“Assi principali di inerzia”
Per una rotazione intorno ad un qualsiasi asse z , vale la relazione:
LOz I z
L //
In generale
ossia non vale la relazione vettoriale:
LO I z
Gli assi di rotazione per i quali il momento angolare è parallelo all’asse di rotazione
si dicono “assi principali di inerzia”
L dL
Esempio:
z
L
z
dL
v
r
z è un asse principale di inerzia
z non è un asse principale
di inerzia
Si dimostra che un qualsiasi corpo possiede almeno tre assi principali di inerzia
mutuamente perpendicolari.
U.Gasparini, Fisica I
1
“Tensore di inerzia”
Per una rotazione intorno ad un asse generico, la relazione tra il momento angolare L
e la velocità angolare è data dal “tensore di inerzia” (o “matrice di inerzia”) :
3
I
Lj
k 1
I xx
Lx
L
I yx
y
I
Lz
zx
dove :
I xx
jk
I xy
I yy
I zy
k
I xx x I xy y I xz z
I xz x
I yz y I yx x I yy y I yz z
I I I
I zz
zx x
z
zy
y
zz
z
( y 2 z 2 )dm I x
corpo
I yy
(j= 1, 2, 3 )
( x 2 z 2 )dm I y
momento d’inerzia del corpo
rispetto all’asse x
I zz
( x 2 y 2 )dm I z
corpo
corpo
gli elementi diagonali della matrice di inerzia sono i momenti d’inerzia del corpo
rispetto agli assi coordinati ; inoltre, per gli elemnti non diagonali:
I xy I yx
xydm
corpo
I yz I zy
yzdm
corpo
I xz I zx
xzdm
corpo
la matrice d’inerzia è simmetrica
2
z
ux
uz
r
LO
x
Gli elementi della matrice d’inerzia
dm
asse di rotazione
uy
y
(r v )dm
r xux yu y zuz
x ux y u y z uz
[r ( r )]dm
( xux yu y zuz ) [( y z z y)ux ( z x x z)u y ( x y y x)uz ]dm
Lx
[ y(
Lx
x ( y 2 z 2 ) dm y xydm z xzdm
x
y y x) z( z x x z)]dm
Lx I xx x I xy y I xz z
e analoghe espressioni per L y , Lz .
U.Gasparini, Fisica I
3
Momento anolare e matrice d’inerzia
Dato un asse di rotazione, è possibile scegliere un’assecoordinato (ad es. l’asse z)
lungo la direzione di rotazione; in questo caso:
(0,0, )
l’espressione per il momento angolare:
I xx x I xy y I xz z
Lx
L
I
I
I
yx x
yy
y
yz
z
y
I I I
Lz
zx x
zy
y
zz
z
si semplifica :
Lx I xz
Ly I yz
Lz I zz I z
componente del
momento angolare
lungo l’asse di rotazione
I xz 0, I yz 0 ,
Tuttavia, essendo in generale
il momento angolare ha componenti lungo gli assi x,y
perpendicolari all’asse di rotazione, ossia L // .
I xz I yz 0 , l’asse z e’ un asse principale di inerzia.
Un sistema di coordinate nel quale la matrice di inerzia è diagonale
costituisce un sistema di assi principali di inerzia
U.Gasparini, Fisica I
4
Se
Teorema di Poinsot
Il momento d’inerzia I z’ rispetto ad un generico asse z’ di rotazione passante per un
punto O e individuato dal versore u (ux , u y , uz )
è esprimibile in funzione del tensore di inerzia Ijk :
I z ' I xx u x2 I yy u 2y I zz uz2 2( I xy u x u y I xz u x uz I yz u y uz )
R r sin j r u
I z'
R 2 dm
z
(r u ) 2 dm
R
r
y
x
[( yuz zu y ) 2 ( xuz zux ) 2 ( xu y yux ) 2 ]dm
y 2 uz2 z 2 u 2
y 2 yzu z u y
j
u (ux , u y , uz )
O
I z'
z’
dm
x 2 uz2 z 2 ux2 2 xzuz ux
2 2
x 2u2
y y u x 2 xyu x u y
2
2
[u x
( y 2 z 2 ) u2
z 2 ) uz2 ( x 2 y 2 )
y (x
2 yzu y u z 2 xzu x u z 2 xyu x u y ]dm
Ixx
Izz
Iyy
( y z )dm u ( x z )dm u ( x
2u u yzdm 2u u xzdm 2u u xydm
2
ux
2
y
z
2
2
y
x
z
2
2
2
z
x
y
2
y 2 ) dm
5
“Ellissoide di inerzia”
L’equazione che esprime il momento d’inerzia:
2
2
I z ' I xx u x
I yy u 2
y I zz u z 2( I xy u x u y I xz u x u z I yz u y u z )
