I Poligoni - Atuttascuola

Cap. 9 Poligoni
Spezzata
C
B
 A cosa vi fa pensare una spezzata?
 Qualcosa che si rompe in tanti pezzi
 A me dà l’idea di un spaghetto che
si rompe
 Se noi rompiamo uno spaghetto e
manteniamo uniti i vari pezzi per un
punto abbiamo l’idea della spezzata
 In pratica la spezzata è
data dall’unione di tanti
segmenti uno consecutivi
all’altro
D
A
E
F
Elementi di una pezzatavertici
I punti di inizio e di fine della
spezzata prendono il nome di
estremi della spezzata
C
lati
D
I punti che uniscono i
segmenti consecutivi
prendono il nome di vertici
della spezzata
I segmenti consecutivi che
formano la spezzata
prendono il nome di lati della
spezzata
B
A
estremi
E
F
Tipi di spezzata
 Spezzata aperta semplice
 Spezzata aperta intrecciata
 Spezzata chiusa semplice
 Spezzata chiusa intrecciata
Spezzata aperta
 Una spezzata si dice aperta se i suoi
estremi non coincidono
Spezzata aperta
 Una spezzataintrecciata
aperta si dice rintracciata
quando ha due o più lati che si
Spezzata aperta
intersecano
Spezzata Chiusa
 Una spezzata si dice chiusa se i suoi
estremi coincidono
 Una spezzata chiusa si dice intrecciata
se ha almeno due lati che si
intersecano
Spezzata semplice
chiusa
Spezzata chiusa
intrecciata
Poligono
 Cosa succede al piano a se noi
tracciamo una spezzata chiusa
semplice?
 Se immaginiamo di prendere un
paio di forbici e di ritagliare il
contorno cosa abbiamo preso?
 Un pezzo di piano più
precisamente una porzione di
piano (parte colorata)
Definiamo poligono una porzione di
piano delimitata da una spezzata chiusa
Delimitare: Chiudere qualcosa dentro un limite, tracciarne
i confini
Lati consecutivi
 Consideriamo la
seguente figura
 Vediamo che i lati a e
i lati b hanno un
vertice in comune (B)
Contributi esterni
Tipi di poligono

1.
2.

Possiamo riconoscere due tipi di poligoni
Poligono concavo
Poligono convesso
Che differenza esiste fra i due?
Poligono Convesso
 Fissiamo la nostra attenzione sugli
angoli interni e sui lati
 Definiamo interno l’angolo formato
da due lati consecutivi
 Tutti gli angoli interni sono minori di
un angolo piatto
 Se consideriamo le rette passanti
per i lati del poligono nessuna di
esse lo attraversa
 Si definisce convesso un
poligono che non viene
attraversato dal
prolungamento dei suoi lati
Poligono concavo
 Fissiamo nuovamente la nostra
attenzione sugli angoli interni e sui
lati
 Alcuni angoli interni sono maggiori
di un angolo piatto
 Se consideriamo le rette passanti
per i lati del poligono alcune di esse
lo attraversano
 Si definisce concavo un
poligono che è
attraversato dal
prolungamento di alcuni
lati
Diagonali
 Consideriamo la seguente figura
 Disegniamo un segmento che
unisce due vertici non
consecutivi
 Chiamiamo questo segmento
diagonale
 Si definisce diagonale
in segmento che
unisce due vertici non
consecutivi di un
poligono
Perimetro
Consideriamo il seguente poligono

 I lati a, b, c, e d rappresenteranno il contorno del poligono
 Immaginiamo ora di prenderli uno ad uno e di sommarli
(sappiamo già come si fa altrimenti slide successiva)
 La lunghezza del segmento A’A’’ ottenuto sommando questi
lati è detta perimetro del poligono
 Di definisce perimetro di un poligono e si
indica con 2P la misura del contorno del
poligono
Somma di segmenti
 Per sommare due segmenti occorre metterli uno
dopo l’altro facendo coincidere l’inizio del
secondo segmento con la fine del primo in modo
C
D
da avere due segmenti adiacenti




Consideriamo i segmenti AB e CD
Facciamo coincidere B con C
Otteniamo il segmento AD
Tale segmento è la somma di AB + CD
 AD = AB + CD
A
B
Criterio di esistenza di un poligono
 Consideriamo tre segmenti
 È sempre possibile costruire un





poligono?
In teoria sembrerebbe di si perché
posso metterli
l’altro
Inuno
undietro
poligono
un
Ma il giochetto riesce sempre?
lato
deve
essere
Consideriamo altri tre segmenti
Ripetiamo minore
l’operazionedella somma
Come si vede non
diposso
tutticostruire
gli altri
un poligono, uno dei due segmenti
è addirittura più grande della
somma degli altri due
Figure equivalenti
 Equivalenti significa che le
due figure si equivalgono cioè
hanno lo stesso valore
 Consideriamo le seguenti due
figure
 Il loro contorno racchiude la
stessa porzione di piano cioè
hanno la stessa area
 Si definiscono
equivalenti due
figure che hanno
la stessa area
Figure isoperimetriche
 Ogni volta che ci troviamo
di fronte al prefisso Iso
significa che abbiamo due
cose uguali
 Consideriamo i seguenti
due poligoni
 Essi pur essendo diversi
hanno lo stesso perimetro
Si definiscono isoperimetrici due
poligoni che hanno lo stesso perimetro
Area
 Un qualsiasi poligono,
per definizione,
racchiude al suo interno
una porzione di piano
 Si definisce area la
misura di questa
porzione di piano
a
L’area è la misura della porzione di
piano che si trova all’interno di una
linea chiusa non intrecciata
Calcolo di un perimetro
 Consideriamo la seguente figura
 Il suo perimetro 2P sarà dato da:
 Se sostituiamo ai lati il loro valore
avremmo che:
 cioè
Angolo interno di un poligono
 Prendiamo in considerazione la parola




