1 - Math Unipd

Rappresentazione
dell’Informazione
Rappresentazione delle
informazioni in codice binario
Caratteri
 Naturali e Reali positivi
 Interi
 Razionali

Rappresentazione del testo
Una stringa di bit per ogni simbolo
(caratteri maiuscoli, caratteri minuscoli,
cifre, ...)
 ANSI (American National Standards Institute) ha
adottato il codice ASCII (American Standard
Code for Information Interchange): 7 bit per ogni
simbolo + 0 come bit piu’ significativo
=un byte

Rappresentare numeri
Il codice ASCII e’ inefficiente: per
rappresentare numeri con n cifre servono
n byte
 Meglio usare metodi che sfruttano la
notazione binaria (base 2)
 Base 2: solo le cifre 0 e 1 invece che
0, 1, ..., 9 (base 10)

Base 10 e base 2
Rappresentazione decimale
Base 10  cifre da 0 a 9
 Sequenza di cifre decimali
d k-1 … d1 d0
 numero intero
∑j=0…k-1 dj 10j
dk-1 x 10 k-1 + … d1 x 10 + d0

Esempio:
102 in base 10 è
1x100 + 0x10 + 2x1
Rappresentazione binaria
Base 2  cifre 0 e 1
 Sequenza di cifre binarie
d k-1 … d1 d0
 numero intero (stesso procedimento ma su base 2)

∑j=0…k-1 dj 2j
Esempio:
01011012 = 1·25 + 1·23 + 1·22 + 1·20
= 32 + 8 + 4 + 1
= 4510
Rappresentazione binaria
 Valore minimo di una sequenza di n
cifre binarie: 000 … 0 (n volte) = 010
 Valore massimo: 1111…111 (n volte) =
2n-1 + 2
n-2
+ … + 22 + 21 + 20 = 2n –1
Esempio con n=3: 111 = 22 + 2 + 1 = 7 = 23 -1
Da 0 a 8: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000
Una proprietà dei numeri binari
1001001= 73
100100 = 36 = 73/2 e questo è il resto
Eliminare il bit più a destra corrisponde a
dividere per 2 il valore, ed il bit eliminato è il
resto
Trasformazione di un numero in base 10
a numero binario
125 in binario è
125
125/2=62
62/2=31
31/2=15
15/2=7
7/2=3
3/2=1
1/2=0
resto 1
resto 0
resto 1
resto 1
resto 1
resto 1
resto 1
1111101
rappresenta 62
rappresenta 31
Etc.
Esercizio 1
•Scrivere la rappresentazione binaria dei
numeri decimali:
•30
•36
•15
Esercizio 2
•Scrivere la rappresentazione decimale
dei numeri binari:
•1000
•1010
•01011
•10111
Correzione degli esercizi
•Scrivere la rappresentazione binaria dei
numeri decimali:
•30  11110
•36  100100
•15  1111
Correzione degli esercizi
•Scrivere la rappresentazione decimale
dei numeri binari:
•1000  8
•1010  10
•01011  11
•10111  23
Somma binaria
Somma binaria
 Colonna per colonna, da destra a sinistra
 Riporto se la somma su una colonna supera
la base
 Tre cifre binarie (prima riga, seconda riga,
riporto), somma =1 se una o tre sono 1,
riporto = 1 se almeno due sono 1
Riporto:
1 1 1 1 0 0
0111002 +
1001112 =
----------10000112
1
11
1010011 +
1100011 =
---------10110110
riporti
Si vuole quindi costruire un
circuito per sommare due
numeri binari
10000110
1010011 +
1100011 =
---------10110110
riporti
Iniziamo con un circuito che faccia la
somma su una colonna
Abbiamo tre cifre binarie X, Y, R in input
mentre in output vogliamo ottenere la
somma S ed il riporto R'
Tabella di verità
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
R
0
1
0
1
0
1
0
1
S
0
1
1
0
1
0
0
1
R'
0
0
0
1
0
1
1
1
Supponiamo di avere i circuiti che
calcolano somma e riporto
X
Y
R
X
Y
R
S
SOMMA
R'
RIPORTO
Possiamo allora combinare i circuiti
SOMMA e RIPORTO per ottenere il
seguente circuito 1-ADD
1-ADD
S
X
Y
R
SOMMA
R'
RIPORTO
Il circuito RIPORTO puo` essere realizzato nel seguente modo
RIPORTO
X
R'
Y
R
Basta infatti verificare la corrispondente tabella di verita’
Il circuito SOMMA naturalmente puo' pure essere
realizzato (vedi dispensa).
A questo punto componendo K circuiti 1-ADD e`
possibile realizzare un circuito K-ADD che somma
due numeri binari di K cifre.
Vediamo l'esempio della somma di due numeri
binari di 4 cifre.
Somma di numeri di 4 bit
Y3 Y2 Y1 Y0
riporto R
3
finale
inutile
X3 X2 X1 X0
R2
1-add
R1
1-add
S3
S2
0 0 riporto
R0
1-add
S1
risultato
1-add
S0
iniziale
0 1
0
1 0
1
1-add
1-add
0 1 1 1
1
1-add
1 1 0 1
0
Esempio
0
1-add
0111 +
0110 =
-----1101
Attenzione
Si e` trascurato il problema del cosiddetto
overflow, cioe’ il risultato e’ troppo grande
per essere contenuto nei bit disponibili.
Per esempio:
0111 +
1110 =
-----10101
Esercizi
11011+
1100
---------
11111+
1
---------
Correzioni
1
11011+
1100
--------100111
11111
11111+
1
--------100000
Rappresentazione
dei reali
Reali in notazione binaria
bk-1 bk-2 … b2 b1 b0 , b-1 b-2 …
 bk-1 x 2 k-1 + bk-2 x 2 k-2 +… + b2 x 22 + b1 x 2
+ b0 x 20 + b-1 x 2-1 + b-2 x 2-2 +…