può essere riscritta, dividendo ambo i membri per I z' :
I xx X
(1)
con :
2
I yy Y 2 I zz Z 2 2 I xy XY 2 I xz XZ 2 I yz YZ 1
X
1
I z'
ux , Y
1
I z'
uy , Z
1
I z'
uz
la (1) è l’equazione di un ellissoide, detto “ellissoide di inerzia” del corpo rispetto
al generico punto O del corpo: essa individua la superficie i cui punti
P ( X ,Y , Z )
sono a distanza
1
I z'
OP
( u x , u y , uz )
1
I z'
coseni direttori
dell’asse z’
dal punto O
Il momento d’inerzia rispetto ad un qualsiasi asse z’ passante per un punto O del corpo
è individuato dall’intersezione P dell’asse z’ con l’ellissoide d’inerzia del corpo
Z
mediante la relazione:
z’
Ellissoide
1
P
I z'
d’inerzia
2
OP
O
Y
1
(“Teorema di Poinsot”) X
OP
U.Gasparini, Fisica I
I z'
Ellissoide d’inerzia e assi principali
Dato un generico punto O del corpo, la forma ed orientazione nello spazio
dell’ellissoide d’inerzia rispetto ad O e’ caratteristica del corpo e non dipende dagli
assi coordinati ; solo il valore degli elementi della matrice d’inerzia I jk
dipende da questa scelta
Z
Z’
z’
z’
Ellissoide
P
P
d’inerzia
Y
O
O
1 X’
OP
X
I
z'
equazione dell’ellissoide:
Y’
I xx X 2 I yy Y 2 I zz Z 2
I x ' x ' X ' 2 I y ' y 'Y ' 2 I z ' z ' Z ' 2
2 I xy XY 2 I xz XZ 2 I yz YZ 1
2 I x ' y ' X ' Y '2 I x ' z ' X ' Z '2 I y ' z 'Y ' Z ' 1
I xx I x ' x '
, I yy I y ' y '
, … ecc .
E’ sempre possibile “diagonalizzare” la matrice d’inerzia, ossia trovare un sistema
di assi coordinati per il quale sia:
0
0
I xx
equazione dell’ellissoide:
Z
I 0
I yy
0
2
2
2
0
0
I zz
I xx X
I yy Y
I zz Z
1
X,Y,Z “assi principali d’inerzia”: per rotazioni intorno
ad essi:
L
I
jj
U.Gasparini, Fisica I
(j=x,y,z)
X
7
Y
Esempi di ellissoide d’inerzia:
i) ellissoide d’inerzia di una sfera di raggio R:
Iz
1
I
2
MR 2
5
1
2
MR 2
5
R
l’ ellissoide d’inerzia è una sfera
corpo sferico omogeneo
ii) ellissoide d’inerzia di2 un cilindro di lunghezza
z
Iz
M
12
Iy
Mr 2
2
e raggio r :
1/
M 2 / 12
r
x
Ix
M 2
12
corpo cilindrico
U.Gasparini, Fisica I
y
1/
Mr 2 / 2
ellissoide d’inerzia
8
Moto di “puro rotolamento”
Rototraslazione di un corpo rigido di sezione circolare (disco,cilindro,sfera) su di un
piano, per il quale il punto P (o i punti) di contatto tra il corpo ed il piano è fermo
rispetto a questo ( non vi è strisciamento )
y
R
vG
G
z
x
P
Condizione cinematica:
velocità del CM
velocità relativa
di P rispetto al CM
v ' P vG
vG v' P R
Derivando rispetto al tempo:
U.Gasparini, Fisica I
v P v ' P vG 0
vP 0
a G R
accelerazione angolare
velocità angolare
di rotazione 9
y
Moto di puro rotolamento (II)
R
f
z
G
F
aG
P
x
Se una forza F viene applicata in G, nel punto di contatto P si sviluppa una reazione
vincolare f che ha una componente lungo il piano: si ha cioè una forza d’attrito statico
perchè si abbia un moto accelerato di puro rotolamento il piano d’appoggio deve
essere scabro.
Ciò è evidente dalla equazione del momento angolare rispetto al CM :
Proiettando lungo l’asse z :
(E)
dLG
MG
GP f
dt
dLGz
I Gz GP f GP y f x Rf x
z
dt
fx 0
è la forza d’attrito statico in P (l’unica che ha un momento rispetto a G) ad essere
responsabile dell’accelerazione angolare del sistema aG / R
richiesta perchè si abbia un moto accelerato di puro rotolamento.
