Ellissoide d`inerzia - INFN

“Assi principali di inerzia”
Per una rotazione intorno ad un qualsiasi asse z , vale la relazione:
LOz  I z
L // 
In generale
ossia non vale la relazione vettoriale:


LO  I z 
Gli assi di rotazione per i quali il momento angolare è parallelo all’asse di rotazione
si dicono “assi principali di inerzia”


L  dL
Esempio:
z
L
z


dL

v
r
z è un asse principale di inerzia
z non è un asse principale
di inerzia
Si dimostra che un qualsiasi corpo possiede almeno tre assi principali di inerzia
mutuamente perpendicolari.
U.Gasparini, Fisica I
1
“Tensore di inerzia”
Per una rotazione intorno ad un asse generico, la relazione tra il momento angolare L
e la velocità angolare  è data dal “tensore di inerzia” (o “matrice di inerzia”) :
3
I
Lj 
k 1
 I xx
 Lx 



L

 I yx
 y


I
 Lz 
 zx
dove :
I xx 

jk
I xy
I yy
I zy
k
 I xx  x  I xy  y  I xz  z 
I xz    x 
 



I yz     y    I yx  x  I yy  y  I yz  z 


 I   I   I  
I zz 



 zx x
z 
zy
y
zz
z 
( y 2  z 2 )dm  I x
corpo
I yy 

(j= 1, 2, 3 )
( x 2  z 2 )dm  I y
momento d’inerzia del corpo
rispetto all’asse x
I zz 

( x 2  y 2 )dm  I z
corpo
corpo
gli elementi diagonali della matrice di inerzia sono i momenti d’inerzia del corpo
rispetto agli assi coordinati ; inoltre, per gli elemnti non diagonali:
I xy  I yx  
 xydm
corpo
I yz  I zy  
 yzdm
corpo
I xz  I zx  
 xzdm
corpo
la matrice d’inerzia è simmetrica
2
z

ux


uz
r

LO
x

Gli elementi della matrice d’inerzia
dm
asse di rotazione


uy
y


 (r  v )dm 





r  xux  yu y  zuz




   x ux   y u y   z uz




[r  (  r )]dm 






( xux  yu y  zuz )  [( y z   z y)ux  ( z x   x z)u y  ( x y   y x)uz ]dm
Lx 
 [ y(
Lx 
 x  ( y 2  z 2 ) dm  y  xydm    z  xzdm
x
y   y x)  z( z x   x z)]dm
Lx  I xx x  I xy y  I xz z
e analoghe espressioni per L y , Lz .
U.Gasparini, Fisica I
3
Momento anolare e matrice d’inerzia
Dato un asse di rotazione, è possibile scegliere un’assecoordinato (ad es. l’asse z)
lungo la direzione di rotazione; in questo caso:
  (0,0, )
l’espressione per il momento angolare:
 I xx  x  I xy  y  I xz  z 
 Lx 




L

I


I


I

 yx x
yy
y
yz
z
 y


 I   I   I  
 Lz 
 zx x
zy
y
zz
z 
si semplifica :
Lx  I xz 
Ly  I yz
Lz  I zz  I z
componente del
momento angolare
lungo l’asse di rotazione
I xz  0, I yz  0 ,
Tuttavia, essendo in generale
il momento angolare ha componenti lungo gli assi x,y
perpendicolari all’asse di rotazione, ossia L //  .
I xz  I yz  0 , l’asse z e’ un asse principale di inerzia.
Un sistema di coordinate nel quale la matrice di inerzia è diagonale
costituisce un sistema di assi principali di inerzia
U.Gasparini, Fisica I
4
Se
Teorema di Poinsot
Il momento d’inerzia I z’ rispetto ad un generico asse z’ di rotazione passante per un

punto O e individuato dal versore u  (ux , u y , uz )
è esprimibile in funzione del tensore di inerzia Ijk :
I z '  I xx u x2  I yy u 2y  I zz uz2  2( I xy u x u y  I xz u x uz  I yz u y uz )


R  r sin j  r  u

I z' 
R 2 dm 

z


(r  u ) 2 dm
R
r
y
x

[( yuz  zu y ) 2 ( xuz  zux ) 2  ( xu y  yux ) 2 ]dm 
y 2 uz2  z 2 u 2
y  2 yzu z u y


