Gli enti geometrici fondamentali
DEFINIZIONE. La geometria è la disciplina che studia alcune proprietà dei corpi; in particolare, di
un qualsiasi oggetto, studia la forma, le dimensioni, l’estensione, lo spazio occupato, la
posizione e gli spostamenti cui è sottoposto.
DEFINIZIONE. Il punto è il primo degli enti geometrici
fondamentali ed è privo di dimensioni.
DEFINIZIONE. La linea è il secondo ente geometrico
fondamentale ed ha una sola dimensione: la lunghezza.
I primi elementi della geometria
1
Gli enti geometrici fondamentali
DEFINIZIONE. La retta è una linea che contiene infiniti punti disposti secondo una stessa direzione.
Anche la retta, come ogni altra linea, ha una sola dimensione, la lunghezza.
r
t
s
I primi elementi della geometria
2
Gli enti geometrici fondamentali
DEFINIZIONE. Il piano è il terzo ente fondamentale ed è dotato di due dimensioni: lunghezza e
larghezza.
DEFINIZIONE. Lo spazio è il quarto ente fondamentale ed è dotato di tre dimensioni: lunghezza,
larghezza e altezza.
I primi elementi della geometria
3
Gli enti geometrici fondamentali
Il rapporto tra gli enti geometrici fondamentali
Punto, retta, piano, possono assumere diverse posizioni reciproche.
Un punto può appartenere ad una retta o a un piano;
ad esempio
A
A
r
;
C
α
B
r
D
Un punto può non appartenere ad una retta o a un piano;
ad esempio
B
r
I primi elementi della geometria
;
D
α
4
Gli enti geometrici fondamentali
Una retta giace sul piano quando tutti i suoi punti
appartengono anche al piano. Una retta che giace su
un piano lo divide in due parti infinite, ciascuna delle
quali prende il nome di semipiano. Si dice che la retta
è origine dei due semipiani.
r
r
A
Una retta interseca il piano quando solo un punto della
retta appartiene anche al piano. Il punto A, in comune tra la
retta e il piano, si chiama punto di intersezione.
t
Una retta è parallela al piano quando nessuno dei
suoi punti appartiene anche al piano.
I primi elementi della geometria
5
Gli enti geometrici fondamentali
DEFINIZIONE. Due rette che appartengono allo stesso piano si dicono complanari.
s
DEFINIZIONE. Due rette complanari si dicono
incidenti se hanno un solo punto in comune.
r
s
DEFINIZIONE. Due rette complanari si dicono
coincidenti se hanno tutti i punti in comune.
r
DEFINIZIONE. Due rette complanari si dicono
parallele se non hanno alcun punto in
comune.
r
s
I primi elementi della geometria
6
Gli assiomi della geometria
s
ASSIOMA 1. Per un punto passano infinite
rette.
r
B
ASSIOMA 2. Per due punti distinti passa una e
una sola retta.
I primi elementi della geometria
A
r
7
Gli assiomi della geometria
B
ASSIOMA 3. Se una retta ha in comune con un
piano due punti allora giace tutta su di esso.
A
r
ASSIOMA 4. Per una retta passano infiniti piani.
I primi elementi della geometria
8
Gli assiomi della geometria
B
ASSIOMA 5. Per tre punti distinti non
appartenenti ad una stessa retta, cioè non
allineati, passa uno e un solo piano.
A
ASSIOMA 5a. Per una retta e un punto fuori di
essa passa un solo piano.
r
C
C
s
ASSIOMA 5b. Per due rette incidenti passa un
solo piano.
I primi elementi della geometria
r
9
La semiretta e il segmento
DEFINIZIONE. La semiretta è ciascuna delle due
parti, infinite, in cui una retta è divisa da un punto.
Tale punto è detto origine delle due semirette.
O
semiretta r1
r
semiretta r2
origine
A
B
segmento
estremo
r
DEFINIZIONE. Il segmento è la parte di retta
compresa tra due punti.
estremo
I primi elementi della geometria
10
Segmenti consecutivi e segmenti adiacenti
B
DEFINIZIONE. Due segmenti AB e BC si dicono
consecutivi se hanno un estremo B in comune.
DEFINIZIONE. Due segmenti si dicono adiacenti
se sono consecutivi e appartengono alla stessa
retta.