pentagono
Essa deriva dai termini penta che
significa 5 e gono che significa angolo
Perciò letteralmente si tratta di una
figura geometrica con 5 angoli
Ma da come avranno origine questi
angoli?
Essi risulteranno formati dalle
semirette che contengono e segmenti
consecutivi del poligono
Gli angoli interni di un poligono sono gli
angoli formati da due segmenti consecutivi
Somma degli angoli interni di un triangolo
 Consideriamo il seguente
triangolo
 Tracciamo la retta passante per
CB e la sua parallela passante per
A
 A questo punto noi abbiamo due
rette parallele tagliate da due
trasversali che sono i lati del
triangolo
Gli angoli b e b1
sono uguali
perché alterni
interni rispetto alla
trasversale c
Interessante contributo esterno
 Gli angoli g e g1 sono uguali per lo
stesso motivo perché alterni interni
rispetto alla trasversale b
 Adesso si vede chiaramente come
la somma degli angoli interni del
triangolo a, b, g sia uguale alla
somma degli angoli b1, g1 e a
perché:
 g1 = g; b1 = b e a è in comune
con
Come si vede chiaramente dalla
figura
Somma degli angoli interni di un
poligono
 Adesso sappiamo quanto
vale la somma degli angoli
interni di un triangolo
 Possiamo utilizzare questa
conoscenza per calcolare la
somma degli angoli interni di
ogni poligono?
 Secondo voi come possiamo
fare?
 È possibile ad es. dividere il
poligono in tanti triangoli
avente per lati i lati del
poligono e le sue diagonali
Quanti lati ha
questo
poligono?
Quante
diagonali?
Quanti
triangoli
Ogni triangolo
= 180°
3 x 180°
= 540°
A noi serve una
formula: come
trovarla?
Consideriamo il
seguente
poligono
Inseriamo al
proprio interno
un punto
Uniamo con un segmento
il punto G con ciascun
vertice del poligono
Otteniamo tanti triangoli
quanti sono i lati del
poligono
Istintivamente potremmo dire
che indicato con l il numero
dei lati del poligono la somma
dei suoi angoli interni sarà :
l x 180°
Una via per la formula
 Gli angoli che hanno il vertice in G




vanno sottratti dal calcolo
Quanto vale la loro somma? 360° (è un
angolo giro) cioè 2 x 180°
Perciò a l x 180 (il numero dei triangoli
che è possibile costruire è uguale al
numero dei lati) vanno sottratti questi 2
x 180° (che non fanno parte degli angoli
interni)
Nel nostro poligono la somma degli
angoli interni è
6 x 180 – 360° = 720°
Formula
Da cui
Definizione
 La somma degli angoli
interni di un poligono è
uguale al numero dei lati
diminuito di due per 180 °
Angoli esterni di un poligono
 Si definisce angolo esterno di un
poligono l’angolo formato dal
prolungamento del lato precedente
e il lato successivo di un poligono
La somma degli
angoli esterni di
un poligono vale
sempre 360°
approfondimenti
Angoli adiacenti
 Si dicono adiacenti due angoli consecutivi
e i cui lati non comuni giacciono sulla
stessa retta
Noti una qualche somiglianza con gli angoli interni ed esterni
di un poligono?
Consideriamo
la seguente
figura
Le coppie angoli interni ed
esterni di un poligono che
fanno capo ad uno stesso
vertice costituiscono una
coppia di angoli adiacenti
Numero delle diagonali di un
poligono
 Il numero delle diagonali di un poligono di
n vertici è dato dalla formula:
Dove n è il numero dei vertici
del poligono
Poligono equiangolo
 Un poligono si dice equiangolo se
ha gli angoli interni uguali
Poligono equilatero
 Un poligono si dice equilatero
se ha tutti i lati congruenti
Poligoni regolari
 Si dicono
regolari quei
poligoni che
sono sia
equilatere che
equiangoli
Perimetro di un poligono
regolare
 Il perimetro della seguente figura si
trova sommando i suoi lati cioè:
 2P = 3u + 3u + 3u + 3u + 3u + 3u
 2P = 6 x 3u = 18u
Il perimetro di un
poligono regolare si
ottiene moltiplicando il
valore di un lato per il
numero di lati
2P = n x l
Lato di un poligono regolare
A noi serve l perciò dobbiamo
modificarla
2P rimane al suo posto
Noi sappiamo che :
x scavalca l’uguale diventando la
sua operazione opposta cioè :
2p
=
x
:
n scavalca l’uguale
e da fattore diventa
divisore
l
n
=
l
Da cui
2p
:
n