ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
a.a. 2005/2006
Silvano Antonelli
Ricevimento
•durante il corso:
Martedì ore 15.30
presso
Dipartimento di Informatica, Largo Pontecorvo 2
Stanza 394
•Per appuntamento
[email protected]
Pagina web : (programma, esami, date appelli…)
http://www.di.unipi.it/~antonell/
1
Esame , Propedeuticità
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Modalità esame:
-test scritto
-orale
-progetto:
-facoltativo per i frequentanti
-obbligatorio per i non frequentanti
2
Materiale Didattico
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
Per la formazione di base:
• C.A.Carnevale Maffè, T.Carnevale Maffè, Statistica, Sintesi, Vallardi
• S. Berstein, R.Bernstein , Statistica descrittiva, McGraw-Hill
• I.Diamond, J.Jefferies, Introduzione alla statistica, McGraw-Hill
Per applicazioni in campo archeologico:
• IS. Shennan, Quantifyng Archaeology, Edinburgh ,University Press.
1998.
S.A.
3
Introduzione (1)
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
Negli ultimi quaranta anni si è assistito alla
sempre
più
crescente
utilizzazione
dell’informatica e delle scienze nell’ambito
sociale e umanistico, introducendo, attraverso
tecniche matematiche e statistiche, metodi
propri delle scienze esatte.
S.A.
4
Introduzione (2)
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Per quanto attiene in particolare all’Archeologia ,
l’informatica è intervenuta sia nei processi
metodologici, sia nello sviluppo di tecniche
connesse a tali processi per:
sistematizzare
e ottimizzare operazioni di
catalogazione e gestione dell’informazione
definire strumenti idonei ad un trattamento
scientifico dei dati
5
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
I sistemi informatici che rispondono a queste
esigenze sono rispettivamente quelli di tipo
documentario per il trattamento descrittivo
degli oggetti (Sistemi di gestione di basi di dati)
e sistemi basati su tecniche matematicostatistiche.
Le basi di dati richiedono una strutturazione
organica e sistematica dell’informazione; i dati
rispecchiano in generale caratteri di omogeneità
basati su informazioni intrinseche (specifiche
dell’oggetto) ed estrinseche (relazionali).
6
Basi di dati
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
In Archeologia si riconoscono basi di dati di tipo:
Fattuale,inerente alla realtà, per la raccolta di
elementi concernenti oggetti mobili, edifici,
iscrizioni, decorazioni,etc. allo scopo di
costituire inventari (assumono quindi una
funzione amministrativa)
bibliografico con lo scopo di arrivare alla
schedatura di diverse pubblicazioni per fornire
informazioni sistematiche.
Le basi di dati si limitano però a trattare i dati in
maniera descrittiva, e non permettono una
analisi e una interpretazione dei dati stessi.
7
Sistemi statistici
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Tenuto conto anche del fatto che i dati di scavo
(geografici, stratigrafici, immobili,materiali mobili,
etc.) non sono completamente omogenei,
l’archeologia si è rivolta ai sistemi basati su
tecniche matematico – statistiche.
I primi esempi di applicazione si sono avuti negli
anni ’50 in archeologia preistorica attraverso l’uso
di tecniche grafiche e di statistiche descrittive.
Questo approccio ha dato luogo, a partire dagli
anni ’60, ad una branca di ricerca definita
“Archeologia Quantitativa”, considerata da alcuni
ricercatori una disciplina autonoma nell’ambito di
un movimento culturale detto New Archaeology.
8
Origini della statistica(1)
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
I primi rilevamenti statistici risalgono all’antichità
e derivano dalla naturale esigenza umana della
classificazione di tutto ciò che
è presente
nell’ambiente in cui vive .
Alcuni esempi:
censimento (census) dei cittadini (Antica Roma)
indagini per la previsione delle piene del Nilo
(Egitto)
I due esempi hanno caratteristiche completamente
diverse.
9
Origini della statistica(2)
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Il censimento ha infatti lo scopo di evidenziare una
situazione di fatto e rientra nella logica del
certo,fotografando lo stato della popolazione in quel
preciso periodo, mentre il secondo rientra nella logica
del probabile, gli unici approcci che rispecchiano il
comportamento dell’uomo di fronte a qualunque
fenomeno.
La logica del probabile è il contesto nel quale si pone la
statistica, che si avvale del calcolo delle probabilità per
studiare i fenomeni, evidenziarne le caratteristiche e
stabilire associazioni e relazioni tra fatti.
10
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Il campo di interesse della statistica è quello dei
fenomeni collettivi che richiedono, per la loro
valutazione , grandi quantità di osservazioni.
Le tecniche e i metodi statistici si pongono
l’obiettivo di ridurre queste grandi quantità di
osservazioni a pochi elementi , valori di sintesi
che rappresentino la totalità e tengano conto
delle variazioni delle osservazioni. Il metodo
statistico facilita quindi il confronto tra valori e
fenomeni e rende possibile la scoperta di regole
nella apparente irregolarità.
11
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
La statistica è la scienza che studia i fenomeni
collettivi mediante metodi matematici fondati sul
calcolo delle probabilità.
Il procedimento statistico presenta due aspetti:
Tecnico, relativamente alla raccolta, elaborazione e
presentazione dei dati, anche in forma grafica;
Logico che si propone
di formulare leggi, trarre
deduzioni e conseguenze e mettere in evidenza le cause
dei fenomeni.