U.Gasparini, Fisica I
10
“Attrito volvente”
Una forza d’attrito statico che agisce in un unico punto geometrico di contatto tra
superfici indeformabili è una schematizzazione; in realtà si ha una deformazione delle
superfici di contatto, lungo le quali si sviluppano reazioni vincolari la cui risultante
ha una componente lungo la direzione del moto, detta “attrito volvente”:
aCM
G
f
F
aCM
x
z
(E)
MaCM R
F mg f
Dal teorema del moto del CM:
proiettando lungo la direzione del moto (asse x ) :
MaCMx M z R F f x
( si noti:
f x R / I Gz
F f x 1 MR
2
/ I Gz
fx
vCMx z R
aCMx z R
F
1 MR 2 / I Gz
< 0.
MR 2 / I G
1
F
Ma CMx F 1
1 MR 2 / I G
1 MR 2 / I G
F / M
U.Gasparini, Fisica I
11
a CMx
2
1 I G / MR
F/M
<
)
Esempio:
moto di puro rotolamento di un disco omogeneo di raggio R e massa M
momento di inerzia rispetto all’asse z passante per G:
y
z
R
G
f
F
aG
P
fx
aCMx
F/ M
1 I G / MR
2
IG
F/ M
1 1/ 2
1
MR 2
2
x
F
F
1 MR 2 / I G
3
aCMx
2 F
3 M
F fx
M
L’accelerazione aCM è inferiore a quella che si avrebbe per un punto materiale di
massa M soggetto alla stessa forza F.
Il lavoro compiuto dalla forza F in un tratto Dx :
WF FDx DE k
1
1
1 3M 2
2
MvG
I G 2
vG
2
2
2 2
determina un aumento di energia cinetica sia di traslazione
FDx
che di rotazione, mentre per un punto materiale:
vG / R
1
Mv 2
2
12
La rotazione può essere considerata come
rotazione istantanea intorno al punto fisso di contatto P :
y
G
f
z P
R
F
aG
x
Il teorema del momento angolare
(calcolato rispetto al punto fisso P ), dà:
dLPz
I Pz z
dt
(E)
dL P
MP
PG F
dt
PG F RF con :
z
Ciò permette di calcolare immediatamente a CM :
RF
2F
z
a CM
IP
3MR
e quindi f x :
U.Gasparini, Fisica I
f x MaCM F
I P I G MR 2
3
MR 2
2
R
F
3
2F
3M
, come già trovato.
13
Forza d’attrito statico nel puro rotolamento
La forza d’attrito statico fx non sempre è opposta al moto; ad esempio, se la forza
‘motrice’ F è applicata nel punto A sulla sommità del disco:
y
G
F
A
R
f
z
aG
x
P
dLPz
I P z PA F 2 RF
dt
z
2 RF
4F
IP
3MR
z
f x MaCM F
U.Gasparini, Fisica I
con: I P
3
MR 2
2
aCM R
4F
3M
F
0.
3
14
Giroscopio
“Giroscopio” : corpo rigido rotante con un punto mantenuto fisso da un sistema di
vincoli; l’asse di rotazione, passante per il punto fisso, in generale varia la sua
orientazione ed il moto risultante può risultare molto complicato.
Se il punto fisso è il centro di massa e non esistono forze esterne aventi momento
risultante diverso da zero rispetto ad esso:
( le reazioni vincolari che sostengono
il giroscopio hanno momento nullo rispetto al CM )
il momento angolare rimane costante:
L G=costante
Se l’asse di rotazione è un asse principale d’inerzia: =costante
la direzione di rotazione rimane costante in un sistema inerziale :
(E)
MG
0
“bussola giroscopica”
massa rotante
z’
U.Gasparini, Fisica I
“giunto cardanico”
y’
x’
z
asse di rotazione
(fisso in un sistema
inerziale)
15
Precessione e nutazione
Se al giroscopio viene applicato un momento esterno si ha un “moto di precessione”
del momento angolare e dell’asse di rotazione del giroscopio :
dLG
M G GP F
dt
G
z
P
F
LG
(E) =
G
moto di
precessione
dLG
0 ma l’asse di rotazione non è un asse principale d’inerzia (L / / )
Se M
l’asse di rotazione ruota intorno alla direzione costante di L : moto di “nutazione”
Esempio: moto della Terra:
l’asse di rotazione compie un moto
di nutazione con periodo di 19 anni
(l’angolo tra L ed è comunque
U.Gasparini, Fisica I
molto piccolo)
LG
N
16
S
Esempio: moto di precessione di una trottola
Sotto l’ azione della forza peso:
moto di precessione
dj
dLO
G
J
LO
mg
O
O
dLO LO sin Jdj
dLO
dj
LO sin J
LO sin J M O mg OG sin J
dt
dt
“velocità angolare di precessione”
mg OG
LO
mg OG
I
la velocità angolare di precessione è inversamente proporzionale alla velocità
angolare di rotazione della trottola
U.Gasparini, Fisica I
17
