Ferro ideale, privo di perdite con riluttanza R finita e costante. Modello 1 Equazioni di base: V1 jN1 p V2 jN 2 p R p N1 I1 N 2 I 2 Riluttanza nel modello 1 (finita e costante) La riluttanza è somma del contributo del ferro e dei traferri 4 R fe S 0 S l fe B 1 R dl p S Il ferro ha permeablità cost.→caratterist. B-H lineare→area nulla del ciclo d’isteresi →perdite per isteresi nulle; analogamente nulle le perdite per correnti di Foucault Funzionamento a vuoto avvolgim. second. aperto i2 0 i10 v1 Il sistema può essere considerato come un bipolo, la cui caratteristica è: V1 f ( I 10 ) Modello 1: funzionamento a vuoto avvolgim. second. aperto Equazioni V1 jN1 p p N1 I 10 / R V1 I 10 jL1 R p N1 I 10 V1 j( N / R) I 10 jL1 I 10 2 1 dove L1 N1 / R 2 Funzionamento a vuoto, confronto con il trasformatore ideale La legge di Ampére nel trasformatore ideale fornisce: 1 I1 I 2 a A vuoto I 2 0 → anche I1 0 → Il trasformatore ideale a vuoto costituisce un aperto ideale. % Funzionamento a vuoto, confronto con il trasformatore ideale Il valore del flusso è imposto dalla tensione applicata: V1 jN1 p Il valore finito del flusso, pur in assenza di correnti i1 e i2 finite è spiegabile con il fatto che si è supposta nulla la riluttanza R R p N1 I1 N 2 I 2 0 p 0 Modello 1 del trasformatore reale; funzionamento sottocarico Il flusso p non varia rispetto al funzionamento a vuoto essendo sempre imposto dalla tensione v1 : V1 jN1 p Il flusso è pertanto costante al variare del carico del trasformatore % Modello 1 del trasformatore reale; funzionamento sottocarico R p N1 I1 N 2 I 2 Legge di Ampére N1 ) N2 R p / N1 I1 I 2 / a (a V1 I1 I '2 I 10 jL1 1 R ( jN1 p ) I1 I 2 / a 2 j N1 dove L1 N / R 2 1 I '2 I 2 / a LKT V1 jN1 p V1 V2 a V2 jN 2 p Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico V1 V2 a I '2 1 a I2 V1 I1 I '2 I 10 jL1 V1 jN1 p V2 jN 2 p R p N1 I1 N 2 I 2 Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico Se si divide I e II membro della legge di Ampere per N 2 si ottiene un’altra rete equiv. La corrente I ' '1 a I 1 L2 N / R 2 2 rappresenta la corrente I 1 dal lato 2 vista Modello 2 del trasformatore reale • Avvolgimenti ideali ( r1 r2 0) • Accoppiamento perfetto ( l 1 l 2 0 ) • Ferro reale con perdite Comportamento reale del ferro B è sinusoidale, le correnti no. Infatti: v1 2V1 sin( t ) v1 N1 d p dt R p N1i1 N 2i2 1 R dl p S Comportamento reale del ferro L’area del ciclo rappresenta l’energia di magnetizzazione per unità di volume dissipata in calore. Una relazione empirica fornisce la potenza dissipata: Pi k 2p K cost del materiale proporzionale alla frequenza ed al volume. % Comportamento reale del ferro Perdite per correnti parassite nel ferro (o correnti di Foucault) in una lastra piana indefinita di spessore Δ: Pcp C f 2 2 2p fe C cost. opportuna, fe resistività del ferro Il fenomeno non è portato in conto dalle eq. di base precedenti. % Comportamento reale del ferro La potenza complessiva dissipata nel ferro è fornita dalla somma delle perdite per isteresi e di quelle per correnti parassite: Pfe Pi Pcp k ' 2p e conseguentemente: Pfe k"V 12 Confronto del model. 2 con il model. 