12
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
E’ uso differenziare tra :
statistica descrittiva: raccogliere ed elaborare
dati per ricavare informazioni sintetiche e
significative, secondo le esigenze del problema
di interesse.
statistica inferenziale o induttiva : definire
metodi per passare dall’osservazione di casi
particolari a leggi generali
L’estensione dei risultati di un campione
rappresentativo alla totalità della popolazione è
detta inferenza, la cui analisi è detta Inferenza
statistica.
13
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Quando si deduce un parametro di una
popolazione sulla base delle corrispondenti
osservazioni (statistiche)
effettuate su un
campione casuale si dice che si effettua una
stima che rappresenta una approssimazione
statistica dei risultati di una indagine sulla intera
popolazione.
I risultati tratti dal campione
ed estesi alla
popolazione evidenziano la presenza di un
trade-off
(scambio-compromesso)
tra
costi/tempi e accuratezza della stima.
14
Statistica descrittiva
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Studio e sintesi de fenomeni collettivi, che sono
caratterizzati da risultati incerti.
Descrivere e prevedere questa variabilità
Popolazione o universo.
Unità statistiche o casi.
Caratteristiche : variabili
Modalità : valori assunti (dati)
15
(fonte : Mike Flechter and Gary R. Lock)
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
40 Punte di lancia con o senza anello
(loop) per stringere la punta sulla
immanicatura e spinotto, ribattino
(peghole) per bloccare la punta sulla
immanicatura.
Caratteristiche , attributi di interesse
archeologico:
Tipo di materiale
Luogo ritrovamento
Loop: presenza/ assenza
Peghole : presenza/ assenza
Stato di conservazione
Epoca
Misure ( distanza, peso, lunghezze,…)
16
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Unità statistica , di rilevazione,caso:
ogni singola punta
Universo o popolazione : insieme di tutte le punte
Variabile: ogni caratteristica che può manifestarsi
in modo diverso in unità diverse
Valori, modalità: diversi modi nei quali una
variabile può manifestarsi.
17
Variabili e modalità
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Materiale:
bronzo
ferro
Luogo di ritrovamento:
sul terreno
sedimento
sepoltura
Loop:
presente
assente
18
Variabili e modalità
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Peghole
presente
assente
Stato di conservazione:
eccellente
buono
soddisfacente
scarso
Periodo: A.C.
Misure:
lunghezza, larghezza, cavità etc. in cm.
peso in gr.
19
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
10
8
9
11
massima larghezza
massima lunghezza
12
larghezza cavità esterna
13
distanza centro-base
lunghezza cavità
larghezza cavità interna
S.A.
20
Sheda di unità statistica
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Numero ord.
Materiale
Contesto
Loop
Peghole
Condizione
Data (a.c.)
Max Lung.
Lung cav.
Max Larg.
Cav Int.
Cav. ester.
dist. centro-base
Peso
1
ferro
sepoltura
assente
presente
soddisfacente
300
12,4 cm
3,1 cm
3,6 cm
1 cm
1,7 cm
6,2
167 gr
21
materiale
Peghole
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Loop
Contesto
condizione
Missing (mancante)
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
4
*
bronzo
ferro
assenza
presenza
assenza
presenza
sul terreno
sedimento
sepoltura
eccellente
buona
soddisfacente
scarsa
22
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
Scheda di unità statistica codificata
Numero ord.
1
Materiale
2
Contesto
3
Loop
1
Peghole
2
Condizione
3
Data (a.c.)
300
Max Lung.
12,4 cm
Lung cav.
3,1 cm
S.A.
Max Larg.
3,6 cm
Cav Int.
1 cm
Cav. ester.
1,7 cm
dist. centro-base
6,2
Peso
167 gr
Tutte le unità sono raccolte in una tabella
23
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Numero ord. Materiale Contesto
1
2
3
2
2
3
3
2
3
4
2
3
5
2
3
6
2
3
7
2
3
8
2
2
9
2
2
10
2
1
11
2
1
12
2
1
13
2
1
14
2
1
15
2
1
16
2
1
17
2
1
18
2
2
19
2
2
20
2
2
21
1
1
22
1
1
23
1
1
24
1
1
25
1
1
26
1
1
27
1
1
28
1
1
29
1
1
30
1
1
31
1
1
32
1
1
33
1
1
34
1
1
35
1
2
36
1
1
37
1
1
38
1
1
39
1
1
40
1
1
Loop
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
Peghole CondizioneData (a.c.) Max Lung. Lung cav. Max Larg.