j

u  (ux , u y , uz )
O
I z' 
z’
dm
x 2 uz2  z 2 ux2  2 xzuz ux
2 2
x 2u2
y  y u x  2 xyu x u y
2
2
[u x
( y 2  z 2 )  u2
 z 2 )  uz2 ( x 2  y 2 )
y (x
 2 yzu y u z  2 xzu x u z  2 xyu x u y ]dm 
Ixx
Izz
Iyy
 ( y  z )dm  u  ( x  z )dm  u  ( x
 2u u  yzdm  2u u  xzdm  2u u  xydm
2
 ux
2
y
z
2
2
y
x
z
2
2
2
z
x
y
2
 y 2 ) dm
5
“Ellissoide di inerzia”
L’equazione che esprime il momento d’inerzia:
2
2
I z '  I xx u x
 I yy u 2
y  I zz u z  2( I xy u x u y  I xz u x u z  I yz u y u z )
può essere riscritta, dividendo ambo i membri per I z' :
I xx X
(1)
con :
2
 I yy Y 2  I zz Z 2  2 I xy XY  2 I xz XZ  2 I yz YZ  1
X 
1
I z'
ux , Y 
1
I z'
uy , Z 
1
I z'
uz
la (1) è l’equazione di un ellissoide, detto “ellissoide di inerzia” del corpo rispetto
al generico punto O del corpo: essa individua la superficie i cui punti
P  ( X ,Y , Z ) 
sono a distanza
1
I z'
OP 
( u x , u y , uz )
1
I z'
coseni direttori
dell’asse z’
dal punto O
Il momento d’inerzia rispetto ad un qualsiasi asse z’ passante per un punto O del corpo
è individuato dall’intersezione P dell’asse z’ con l’ellissoide d’inerzia del corpo
Z
mediante la relazione:
z’
Ellissoide
1
P
I z' 
d’inerzia
2
OP
O
Y
1
(“Teorema di Poinsot”) X
OP 
U.Gasparini, Fisica I
I z'
Ellissoide d’inerzia e assi principali
Dato un generico punto O del corpo, la forma ed orientazione nello spazio
dell’ellissoide d’inerzia rispetto ad O e’ caratteristica del corpo e non dipende dagli
assi coordinati ; solo il valore degli elementi della matrice d’inerzia I jk
dipende da questa scelta
Z
Z’
z’
z’
Ellissoide
P
P
d’inerzia
Y
O
O
1 X’
OP 
X
I
z'
equazione dell’ellissoide:
Y’
I xx X 2  I yy Y 2  I zz Z 2
I x ' x ' X ' 2  I y ' y 'Y ' 2  I z ' z ' Z ' 2
 2 I xy XY  2 I xz XZ  2 I yz YZ  1
 2 I x ' y ' X ' Y '2 I x ' z ' X ' Z '2 I y ' z 'Y ' Z '  1
I xx  I x ' x '
, I yy  I y ' y '
, … ecc .
E’ sempre possibile “diagonalizzare” la matrice d’inerzia, ossia trovare un sistema
di assi coordinati per il quale sia:
0
0 
 I xx
equazione dell’ellissoide:


Z
I  0
I yy
0 
2
2
2

 0
0

I zz 
I xx X
 I yy Y
 I zz Z
1
X,Y,Z “assi principali d’inerzia”: per rotazioni intorno

ad essi:

L

I

jj
U.Gasparini, Fisica I
(j=x,y,z)
X
7
Y
Esempi di ellissoide d’inerzia:
i) ellissoide d’inerzia di una sfera di raggio R:
Iz 
1
I
2
MR 2
5

1
2
MR 2
5
R
l’ ellissoide d’inerzia è una sfera
corpo sferico omogeneo
ii) ellissoide d’inerzia di2 un cilindro di lunghezza
z
Iz 
M
12

Iy
Mr 2

2
 e raggio r :
1/
M 2 / 12
r
x
Ix
M 2

12
corpo cilindrico
U.Gasparini, Fisica I
y
1/
Mr 2 / 2
ellissoide d’inerzia
8
Moto di “puro rotolamento”
Rototraslazione di un corpo rigido di sezione circolare (disco,cilindro,sfera) su di un
piano, per il quale il punto P (o i punti) di contatto tra il corpo ed il piano è fermo
rispetto a questo (  non vi è strisciamento )

y
R
vG
G
z
x
P
Condizione cinematica:
velocità del CM
velocità relativa
di P rispetto al CM


v ' P  vG
vG  v' P  R
Derivando rispetto al tempo:
U.Gasparini, Fisica I



v P  v ' P  vG  0

vP  0
a G  R
accelerazione angolare
velocità angolare
di rotazione 9
y
Moto di puro rotolamento (II)

R
f
z
G
F
aG
P
x
Se una forza F viene applicata in G, nel punto di contatto P si sviluppa una reazione
vincolare f che ha una componente lungo il piano: si ha cioè una forza d’attrito statico
perchè si abbia un moto accelerato di puro rotolamento il piano d’appoggio deve
essere scabro.
Ciò è evidente dalla equazione del momento angolare rispetto al CM :
Proiettando lungo l’asse z :



 (E)
dLG
 MG
 GP  f
dt


dLGz
 
 I Gz   GP  f    GP y f x  Rf x

z
dt
fx  0
è la forza d’attrito statico in P (l’unica che ha un momento rispetto a G) ad essere
responsabile dell’accelerazione angolare del sistema   aG / R
richiesta perchè si abbia un moto accelerato di puro rotolamento.
U.Gasparini, Fisica I
10
“Attrito volvente”
Una forza d’attrito statico che agisce in un unico punto geometrico di contatto tra
superfici indeformabili è una schematizzazione; in realtà si ha una deformazione delle
superfici di contatto, lungo le quali si sviluppano reazioni vincolari la cui risultante
ha una componente lungo la direzione del moto, detta “attrito volvente”:
aCM
G
f

F
aCM
x
z

(E)



MaCM  R
 F  mg  f
Dal teorema del moto del CM:
proiettando lungo la direzione del moto (asse x ) :
MaCMx   M z R  F  f x
( si noti:
 f x R / I Gz

 F  f x 1  MR
2
/ I Gz

fx 
vCMx   z R

aCMx   z R
F
1  MR 2 / I Gz
< 0.