Da decimale a binario:
 Per
la parte intera, come sappiamo fare
(metodo delle divisioni)
REALE--> BINARIO
cosa significa una parte frazionaria
binaria:
.1101001
2-1+ 2-2 + 2-4 + 2-7
.1101001
2-1 2-2...
1.101001
20 2-1.......
moltiplicarlo per 2
significa spostare il
punto di un posto a
destra
Se abbiamo un valore decimale in base 10:
0.99 come troviamo la sua rappresentazione
in base 2? Ragioniamo come segue:
Supponiamo che .99 = .b1b2b3...bk (binario)
Allora 2 .99 = 1.98 = b1.b2b3...bk
Quindi b1 è 1
e .98 è rappresentato da .b2b3...bk
Per trovare la rappresentazione binaria
di un decimale lo moltiplichiamo per 2
ed osserviamo se 1 appare nella parte
intera:
rappresentazione binaria di
.592= 1.18
.182= 0.36
.362= 0.72
.59
.722= 1.44
.442= 0.88
.100101.....
.882= 1.76
....... dipende da quanti bit abbiamo
Esempio
18.59
18  10010
(metodo della divisione per 2)
.59  .100101...(metodo della moltiplic. per 2)
10010.100101....
Esercizi

Convertire i seguenti numeri binari in formato
decimale:
 11,01
 101,111
 10,1

Esprimere i seguenti valori in notazione binaria:
 4.5
 2.75

Eseguire le seguenti somme binarie:
 1010,001+1,101
 111,11+0,01
Correzione degli esercizi

Convertire i seguenti numeri binari in formato
decimale:
11,01  3 +1/4 = 13/4 = 3.25
 101,111  5 + 7/8 = 47/8 = 5.87
 10,1  2.5


Esprimere i seguenti valori in notazione binaria:
4.5 100,1
 2.75  10,11


Eseguire le seguenti somme binarie:
1010,001 + 1,101 1011,110
 111,11 + 0,01 1000,00

Rappresentazione
degli interi
Notazione in complemento a 2




n bit per la notazione
 Nella realta’ n=32
 Per comodita’ noi supponiamo n=4
Numeri positivi
 0 si rappresenta con 4 zeri 0000
 1  0001, 2  0010 e cosi’ come gia’ visto fino al
massimo positivo rappresentabile 0111  7
Numeri negativi
 -1 si rappresenta con 4 uni 1111  -1
 -2 -> 1110, -3  1101 fino al minimo negativo
rappresentabile 1000  -8
Gli interi rappresentabili con n bit [-2n-1 , 2n-1 -1]
 Nell’esempio [-24-1,24-1-1]=[-8,7]
Complemento a due su 3 e 4 bit
Complemento a due
Bit piu’ a sinistra: segno
(0 per positivi, 1 per negativi)
 Confrontiamo k e –k: da destra a sinistra,
uguali fino al primo 1 incluso, poi una il
complemento dell’altra
 Esempio (4 bit): 2=0010, -2=1110