2
3
300
12,4
3,1
3,6
2
4
450
22,6
7,8
4,3
2
4
400
17,9
5,2
4,1
•
4
350
•
•
•
1
3
350
16,8
6,6
5,7
2
3
400
13,3
3,1
4,1
2
2
450
14,1
5,8
5,8
2
4
600
•
6,1
5,9
2
4
150
22,5
9,2
6,2
2
3
300
16,9
4,5
3,6
2
2
50
19,1
6,4
4,1
2
3
100
25,8
8,6
4,7
2
2
600
22,5
8,4
3,9
2
3
300
27,6
8,7
6
2
2
350
38
9,6
5,6
2
2
350
72,4
14,4
6,4
2
2
350
37,5
10,2
3,9
2
3
450
10,2
3
2,7
2
2
200
11,6
4,6
2
1
3
400
10,8
8,1
2,7
1
2
900
11,4
4,2
1,8
2
2
900
16,6
7,2
2,8
1
1
1000
10,2
3,4
3,3
1
1
1200
18,6
6,6
2,7
1
2
1200
24,4
7,5
4,4
1
1
1000
23,5
8
4,5
1
2
1200
24,8
8,1
3,5
2
1
800
14,1
3,4
3,9
2
2
800
24,6
6
4,8
1
2
800
30,9
5,1
6
2
1
700
20,2
5,9
5,7
2
2
700
12,8
3,5
2,8
2
1
800
16,9
5,5
3,6
2
1
800
14,2
4,3
2,8
2
2
700
18
4,5
5,3
1
2
1000
11,7
8,6
2,4
2
1
800
14,1
5,4
2,4
1
2
1200
17,7
4,8
3,9
2
3
1200
36,6
13,5
6
1
2
800
12,3
2,4
5,4
Cav Int. Cav. ester.
dist.
1
1,7
1,3
1,6
1,7
2
1,4
2
1,1
1,7
1,6
1,9
1,2
1,8
1,3
1,7
1,3
2
1,6
1,9
1,5
1,8
1,4
1,6
1,7
2,7
1,5
2,1
2
2,6
2
2,4
1,8
2,1
1,4
1,5
0,9
1,7
1,2
1,7
0,8
1,5
1,6
2
1,9
2,3
1,4
1,6
1,7
2,3
1,8
2,7
1,8
2,1
1,7
2,5
2,1
2,4
1,9
2,4
1,7
2,4
1,5
2,1
1,6
2,3
1,5
2,2
1,6
2,5
1
1,8
1,5
2,4
1,2
1,8
1,6
2,7
1,1
1,6
centro-base peso
6,2
167
11,3
342,1
7,5
322,9
•
154,8
7
358,1
5,6
227,9
6,8
323,8
7,1
285,2
13,1
613,8
5,2
254,3
10,6
310,1
12,7
426,8
18
521,2
14,4
765,1
13,6
1217,2
17,6
2446,5
14,1
675,7
5,8
90,9
5,6
86,8
5,4
109,1
6,1
67,7
9,5
204,5
5,4
170,3
8,5
176,8
11,3
543,2
8,7
628,2
11,1
401
6,1
302,4
8,6
623,5
8
978,9
9,4
607,9
5,9
165,6
8,2
307,9
6
192,4
9,9
524,7
6,6
111,2
8,4
178,7
9,6
273,4
18,1
1304,4
7,2
233,8
24
Scale
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Abbiamo considerato la misura delle caratteristiche
delle variabili, o , come si dice, il livello di misura o
scala.
Scala nominale
Implica solo nomi da assegnare alle diverse
categorie,per un processo di classificazione.
E’ il livello più basso di misurazione.
Tipo di materiale, loop, peghole.
Permette di classificare le unità: tutte le punte di
ferro, etc e formare quindi nuove classi.
25
Scale
Scala ordinale
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Possiamo formare classi e metterle anche in ordine,
ma senza che vi sia una distanza tra le categorie o
tra i singoli individui
Es.: stato di conservazione
Scala a intervalli
Quando è possibile stabilire la distanza:è fissata una
unità di misura
Es. : Data ; l’ unità di misura è l’anno.
Manca però il punto iniziale: lo zero assoluto
(Temperatura)
26
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
Scala di rapporti (ratio)
Ha le stesse proprietà della scala a intervalli
In più esiste anche lo zero assoluto
Pesi, distanze etc.
S.A.
27
Variabili
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Variabili quantitative (parametriche):
- discrete: i valori sono numeri interi positivi
- continue:i valori sono numeri positivi,
negativi , decimali (reali)
Variabili qualitative, nominali (non parametriche):
– Sconnesse quando non esiste alcun ordine.
Es: colore dei capelli
– Ordinabili:
Lineari (stato di conservazione)
Cicliche (mesi dell’anno)
28
Indici di posizione
(misure di tendenza centrale)
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
Valori che riassumono le caratteristiche
dei dati per:
– Sintetizzare i dati
– Facilitare il confronto tra situazioni analoghe
Medie:
• Aritmetica
• Geometrica
• Ponderata
S.A.
x
i
N
Mediana: valore centrale della sequenza
ordinata dei dati
Moda: modalità più ricorrente
29
Indici di dispersione
Campo di variazione: differenza tra il valore più grande xl
e il più piccolo xs
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
E’ poco significativo: le distribuzioni hanno lo stesso
campo di variazione, ma sono molto diverse in quanto a
variabilità
Varianza
Scarto quadratico medio (deviazione standard):
è la radice quadrata della varianza
30
Terminologia e formule
X
Parametri della popolazione
Media aritmetica: m
deviazione standard : s = x N m
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
2
i
Statistiche del campione
Media aritmetica: X
deviazione standard : s = Nx 1x
2
i
31
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
N- ord.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Cav Int.
1
1,3
1,7
1,4
1,1
1,6
1,2
1,3
1,3
1,6
1,5
1,4
1,7
1,5
2
2
1,8
1,4
0,9
1,2
0,8
1,6
1,9
1,4
1,7
1,8
1,8
1,7
2,1
1,9
1,7
1,5
1,6
1,5
1,6
1
1,5
1,2
1,6
1,1
Calcolo:
media
scarto
mediana
moda
1,4975
0,308616
1,5
1,6
32
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
N- ord.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Cav Int.