1 nel funzionam. a vuoto La potenza assorbita dal trasformatore è nulla. Tale modello non è quindi in grado di rappresentare i fenomeni dissipativi nel ferro. La potenza trasformata in calore nel ferro deve essere fornita dalla rete di alimentazione Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto Si possono trattare in maniera separata i problema della non linearità e della dissipazione di potenza nel ferro, riducendo il ciclo alla sua linea media e considerando a parte le perdite nel ferro. Pfe k"V 12 % Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto Si può linearizzare la linea media del ciclo, considerando cost. la riluttanza. Le perdite 12 nel ferro Pfe k"V possono essere rappresentate da una resist. in parall. a L1 tale che: Pfe V / R' m 2 1 Modello 2 (ferro reale): rete equival. nel funzionam. a vuoto R'm V / Pfe 2 1 L1 N12 / R Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto La corrente a vuoto risulta pari alla somma: I 10 I ' a I ' Pfe V1 I ' a Q V1 I ' Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico L1 N / R 2 1 R'm V / Pfe 2 1 % Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico L2 N / R 2 2 R"m V22 / Pfe % Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico Nel trasformatore ideale 1 I1 I 2 a Nel trasformatore reale 1 I 1 I ' 2 I 10 I 2 I 10 a Il rapporto tra le correnti è diverso da 1/a. Lo scostamento è prodotto da I10 % Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico Il trasformat. non è più trasparente né alla pot. attiva, né a quella reattiva. La pot. attiva assorbita dal primario è la somma di quella trasferita al second. e delle predite nel ferro. Il rendimento è diverso da 1. Riduzione della potenza reattiva Q e delle perdite nel ferro Pfe Per ridurre Q occorre ridurre la riluttanza R, riducendo i traferri e aumentando la permeabilità. Per ridurre Pfe si usano lamierini isolati laminati a freddo di ferro silicio. Tali lamierini sono anisotropi. Nucleo magnetico Modello 3 del trasformatore reale • Avvolgimenti reali (r1, r2 0) • Accoppiamento non perfetto (l 1 , l 2 0) • Ferro reale con perdite Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite) Eq. di base nel dominio del tempo: di1 v1 e p1 r1 i1 l 1 dt d p e p1 N1 dt R p N1i1 N 2i2 v2 e p 2 di2 r2 i2 l 2 dt ep 2 N2 d p dt Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite) Eq. di base nel dominio dei fasori V 1 E p1 (r1 jl 1 )I 1 V 2 E p2 (r2 jl 2 )I 2 E p1 jN1 p E p 2 j N 2 p R p N1 I1 N 2 I 2 Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite) LKT V 1 E p1 (r1 jl 1 ) I 1 E p1 jN1 p V 2 E p 2 (r2 jl 2 ) I 2 E p 2 j N 2 p R p N1 I1 N 2 I 2 Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico V1 jN1 p V2 jN 2 p R p N1 I1 N 2 I 2 Modello 3: rete equivalente (ferro senza perdite) Modello 3: rete equivalente (ferro reale con perdite) Modello 2: rete equivalente Modello 3: rete equivalente (ferro reale con perdite) Modello 3: rete equivalente a T Nel trasformatore ideale % Modello 3: rete equivalente a T zu % Modello 3: rete equivalente a T dove I '2 I 2 / a r ' 2 a r2 2 l ' 2 a 2 l 2 V ' 2 aV2 z'u a zu 2 % Modello 3: rete equivalente a T Impedenze z1 r1 jl1 z'2 r '2 jl ' 2 z1 m z' z'2 z'm ( jL1 ) // R'm Modello 3: deduzione rete equivalente a L LKT LKC V 1 (r1 jl 1 ) I 1 (r ' 2 jl 2 ) I ' 2 V ' 2 I 1 I ' 2 I 10 % Modello 3: deduzione rete equivalente a L LKT dove V 1 (r1 jl 1 ) I 10 (r 'eq jl 'eq ) I ' 2 V ' 2 r ' eq r1 r ' 2 l 'eq l 1 l ' 2 % Modello 3: deduzione rete equivalente a L Trascurando (r1 jl 1 ) I 10 I 1 I ' 2 I 10 → V 1 (r ' eq jl 'eq ) I ' 2 V ' 2 Bilancio delle potenze Pfe V12 / R' m Pcu r 'eq I ' 22 Bilancio delle potenze Potenze Potenza assorbita Pass V1 I1 cos 1 Potenza utile Put V2 I 2 cos 2 Invarianza delle potenze rispetto al lato del trasformatore Pot. Utile Put V2 I 2 cos 2 V ' 2 