Complemento a due: decodifica




Se bit di segno =0  positivo, altrimenti negativo
Se positivo, basta leggere gli altri bit
Se negativo, scrivere gli stessi bit da destra a
sinistra fino al primo 1, poi complementare, e poi
leggere
Es.: 1010 e’ negativo, rappresenta 110 (6), quindi
-6
Da k a -k
Metodo alternativo: codifica e decodifica

Intero positivo x  complemento a due su n bit:
se x  2n-1-1 scrivo (x)2 , altrimenti non e’ rappresentabile


Intero negativo –x  complemento a due su n bit:
se –x  -2n-1 calcolo 2n+(-x)=y e scrivo (y)2


Esempio: n=4, –x=-3 y=24-3=16-3=13 (13)2=1101
Compl. a due positivo (0 = bit + significativo) decimale:
decodifica dal binario


Esempio: n=4, x=5, (5)2=0101, x=8>23-1=7
Esempio: n=4, 0111=(7)2
Compl. a due negativo (1 = bit + significativo)decimale:
decodifico dal binario a decimale, ottengo y
e poi sottraggo y-2n

Esempio 1010 = (10)2 10-16=-6
Somma in complemento a due
Si utilizza il solito metodo
 Anche per sottrazione  basta avere i
circuiti per somma e complemento

 Es.
(4 bit): 7-5 = 7 +(-5) = 0111 + 1011 = 0010
 5 = 0101  -5 = 1011
 L’eventuale n+1-simo bit generato a sinistra
dal riporto deve essere troncato
 Esempio 0111+1011=10010
7
-5
2
Esempi di somme
Overflow


Si sommano due numeri positivi tali che il
risultato e’ maggiore del massimo numero
positivo rappresentabile con i bit fissati (lo
stesso per somma di due negativi)
Si ha un errore di overflow se:
 Sommando
due positivi si ottiene un numero che
inizia per 1: 0101+0100=1001, 5+4=-7
 Sommando due negativi viene un numero che inizia
per 0: 1011+1100= (1)0111, -5+(-4)= 7

Nei computer c’e’ overflow con valori superiori a
2.147.483.647= 231
Esercizi

Da complemento a 2 a base 10:
 00011,

Da base 10 a complemento a 2 su 8 bit:
 6,

01111, 11100, 11010, 00000, 10000
-6, 13, -1, 0
Numero piu’ grande e piu’ piccolo per la
notazione in complemento a 2 su 4, 6, 8
bit
Correzioni

Da complemento a 2 a base 10:







Da base 10 a complemento a 2 su 8 bit:



00011 3,
01111 15,
11100  -4,
11010  -6,
00000  0,
10000  -16
6, -6, 13, -1, 0
00000110, 11111010, 00001101, 11111111, 00000000
Numero piu’ grande e piu’ piccolo per la notazione in
complemento a 2 su 4, 6, 8 bit


Numero piu’ piccolo
Numero piu’ grande
-2n-1 (n=6  -25 = -32)
2n-1 -1 (n=6  25-1 = 31)
Notazione in eccesso






n bit  2n possibili configurazioni binarie
ordinate da n zeri a n uni
Supponiamo per comodita’ che n=4
0 e’ rappresentato da un 1 seguito da n-1 zeri:
01000
n zeri codifica -2n-1: - 2 4-1 = -8 0000 (0-8 = -8)
n uni codifica 2n-1 – 1: 2 4-1-1= 7 1111 (15-8 = +7)
n bit: notazione in eccesso 2n-1 rispetto al
corrispondente binario
 Es.:
4 bit, notazione in eccesso 8
Notazione in eccesso 8
Esercizi

Da eccesso 8 a decimale:
 1110,

Da decimale a eccesso 8
 5,

0111, 1000,0010, 0000, 1001
-5, 3, 0, 7, -8
Numero piu’ grande e piu’ piccolo per la
notazione in eccesso 8, 16, 32
Correzioni (1)