1
1,3
1,7
1,4
1,1
1,6
1,2
1,3
1,3
1,6
1,5
1,4
1,7
1,5
2
2
1,8
1,4
0,9
1,2
0,8
1,6
1,9
1,4
1,7
1,8
1,8
1,7
2,1
1,9
1,7
1,5
1,6
1,5
1,6
1
1,5
1,2
1,6
1,1
cav. int
2,5
2
1,5
1
0,5
0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39
Tabella iniziale
33
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
N- ord.
21
40
5
20
38
7
18
24
12
4
22
10
33
6
35
39
27
17
26
15
16
29
23
30
28
13
3
25
31
37
32
34
11
14
2
8
9
36
1
19
Cav Int.
0,8
1,1
1,1
1,2
1,2
1,2
1,4
1,4
1,4
1,4
1,6
1,6
1,6
1,6
1,6
1,6
1,8
1,8
1,8
2
2
2,1
1,9
1,9
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,3
1,3
1,3
1
1
0,9
cav. int
2,5
2
1,5
1
0,5
0
1
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39
34
Punte di misura diversa rispetto a cavità interna
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
N.ord. Materiale Contesto Loop
21
1
1
2
5
2
3
1
7
2
3
1
18
2
2
1
22
1
1
1
27
1
1
2
16
2
1
1
29
1
1
1
30
1
1
2
28
1
1
1
14
2
1
1
2
2
3
1
1
2
3
1
19
2
2
1
Peghole CondizioneData (a.c.) Max Lung. Lung cav. Max Larg.
1
2
900
11,4
4,2
1,8
1
3
350
16,8
6,6
5,7
2
2
450
14,1
5,8
5,8
2
3
450
10,2
3
2,7
2
2
900
16,6
7,2
2,8
1
2
1200
24,8
8,1
3,5
2
2
350
72,4
14,4
6,4
2
2
800
24,6
6
4,8
1
2
800
30,9
5,1
6
2
1
800
14,1
3,4
3,9
2
3
300
27,6
8,7
6
2
4
450
22,6
7,8
4,3
2
3
300
12,4
3,1
3,6
2
2
200
11,6
4,6
2
cav. int
Cav Int. Cav. ester.
dist.
0,8
1,5
1,1
1,7
1,2
1,8
1,4
1,5
1,6
2
1,8
2,1
2
2,4
2,1
2,4
1,9
2,4
1,7
2,5
1,5
2,1
1,3
1,6
1
1,7
0,9
1,7
centro-base peso
6,1
67,7
7
358,1
6,8
323,8
5,8
90,9
9,5
204,5
11,1
401
17,6
2446,5
8,6
623,5
8
978,9
6,1
302,4
14,4
765,1
11,3
342,1
6,2
167
5,6
86,8
cav. int
2,5
S.A.
2
1,5
cav. int
cav. int
1
0,5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1
2
3
4 5
6
7
8
9 10 11 12 13 14
35
Dati raggruppati - Frequenze
Si costruisce una partizione dei dati in classi:
la frequenza (assoluta) denota il numero di
elementi per ciascuna classe.
Frequenze assolute, cumulate
Frequenze Relative: rapporto tra frequenze
assolute e il numero totale di unità statistiche in
esame.
Le distribuzioni di frequenze si rappresentano
mediante tabelle e graficamente.
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
36
Cavità interna : partizione in intervalli
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
intervalli
fr.assolute
fr.relative
fr.assolute cumulate
1
0,025
1
0,8 - 1
3
0,075
4
1 - 1,2
5
0,125
9
1,2 - 1,4
7
0,175
16
1,4 - 1,6
11
0,275
27
1,6 - 1,8
8
0,2
35
1,2 - 2
4
0,1
39
2 - 2,2
1
0,025
40
>2,2
0
0
40
37
Cav Int.
0,8
0,9
1
1
1,1
1,1
1,2
1,2
1,2
1,3
1,3
1,3
1,4
1,4
1,4
1,4
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,6
1,6
1,6
1,6
1,6
1,6
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,8
1,8
1,8
1,9
1,9
2
2
2,1
intervalli fr.assolute fr.relative fr.assolute cumulate
1
0,025
1
0,8 - 1
3
0,075
4
1 - 1,2
5
0,125
9
1,2 - 1,4
7
0,175
16
1,4 - 1,6
11
0,275
27
1,6 - 1,8
8
0,2
35
1,2 - 2
4
0,1
39
2 - 2,2
1
0,025
40
>2,2
0
0
40
Totale
40
Totale
%
2,5
7,5
12,5
17,5
27,5
20
10
2,5
0
100
per cent ual e
1
2
3
4
5
6
7
8
9
fr.assolute cum ulate
12
10
50
8
6
fr
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
N- ord.
21
40
5
20
38
7
18
24
12
4
22
10
33
6
35
39
27
17
26
15
16
29
23
30
28
13
3
25
31
37
32
34
11
14
2
8
9
36
1
19
40
30
4
20
10
2
0
ass.cumul
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
1
2
3
4
5
fr.assolute
6
7
8
9
classi
ogiva (dal basso)
38
distribuzione frequenze in 9 intervalli
12
11
10
9
N. oggetti
8
7
6
5
4
2
1
0
<= 0,8
(0,8;1]
(1;1,2]
(1,2;1,4] (1,4;1,6] (1,6;1,8]
(1,8;2]
(2;2,2]
> 2,2
(1,8;2]
(2;2,2]
> 2,2
CAV_INT _
Lunghezza cavità interna
Casi da 1 a 40
12
11
10
9
8
N. oggetti
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
3
7
6
5
4
S.A.