I ' 2 cos 2 essendo V ' 2 a V2 Pfe V / R'm V / R"m 2 1 essendo 2 2 R"m R' m / a 2 I ' 2 (1 / a ) I 2 Pcu r 'eq I ' 22 r"eq I 22 r"eq r 'eq / a 2 Funzionamenti a rendimento nullo Rendimento= Put / Pass= 0 se . Put 0 Put V2 I 2 cos 2 Put 0 se I 2 0 (funzionamento a vuoto) o se V2 0 (funzionamento in corto circuito) Pass Pcu Pfe Prova a vuoto Schema di misura W A V 1 f P Pfe r I 2 1 10 T V V 2 r I trascurabile 1 10 20 I 10 10 2 I 1n Prova a vuoto; determinazione parametri verticali circuito ad L W A V 1 f V R' m V 2 / W T V 20 I ' a V / R' m I ' m I102 I ' 2a L1 V / I ' Prova in corto circuito Schema di misura W A V 1 cc f T V P Pcu Pfe Pcu Vcc2 / R'm Vcc2 / R'm trascurab. Vcc 102V1n Prova in corto circuito I 1n V 1cc trascurabile I10 Prova in corto circuito W A V 1 cc T f V r 'eq W / I 2 1n 2 l 'eq (V / I1n ) 2 r 'eq Rendimento del trasformatore, determinazione diretta Put W2 Pass W1 Inconvenienti • Notevole influenza degli errori di misura dei wattmetri • Difficile determinare la variabilità del rendimento con il carico Rendimento del trasformatore, determinazione convenzionale Diversa traduzione operativa: Put Put Pfe Pcu P utile Put V2 I 2 cos 2 ipotizzata e non misurata P fe e Pcu misurate nelle prove a vuoto ed in corto circuito Andamento del rendimento in funzione del carico Rendimento convenz. V2 I 2 cos 2 V12 V2 I 2 cos 2 ' req" I 22 Rm Se V2 è supposta costante, trascurando le cadute di tensione, si ottiene il diagr. dove per I2= I2p le perdite nel ferro e nel rame sono eguali 0 per I 2 I2 I2p I 2 p 0.6 0.9 I 2 n Pfe req" Rendimento in energia Ci si riferisce alle energie invece che alle potenze: w Wut Wut W fe Wcu essendo l’energia data da W t 0 vidt t0 Ci riferisce ad un prefissato intervallo : si ha così il rendim. giornaliero, mensile, etc. Rendimento in energia W t 0 vidt t0 Se in il carico è costante ( I 2 e V2 costanti): Wut V2 I 2 cos 2 W fe Pfe Wcu Pcu e i rendimenti in potenza ed energia sono eguali. Rendimento giornaliero Se si esprime l’energia in Wh si ha: Put Put V2 I 2 cos 2 h 24 V2 I 2 cos 2 h w V12 V2 I 2 cos 2 h ' 24 req" I 22 h Rm Andamento del rendim. in energia in funzione del carico L’andamento è analogo a quello del rendim. in potenza. Si ha il massimo quando l’en. persa nel ferro è eguale all’en. persa nel rame → per I 2 dato da: I 2w Pfe 24 r"eq h 24 I2p h Caduta di tensione I10 V1n I2 0 V 20 Si definisce caduta di tensione la quantità: V V20 V2 I1 V1n I2 V2 Caduta di tensione: funzionamento a vuoto 0 E p 2 V 20 E p1 / a , trascurando la caduta di tensione dovuta a I 10 → E p1 V 1n V20 V1n / a V2 n V V20 V2 V2n V2 Calcolo della caduta di tensione V 1n (r 'eq jl 'eq ) I '2 V '2 dove I '2 I 2 / a (conv.gener.) r 'eq r1 a 2 r2 l 'eq l 1 a 2 l 2 Dividendo per a → V 2n V 20 (r"eq jl"eq ) I 2 V 2 dove r ' eq l 'eq l 1 r1 r"eq 2 2 r2 l"eq 2 2 l 2 a a a a Calcolo approssimato della caduta di tensione FG perpendicolare a BG V 2n V 20 (r"eq jl"eq ) I 2 V 2 ΔV=BK, trascurando CK, ΔV=BC=BH+HC BH r"eq I 2 cos 2 HC l"eq I 2 sin 2 V r"eq I 2 cos 2 l"eq I 2 sin 2 Strutture Trasformatore monofase Trasformatore monofase; nucleo magnetico a mantello Trasformatore monofase; nucleo magnetico a mantello Trasformatore trifase, banco tri-monofase Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella complanare Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella complanare Trasformatore trifase Trasformatore trifase, connessione magnetica a triangolo A B Trasformatore trifase a cinque colonne