Da eccesso 8 a decimale:
 14-8=6
 0111  7-8=-1
 1000, 0010, 0000, 1001
0,
-6,
-8,
1
 1110

Da decimale a eccesso 8
 5+8  13 1101
 -5  -5+8 3  0011
 3,
0,
7,
-8
1011, 1000, 1111, 0000
5
Correzioni (2)

Numero piu’ grande e piu’ piccolo per la
notazione in eccesso 8, 16, 32
8: 8=2n-1  n=4
numero piu’ piccolo: -8,
numero piu’ grande 7
 eccesso
16: 16=2n-1  n=5
numero piu’ piccolo: -16
numero piu’ grande 15
 eccesso
32: 32=2n-1  n=6
numero piu’ piccolo: -32 numero piu’ grande 31
 eccesso
Rappresentazione
dei numeri reali
(floating point)
Rappresentazione dei reali in un computer



Bisogna rappresentare la posizione della virgola
Notazione in virgola mobile (floating point):
suddivisione in tre campi
Esempio con 8 bit:
da sinistra: primo bit  segno (0 pos., 1 neg.)
 Tre bit per esponente
 Quattro bit per mantissa
 Partendo
V = 0.mantissa * 2^{exp}
Da floating point a decimale
01101011
1.
2.
Segno: 0  positivo, 1 negativo
Anteporre 0, alla mantissa
01101011  0,1011
3. Interpretare l’ esponente come un numero in eccesso su
tre bit (eccesso 4)
1106,
4.
6-4 =2
Spostare la virgola della mantissa della quantita’ ottenuta
dall’esponente a dx se il numero positivo a sx se e’
negativo
0,1011  10,11
5. Tradurre da binario a decimale mettendo il segno a
seconda del bit piu’ significativo del foating point
10,11 2,75
6. Aggiungere il segno: +2,75
Altro esempio di decodifica
10111100
Segno: 1  negativo
 Mantissa: 1100  0,1100
 Esponente: 011  -1 in notazione in
eccesso 4  virgola a sinistra di 1 posto
 0,01100 (3/8, infatti 2x2^(-2) + 2x2^(-3) )
 Numero decimale: -3/8 = -0,375

Da decimale a floating point
1.
Da decimale a binario:
0.375 (=3/8) 0,011
2.
La mantissa si ottiene dall’1 piu’ a sinistra
completando con zeri i quattro bit
1100
3.
Contare di quante posizioni si deve spostare la virgola
per passare da 0,mantissa a 0,011. Il numero e’
negativo se la virgola va a sinistra
1 bit a sinistra  -1
4.
Codificare il numero ottenuto in eccesso 4
-1 +4= 3  011
5.
Mettere nel bit piu’ significativo il bit di segno
00111100
Errori di troncamento





Codifichiamo 2 + 5/8= 2.625 in 8 bit
Binario: 10,101
Mantissa: vorremmo scrivere 10101, ma
abbiamo solo 4 bit  1010, tronco il bit meno
significativo
Esponente: 110 (2)
Risultato: 01101010, che rappresenta 2.5 e non
2 + 5/8
 Infatti:
0,1010  110 (2) 10,10  2+ ½ = 2.5
Esercizi
Decodifica: 01001010, 01101101,
00111001
 Codifica: 2.75, 5.25
 Qual e’ il piu’ grande tra 01001001 e
00111101?

Correzioni (1)
Decodifica:
 0 100 1010 5/8 = 0.625 Infatti:
0 100 1010 --> positivo
0,1010
100 --> 4-4=0
0.1010
1/2+1/8= 5/8 = 0.625 --> 0.625

Codifica:
2.75 --> 0 110 1011 Infatti:
binario 10,11
1011 --> 2 posti a dx
2 --> 110
0 110 1011
Correzioni (2)
Decodifica:
 0 110 1101 3 + 1/4 = 13/4 = 3.25
 0 011 1001 9/32
Codifica:
 5.25  0 111 1010
Qual e’ il piu’ grande tra 01001001 e 00111101?
 Il primo e’ 0.56, il secondo e’ 0.40  il piu’ grande e’ il
primo