3
2
1
media
0
<= 0,8
(0,8;1]
(1;1,2]
(1,2;1,4] (1,4;1,6] (1,6;1,8]
CAV_INT _
Curva Normale di Gauss
Rappresenta una distribuzione di probabilità
media = mediana = moda
area compresa tra la curva e l'asse x è uguale ad 1
39
cav.int
0,8
0,9
1
1
1,1
1,1
1,2
1,2
1,2
1,3
1,3
1,3
1,4
1,4
1,4
1,4
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,6
1,6
1,6
1,6
1,6
1,6
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,8
1,8
1,8
1,9
1,9
2
2
2,1
Lunghezza cavi tà i nterna
Casi da 1 a 40
12
11
10
9
8
N. oggetti
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
N. ordine
21
19
36
1
40
5
20
38
7
2
8
9
18
24
12
4
37
32
34
11
14
22
10
33
S.A. 6
35
39
28
13
3
25
31
27
17
26
23
30
15
16
29
7
6
5
4
3
2
1
0
<= 0,8
(0,8;1]
(1;1,2]
(1,2;1,4]
(1,4;1,6]
(1,6;1,8]
(1,8;2]
(2;2,2]
> 2,2
CAV_INT _
Curva Normale di Gauss
(media-scarto
,
media+scarto)
1,188884
,
1,806116
(1,2
,
1,8)
In questo intervallo cadono 28 casi (in rosso)
68,26%
68,26%
dei dati
di 40
circa
è 27,308
(media-2scarto ,
(media-3scarto ,
95.44%
99.74%
dei dati
dei dati
circa
circa
,
,
media+2scarto)
media+3scarto)
40
Partizione dei dati relativamente alla variabile CONDIZIONE
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
N. ord.
23
24
26
28
31
33
34
37
7
11
13
15
16
17
19
21
22
25
27
29
30
32
35
36
38
40
1
5
6
10
12
14
18
20
39
COND
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
classi
1
2
3
4
COND
1
2
3
4
fr.assoluta
8
18
9
5
Tot = 40
%
20
44
23
13
100
13%
20%
1
2
23%
3
4
44%
20
18
16
20
15
14
12
10
8
6
10
5
4
2
0
0
1
2
Istogramma
3
4
1
2
3
4
Poligono delle frequenze
41
Variabili standardizzate (normalizzate)
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
x
media
scarto
x norm.
84
76
10
0,8
90
82
16
0,5
S.A.
z
xm
s
42
Curva normale standardizzata
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Media = mediana = 0
Scarto = 1
Un numero nella Tavola seguente rappresenta l'
area sottesa dalla curva che si trova tra il valore
medio (Z = 0) e il valore standardizzato positivo
Z. L'area tra il valore 0 e un valore negativo
sarà identica all'area tra il valore medio e quello
positivo per la simmetria della curva.
Se z non è intero, e quindi del tipo z = a,bc si
cerca a,b nella prima colonna della tabella e si
prende il valore intersezione della riga
selezionata e della colonna 0,0b.
Es: z=1,82 area = 0,4656
43
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Z
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,0040
0,0438
0,0832
0,1217
0,1591
0,0080
0,0478
0,0871
0,1255
0,1628
0,0120
0,0517
0,0910
0,1293
0,1664
0,0160
0,0557
0,0948
0,1331
0,1700
0,0199
0,0596
0,0987
0,1368
0,1736
0,0239
0,0636
0,1026
0,1406
0,1772
0,0279
0,0675
0,1064
0,1443
0,1808
0,0319
0,0714
0,1103
0,1480
0,1844
0,0359
0,0753
0,1141
0,1517
0,1879
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
0,1950
0,2291
0,2611
0,2910
0,3186
0,1985
0,2324
0,2642
0,2939
0,3212
0,2019
0,2357
0,2673
0,2967
0,3238
0,2054
0,2389
0,2703
0,2995
0,3264
0,2088
0,2422
0,2734
0,3023
0,3289
0,2123
0,2454
0,2764
0,3051
0,3315
0,2157
0,2486
0,2794
0,3078
0,3340
0,2190
0,2517
0,2823
0,3106
0,3365
0,2224
0,2549
0,2852
0,3133
0,3389
1,0
1,1
1.2
1.3
1.4
0,3413
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,3438
0,3665
0,3869
0,4049
0,4207
0,3461
0,3686
0,3888
0,4066
0,4222
0,3485
0,3708
0,3907
0,4082
0,4236
0,3508
0,3729
0,3925
0,4099
0,4251
0,3531
0,3749
0,3944
0,4115
0,4265
0,3554
0,3770
0,3962
0,4131
0,4279
0,3577
0,3790
0.3980
0,4147
0,4292
0,3599
0,3810
0,3997
0,4162
0,4306
0,3621
0,3830
0,4015
0,4177
0,4319
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,4345
0,4463
0,4564
0,4649
0,4719
0,4357
0,4474
0,4573
0,4656
0,4726
0,4370
0,4484
0,4582
0,4664
0,4732
0,4382
0,4495
0,4591
0,4671
0,4738
0,4394
0,4505
0,4599
0,4678
0,4744
0,4406
0,4515
0,4608
0,4686
0,4750
0,4418
0,4525
0,4616
0,4693
0,4756
0,4429
0,4535
0,4625
0,4699
0,4761
0,4441
0,4545
0,4633
0,4706
0,4767
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4778
0,4826
0,4864
0,4896
0,4920
0,4783
0,4830
0,4868
0,4898
0,4022
0,4788
0,4834
0,4871
0,4901
0,4925
0,4793
0,4838
0,4875
0,4904
0,4927
0,4798
0,4842
0,4878
0,4906
0,4929
0,4803
0,4846
0,4881
0,4909
0,4931
0,4808
0,4850
0,4884
0,4911
0,4932
0,4812
0,4854
0,4887
0,4913
0,4934