MR 2 / I G
1
  F
Ma CMx  F  1 
1  MR 2 / I G 
1  MR 2 / I G

F / M
U.Gasparini, Fisica I
11
a CMx 
2
1  I G / MR
F/M
<
)
Esempio:
moto di puro rotolamento di un disco omogeneo di raggio R e massa M
momento di inerzia rispetto all’asse z passante per G:
y

z
R
G
f
F
aG
P
fx 
aCMx 
F/ M
1  I G / MR
2
IG 
F/ M

1 1/ 2
1
MR 2
2
x
F
F


1  MR 2 / I G
3
aCMx 
2 F
3 M
F  fx 





M
L’accelerazione aCM è inferiore a quella che si avrebbe per un punto materiale di
massa M soggetto alla stessa forza F.
Il lavoro compiuto dalla forza F in un tratto Dx :
WF  FDx  DE k 
1
1
1 3M 2
2
MvG

I G 2 
vG
2
2
2 2
determina un aumento di energia cinetica sia di traslazione
FDx
che di rotazione, mentre per un punto materiale:
vG / R

1
Mv 2
2
12
La rotazione può essere considerata come
rotazione istantanea intorno al punto fisso di contatto P :
y

G
f
z P
R
F
aG
x
Il teorema del momento angolare
(calcolato rispetto al punto fisso P ), dà:

dLPz
 I Pz z
dt

 (E)

dL P
 MP
 PG  F
dt

 
  PG  F    RF con :

z
Ciò permette di calcolare immediatamente a CM :
RF
2F
  z 

a CM
IP
3MR
e quindi f x :
U.Gasparini, Fisica I
f x  MaCM  F  
I P  I G  MR 2
3

MR 2
2
 R 
F
3
2F
3M
, come già trovato.
13
Forza d’attrito statico nel puro rotolamento
La forza d’attrito statico fx non sempre è opposta al moto; ad esempio, se la forza
‘motrice’ F è applicata nel punto A sulla sommità del disco:
y
G
F
A
R
f
z
aG
x
P

dLPz
 
 I P z   PA F   2 RF
dt

z
2 RF
4F


IP
3MR
  z
f x  MaCM  F 
U.Gasparini, Fisica I
con: I P
3

MR 2
2
aCM  R 
4F
3M
F
 0.
3
14
Giroscopio
“Giroscopio” : corpo rigido rotante con un punto mantenuto fisso da un sistema di
vincoli; l’asse di rotazione, passante per il punto fisso, in generale varia la sua
orientazione ed il moto risultante può risultare molto complicato.
Se il punto fisso è il centro di massa e non esistono forze esterne aventi momento
risultante diverso da zero rispetto ad esso:
(  le reazioni vincolari che sostengono
il giroscopio hanno momento nullo rispetto al CM )
il momento angolare rimane costante:
L G=costante
Se l’asse di rotazione è un asse principale d’inerzia:  =costante
 la direzione di rotazione rimane costante in un sistema inerziale :
 (E)
MG
0
“bussola giroscopica”
massa rotante
z’
U.Gasparini, Fisica I

“giunto cardanico”
y’
x’
z
asse di rotazione
(fisso in un sistema
inerziale)
15
Precessione e nutazione
Se al giroscopio viene applicato un momento esterno si ha un “moto di precessione”
del momento angolare e dell’asse di rotazione del giroscopio :





dLG
M G  GP  F 
dt
G
z
P
F
LG
(E) =
G
moto di
precessione
dLG
 
0 ma l’asse di rotazione non è un asse principale d’inerzia (L / / )
Se M
l’asse di rotazione ruota intorno alla direzione costante di L : moto di “nutazione”
Esempio: moto della Terra:
l’asse di rotazione compie un moto
di nutazione con periodo di 19 anni
(l’angolo tra L ed  è comunque
U.Gasparini, Fisica I
molto piccolo)
LG
N

16
S
Esempio: moto di precessione di una trottola
Sotto l’ azione della forza peso:
moto di precessione
dj
dLO

G
J
LO
mg
O
O
dLO  LO sin Jdj


dLO
dj
 LO sin J
 LO sin J  M O  mg OG sin J
dt
dt
“velocità angolare di precessione”


mg OG

LO
mg OG

I
la velocità angolare di precessione  è inversamente proporzionale alla velocità
angolare di rotazione  della trottola
U.Gasparini, Fisica I
17