I primi elementi della geometria
A
C
A
B
C
11
La spezzata
DEFINIZIONE. Una linea formata da due o più
segmenti a due a due consecutivi si chiama
spezzata o poligonale.
Spezzata chiusa o
poligonale
I primi elementi della geometria
Spezzata intrecciata
chiusa
Spezzata intrecciata
aperta
Spezzata aperta
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Il piano cartesiano
Il piano cartesiano è caratterizzato dalla presenza di due
rette orientate (verso destra e verso l ’ alto) tra loro
perpendicolari che assumono il nome di assi cartesiani, e
in particolare:
• asse delle ascisse (o delle x), quello orizzontale;
ordinate
y
• asse delle ordinate (o delle y), quello verticale.
O
ordinate
x
Il punto d’intersezione degli assi è detto origine. È
indicato normalmente con la lettera O e corrisponde
al punto di coordinate (0; 0).
I primi elementi della geometria
13
Il piano cartesiano
y
6
È possibile individuare qualsiasi punto, indicando i
numeri corrispondenti agli spostamenti sull’asse
orizzontale e verticale. La coppia che indica tali
spostamenti prende il nome di coordinate
cartesiane del punto.
5
A
4
3
2
1
O
Ad esempio il punto A si ottiene spostandosi di 3
unità in orizzontale e 4 in verticale e si può pertanto
scrivere nella forma:
1
2
3
4
5
6
x
A (3; 4)
I primi elementi della geometria
14
Il punto medio
Siano ora A (1; 4) e B (3; 0) gli estremi di un segmento AB.
y
6
Per calcolare le coordinate del punto medio del segmento
AB impostiamo le due relazioni:
5
A
4
xM = (xA + xB) : 2 = (1 + 3) : 2 = 2
yM = (yA + yB) : 2 = (4 + 0) : 2 = 2
3
M
2
1
B
e pertanto M
(2; 2)
I primi elementi della geometria
O
1
2
3
4
5
6
x
15
Gli angoli
DEFINIZIONE. Si chiama angolo ciascuna delle
due parti in cui il piano viene diviso da due
semirette che hanno origine comune.
b’
O
angolo
a
angolo
convesso
a’
b
b’
a
angolo
concavo
a’
I primi elementi della geometria
b
a
DEFINIZIONE. Un angolo si dice convesso
quando non contiene i prolungamenti dei lati.
DEFINIZIONE. Un angolo si dice concavo quando
contiene i prolungamenti dei lati.
angolo
b
16
Angoli particolari
O
L’angolo nullo ha l’ampiezza di 0°.
r
s
r
L’angolo retto ha l’ampiezza di 90°.
O
s
L’angolo piatto ha l’ampiezza di 180°.
r
O
I primi elementi della geometria
r
s
s
L’angolo giro ha l’ampiezza di 360°.
17
Angoli particolari
PROPRIETÀ. Un angolo retto è la metà di un
angolo piatto.
r
s
r
DEFINIZIONE. Un angolo minore di un angolo
retto si dice acuto.
O
s
DEFINIZIONE. Un angolo maggiore dell’angolo
retto e minore dell’angolo piatto si dice ottuso.
O
I primi elementi della geometria
s
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Angoli consecutivi, adiacenti, opposti al vertice
C
DEFINIZIONE. Due angoli con il vertice e un lato in
comune e gli altri due lati situati da parti opposte
rispetto al lato comune si dicono consecutivi.
B
V
A
DEFINIZIONE. Se due angoli consecutivi hanno i
due lati non comuni uno sul prolungamento
dell’altro si dicono adiacenti.
B
A
V
C
DEFINIZIONE. Due angoli che hanno i loro lati l’uno
sul prolungamento dell’altro si dicono opposti al
vertice.
A
TEOREMA.
congruenti.
B
Angoli
opposti
I primi elementi della geometria
al
vertice
sono
D
V
B
19
Angoli complementari, supplementari, esplementari
Consideriamo gli angoli AVB e BVC:
C
PROPRIETÀ. Due angoli si dicono complementari
se la loro somma corrisponde a un angolo retto.
B
A
V
DEFINIZIONE. Due angoli si dicono
supplementari se la loro somma
corrisponde ad un angolo piatto.
B
A
V
C
A
DEFINIZIONE. Due angoli si dicono esplementari se
la loro somma corrisponde ad un angolo giro.
V
B
I primi elementi della geometria
20