0,4817
0,4857
0,4890
0,4916
0,4936
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3,0
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,4987
0,4940
0,4955
0,4966
0,4975
0,4982
0,4987
0,4941
0,4956
0,4967
0,4976
0,4982
0,4987
0,4943
0,4957
0,4968
0,4977
0,4983
0,4988
0,4945
0,4959
0,4969
0,4977
0,4984
0,4988
0,4946
0,4960
0,4970
0,4978
0,4984
0,4989
0,4948
0,4961
0,4971
0,4979
0,4985
0,4989
0,4949
0,4962
0,4972
0,4979
0,4985
0,4989
0,4951
0,4963
0,4973
0,4980
0,4986
0,4990
0,4952
0,4964
0,4974
0,4981
0,4986
0,4990
44
Distribuzione campionaria
Popolazione di N=5 individui : 2,3,6,8,11
Media m = 6,0
varianza = 10,8
scarto s329
Si estraggono tutti i campioni di dimensione n=2
23262211 363311661111
Le medie X dei campioni sono:
2,5-4-5-6,5-4,5-5,5-7-7-8,5-9,5
Sono dette medie campionarie.
La media delle medie campionarie è:
m x =6,0
La varianza della distribuzione delle medie
campionarie è 4,05 e quindi lo scarto è:
s x = 2,01
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
45
Distribuzione campionaria
Se si ripete il processo per i campioni di dimensione
crescente si osserva che la media della distribuzione
campionaria rimane la stessa, mentre lo scarto
tende a diminuire.
Ad esempio per i 5 campioni di n=4 elementi si
ottiene:
m
= 6,0
s
= 0,82
Significato: le medie campionarie sono meno variabili
dei valori reali della popolazione in quanto hanno
assorbito i valori estremi che invece incidono
pesantemente nella popolazione, in conclusione lo
scarto quadratico medio della medie campionarie è
minore di quello delle medie campionarie.
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
x
x
46
Distribuzione campionaria
Si consideri ora l’espressione:
s
SE = n
Nel caso dei campioni di dimensione 2 si ha:
SE = 2,32
Che approssima bene il valore 2,01 dello scarto
della distribuzione campionaria delle medie.
Poiché la dimensione del campione è piccola , un
valore migliore si ottiene applicando la formula
corretta:
s
SE = n NN 1n
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
da cui SE = 2,01 che coincide con il valore dello scarto
della distribuzione campionaria delle medie.
47
Teorema del limite centrale
Tre diverse distribuzioni :
- della popolazione
- all’interno del campione
- distribuzione delle media campionarie
Se la prima è normale lo sono anche le altre.
Nel caso della normalità si può ragionare su un
campione di almeno dieci elementi
In ogni caso, al crescere della dimensione del
campione, la distribuzione delle medie campionarie
tende ad essere normale. La dimensione minima
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
è 30. Le relazioni fondamentali sono:
mx = m
sx =
s
n
48
Significato
, che abbiamo già denotato con SE, è detto
errore standard
Sappiamo che nell’intervallo
(media- scarto, media + scarto)
cade il 68,26% dei valori. Ripetiamo le stesse
considerazioni per la distribuzione campionaria.
L’intervallo in esame è:
(m - s , m + s )
Il 68,26% delle medie x dei campioni cadono
nell’intervallo, per cui si può scrivere:
s
x
x
- s m
ovvero:
s
s
x
x
m
- n
n
sx
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
x
S.A.
x
x
x
x
x
x
49
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Come si interpreta?
m
-La vera media della popolazione cadrà con probabilità
0,6826 nel suddetto intervallo
- L’errore standard non descrive la variabilità della
popolazione, ma descrive il grado di certezza con il quale una
media campionaria stima la vera media della popolazione.
- Gli estremi dell’intervallo sono detti limiti di confidenza o
fiduciari
- Le stesse considerazioni si ripetono per gli intervalli
introdotti nella diapositiva 40.
- Le relazioni di n.48 dicono che la media aritmetica
del campione è uno stimatore corretto della media della
popolazione, mentre SE è uno stimatore distorto dello scarto
della popolazione.
50
Stime
Abbiamo valutato i parametri della popolazione a
partire dai valori corrispondenti del campione: è
questa la stima puntuale.
Altro aspetto è la stima per intervalli: piuttosto
che chiedere quanto vale un parametro , ci
domandiamo in quale intervallo cade.
Esempio di stima per intervalli
Campione ,estratto da popolazione normale, di
dimensione n=16 con media 1,71 e scarto 0,12.
Dal teorema del limite centrale sappiamo che 1,71 è
una buona stima della media della popolazione.
La dimensione del campione del campione è
sufficientemente grande per approssimare lo
scarto della popolazione con quello del campione.
51
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Determiniamo ora l’intervallo in cui cadrà la media della
popolazione al 95%.
L’area di riferimento è quindi 0,95 suddivisa in due parti
di 0,4750
Il valore critico corrispondente è Z=1,96.
L’intervallo è :
(media ±1,96 sn )
ovvero:
1,71 ± 1,96 0,12/4 = 1,71 ± 0,0588
da cui :
(1,6512 – 1,7688)
Al 95% la media della popolazione cade in questo
intervallo; d’altra parte avevamo già stimato che il suo
valore fosse 1,71
52
Esempio
Popolazione normale: media 100, scarto 15
Campione di dimensione n=40 media 107
E’ casuale questa media?
s
m
s
m
=
= 100
=
n = 2,37
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
x
x
Standardizziamo:
Z = (107-100)/SE = (107-100)/2,37 = 2,95
Area tra 0 e 2,95 è 0,4984 (dalle tavole)
Area a destra di 2,95 è 0,5-0,4984=0,0016 è molto
piccola e quindi la probabilità che l’evento sia
casuale è scarsa.
53
Decisioni statistiche
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Scopo. Prendere decisioni sulla popolazione
partendo da ipotesi relative ad un solo campione
Ipotesi nulla H0 : di solito formulata in modo da
poter essere rifiutata
Ipotesi alternativa HA
Verificare, attraverso test di ipotesi o regole di
decisione, se i risultati osservati si differenziano in
modo significativo da quelli attesi.
Errori di valutazione:
- di tipo I : si rifiuta ipotesi quando dovrebbe
essere accettata
- di tipo II : si accetta ipotesi quando dovrebbe
essere rifiutata
54
Livello di significatività a : probabilità massima con la
quale si accette di compiere un errore di tipo I
1- a : livello di confidenza o di fiducia
Valori tipici: 0,05 (5%) , 0,01 (1%)
Metodo Grandi campioni : n30
-Si sfrutta la normalità e quindi si usano le tavole relative
alle variabili standardizzate
-Si fissa il livello: di solito 5% a cui corrisponde il valore
critica Z=1,96
-Si considera il campione : media e scarto
-L’area tra -,196 e 1,96 è l’area di accettazione dell’ipotesi
- L’area esterna è la regione critica: i valori differiscono in
modo significativo da quelli ipotizzati
- L’area esterna è ripartita in due parti simmetriche (due
code) oppure è costituisce un unico blocco (una coda)
55
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Esempio:
Popolazione con media 120 e scarto 10
Campione con n=36 e media 114
Domanda: il campione proviene da quella popolazione?
Ipotesi : media =120
Livello = 5%
Due metodi
A) Metodo degli intervalli di confidenza
L’area di accettazione , che si denota con 95%IC è :
s
(media ±1,96
)
n
ovvero:
114 ± 1,96 10/ 36= 114 ± 3,27
da cui :
(110,73 – 117,27)
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
56
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
120 non appartiene all’intervallo e quindi è
improbabile che il campione provenga da una
popolazione con media 120:Si accetta quindi
l’ipotesi alternativa
B) Metodo del test statistico
Si calcola :
Z= (media campionaria-media popolazione)/ SE
= (114-120)/SE = -3,6
dove SE = 10/ 36
Ma -3,6 è molto più piccolo di -1,96 e quindi cade
nella regione critica
L’ipotesi nulla è da scartare e quindi è improbabile
che il campione provenga da una popolazione
57
con media 120
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Nota: se avessimo formulato l’ipotesi media>120
la regione critica sarebbe stata tutta dalla parte
destra della curva e avremmo quindi effettuato
un test ad una coda.
In questo caso avremmo dovuto considerare
solamente metà area 0,50 e quindi togliendo 5%
del livello ,l’area di accettabilità sarebbe stata
0,45 a cui corrisponde il valore critico Z=1,64
invece di 1,96.
Il metodo sarebbe poi rimasto lo stesso.
58
Piccoli campioni
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Problemi nuovi:
- Campioni di dimensione n minore di 30
e quindi con distribuzione non normale
- Non conoscenza dello scarto della popolazione
Soluzione:
Teoria dei piccoli campioni detta anche Teoria
campionaria esatta in quanto vale per piccoli che
per grandi campioni
59
Test di Student (t-test)
Si definisce la statistica:
t = (n-1) (
)/s
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
x
m
Con il consueto significato dei simboli
n = n-1 sono i gradi di libertà
Anche in questo caso l’area sottesa dalla curva è 1.
Si usa la tabella di Student simile a quella della
distribuzione normale.
La riga è determinata dai gradi di libertà e la colonna
viene selezionata in base al valore del livello di
significatività.
Si determinano i valori critici t in modo analogo ai valori
z.
60
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Esempio
Popolazione con media 9,5
Campione : n=15 media=10,64 scarto s= 7,26
a=5%
H0: media pop. =9,5
Test a due code: 0,05/2 =0,025
t = ( 14)(10,64-9,5)/7,26 =0,59
Gradi di libertà = 14
t(0.025) = 2,14
Intervallo IC = (-2,14 , +2,14)
t=0,59 appartiene all’intervallo IC
L’potesi nulla è accettabile.
61
t - test
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Cav Int.Precedenti studi hanno dimostrato che la media era 1,3 cm., e non era noto lo scarto.
1
Interessa sapere se il campione delle 40 punte ,relativemente a questa variabile,
1,3
appartiene oppure no alla stessa popolazione.
1,7
In altre parole , poiché la media del campione è 1,4975 cm., e lo scarto 0,312547
1,4
interessa sapere se sono simili oppure cè una differenza rilevante.
1,1
1,6
Ho: media = 1,3
1,2
1,3
Si usa il t-test
1,3
1,6
t = (media del campione - media in origine)xradice quadrata di (N-1) / scarto del campione di N elementi
1,5
1,4
t = (1,4975 - 1,3) x Radq(40-1) / 0,312547
1,7
1,5
t = 0,i975 x 6,244998 / 0,312547 = 3,95
2
2
Da tabella del t- test
1,8
livello valore
1,4
0,05 (5%)
2,02
0,9
1,2
Poiché 3,95 > 2,02
l'ipotesi deve essere rspinta e quindi esiste una significativa diversità
0,8
1,6
1,9
1,4
1,7
1,8
1,8
1,7
2,1
1,9
1,7
1,5
1,6
1,5
1,6
1
1,5
1,2
1,6
1,1
62
Statistica bivariata
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
21
19
1
36
40
20
7
18
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
3
1
1
2
3
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
3
2
2
3
2
3
900
200
300
1000
800
400
450
450
11,4
11,6
12,4
11,7
12,3
10,8
14,1
10,2
media
scarto s
4,2
4,6
3,1
8,6
2,4
8,1
5,8
3
1,8
2
3,6
2,4
5,4
2,7
5,8
2,7
0,8
0,9
1
1
1,1
1,2
1,2
1,4
1,5
1,7
1,7
1,8
1,6
1,7
1,8
1,5
6,1
5,6
6,2
6,6
7,2
5,4
6,8
5,8
67,7
86,8
167,0
111,2
233,8
109,1
323,8
90,9
11,8125
1,175266
C'è ssociazione tra le colonne 8 e 13 ?
25
16
14
12
10
8
6
4
2
0
20
8
13
15
8
13
10
5
0
0
2
4
6
8
10
1
2
3
4
5
6
7
8
Coefficiente di correlazione
0,674435
La distribuizone evidenzia che esiste una correlazione positiva tra i dati delle colonne 8 e 13:
ovvero aumentando i valori di una aumentano anche i valori dell'altra.
63
Tabelle di frequenze bivariate
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
Mater. bronzo
ferro
S.A.
fr.marginali
tabella di correlazione
tabella di contingenza
:
:
ambedue le variabili sono quantitative
almeno una variabile è qualitativa
TABELLA DI CONTINGENZA
con frequenze assolute
sono dette anche frequenze interne o congiunte
contesto
terreno
19
8
27
sedimento
1
5
6
tabella codificata
sepoltura fr.marginali
0
20
7
20
7
40
1
2
fr.marginali
1
19
8
27
2
1
5
6
3
0
7
7
fr.marginali
20
20
40
64
Test Chi-quadro
Ricerca di associazione tra il tipo di materiale e la presenza di loop.
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
Bronzo
18
Ferro
22
SI loop
3
SI loop
10
NO loop
19
NO loop
8
albero
Si usano due tabelle di contingenza :
la tabella dei valori osservati e la tabella dei valori attesi
S.A.
Tabelle dei valori osservati O
Materiale No loop
Ferro
Si loop
19
3
22
frequenze marginali
8
10
18
Valori Osservati O
27
13
40 Totale
Materiale No loop Si loop
Ferro
Bronzo
27
13
22
18
40 Totale
Bronzo
65
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
gradi di libertà:1
(scelta del valore iniziale in una delle caselle rosse)
Fissando ad esempio il 3 gli altri valori
sono univocamente individuati mdiante
le frequenze marginali.
gradi di libertà=(r-1)(c-1)
r = numero righe della tabella
c = numero colonne della tabella
Tabella dei valori attesi E
Ho: ipotesi nulla
Possibili errori:
tipo 1
tipo 2
Non esiste alcuna associazione (le differenze sono casuali)
quindi probabilità di avere loop è 13/40 indipendentementa dal materiale
viene respinta ipotesi quando era da accettare
viene accettata ipotesi quando era da respingere
S.A.
Materiale No loop Si loop
Ferro
14,85
7,15
Bronzo
12,15
5,85
27
13
22
18
40:13=22:x
x=7,15
Valori attesi E
66
Chi-quadro = 7,978,81
Livello di significatività a : probabilità massima di commettere errore di tipo 1
ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA
S.A.
Da tabella del Chi-quadro:
(riga individuata dal grado di libertà e colonna da a)
livello
valore
0,05 (5%)
7,88
0,1
6,68
Il valore calcolato è maggiore e l'ipotesi è da respingere.
Pertanto il tipo di materiale e la presenza di loop sono associati.
Calcolo manuale del
O
19
3
8
10
E
14,25
7,15
12,15
5,85
O-E
4,75
4,15
4,15
4,15
(il valore cade nella regione critica)
c2
(O - E)2
22,56
17,2225
17,2225
17,2225
(O - E)2 /E
1,58
2,41
2,41
2,41
c 2= 8,81
67
