Polinomi ...che rompicapo scomporli

Progetto DiGi Scuola
Polinomi … che rompicapo scomporli!!!
Realizzato da:
Prof.ssa Giuseppina Lippiello
Percorso formativo
• Introduzione
• L’algebra e la sua
origine
• Prodotti notevoli
• Triangolo di Tartaglia
• Scomposizione di un
polinomio in fattori
Introduzione
Ecco gli argomenti che
affronterai in questa unità
didattica:
• Obiettivi generali del
progetto “DiGi Scuola”
• Obiettivi specifici del
modulo
START
Introduzione
Obiettivi generali del progetto “DiGi Scuola”
• DiGi Scuola è un progetto promosso dal Ministero
per le Riforme e l'Innovazione nella Pubblica
Amministrazione, in collaborazione con il Ministero
della Pubblica Istruzione che si propone di
sviluppare ed impiegare Contenuti Didattici Digitali
(learning object) a supporto della didattica, al fine
di introdurre le nuove tecnologie nel processo
formativo e di apprendimento per creare un ponte
fra la didattica tradizionale e le nuove generazioni.
Introduzione
Obiettivi generali del progetto “DiGi Scuola”
Introdurre metodologie didattiche innovative
al servizio dei docenti, prevedendo piani di
formazione.
Ridurre la dispersione scolastica,
migliorando il rendimento degli studenti.
Creare un mercato elettronico dei contenuti
digitali per la didattica.
Promuovere lo sviluppo dell'industria italiana di
contenuti didattici digitali di qualità, adottando
elevati standard tecnologici e linee guida
pedagogico-didattiche.
Introduzione
Obiettivi specifici del modulo
• L’idea del progetto “Polinomi … che rompicapo
scomporli!!!” deriva dal fatto che le operazioni di
scomposizione di un polinomio in fattori sono la "bestia
nera" degli studenti poiché fattorizzare un polinomio
può non sempre risultare immediato.
• Il progetto vuole essere uno strumento per interessare
e coinvolgere gli allievi in un percorso di
apprendimento facilitato dalle tecnologie utilizzate
dagli studenti stessi come accesso a fonti di studio al
fine di diventare essi stessi protagonisti del processo
di evoluzione del mondo scolastico.
Introduzione
Obiettivi specifici del modulo
• Cononoscere i prodotti notevoli
• Conoscere le varie tecniche di
scomposizione di un polinomio
Misurabile
con prove
“teoriche”
• Sapere operare con i prodotti
notevoli
• Sapere scomporre un polinomio
utilizzando il metodo appropriato
Misurabile
con prove
“pratiche”
Introduzione
Sei arrivato alla fine della
unità didattica nella quale
hai potuto vedere i
seguenti argomenti:
• Obiettivi generali del
progetto “DiGi Scuola”
• Obiettivi specifici del
modulo
END
L’algebra e la sua origine
Ecco gli argomenti che
affronterai in questa unità
didattica:
• Il termine algebra
• Gli albori dell’algebra
• Il padre dell’algebra
• Ulteriori sviluppi
dell’algebra
START
L’algebra e la sua origine
Il termine algebra
La parola Algebra viene
dall'arabo al-jabr che,
tradotto in latino, diventa
restauratio ovvero
ristabilimento
dell'equilibrio (di
un'equazione quando si
porta un termine da un
membro all'altro, appunto
cambiando segno).
‫الجبر‬
L’algebra e la sua origine
Il termine algebra
In Spagna, durante la
dominazione araba, quasi
tutte le botteghe di barbiere,
nella loro insegna, recavano
la scritta al-jabr.
Il motivo non era quello che i
barbieri fossero tutti laureati
in Matematica (in Algebra)
ma, ovviamente, un altro.
L’algebra e la sua origine
Il termine algebra
In Spagna, durante la
dominazione araba, i
barbieri fornivano anche le
prime prestazioni medico infermieristiche.
Si occupavano quindi della
“restauratio”, ma del corpo
umano …
L’algebra e la sua origine
Il termine algebra
… in altre parole, i barbieri
facevano anche gli aggiusta –
ossa.
Da qui, la loro insegna
“algebrica”.
L’algebra e la sua origine
Il termine algebra
Non è certo facile dare una
definizione generale di
algebra.
In un primo significato
l’algebra può essere vista
come una generalizzazione
dell’aritmetica, nata dalla
necessità di rendere generali
i procedimenti da eseguire.
L’algebra e la sua origine
Il termine algebra
Nel corso dei secoli sono state ledefinizioni più diverse di algebra:
• Al-Karaji (X-XI sec): “determinazione di incognite a partire da premesse
conosciute.
• As-Samaw’al (XII sec): “operare su [quantità] incognite per mezzo di tutti
gli strumenti aritmetici, come l’aritmetica sulle (grandezze) note”.
• Omar Khayyam (XI-XII sec): “Io dico che l’Algebra è un’arte scientifica.
Gli oggetti di cui si occupa sono numeri assoluti e grandezze misurabili
che, sebbene in sé sconosciute, sono collegate con cose note per cui è
possibile la determinazione delle quantità incognite”.
• Matematici indiani: algebra come Vijaganita, titolo di un’opera di
Bhaskara, che significa “scienza di calcolo con le incognite”.
• F. Viète (1540-1603): “Un’equazione è dunque un’eguaglianza
(comparatio) tra una grandezza incognita (incerta) e una grandezza nota
(certa)”.
L’algebra e la sua origine
Gli albori dell’algebra
Il nostro modo di indicare i
numeri, di operare con essi
e, in generale, di fare i
calcoli, non risale agli
antichi greci, per quanto
abbiano fatto della
matematica uno degli
ambiti dei loro studi, ma
agli arabi, che diffusero le
cifre indiane.
L’algebra e la sua origine
Gli albori dell’algebra
I simboli dell’algebra ed il
modo che oggi utilizziamo
e che con un po' di
allenamento, ci possono
apparire ovvi e naturali
sono in realtà frutto di un
lavoro di rielaborazione per
molti secoli.
L’algebra e la sua origine
Gli albori dell’algebra
I Babilonesi, (II millennio
a.C.) che sotto molti aspetti
sono considerati i fondatori
dell'algebra, non facevano
uso di simboli e si
limitavano a descrivere nel
linguaggio naturale le
procedure risolutive di vari
problemi.
L’algebra e la sua origine
Gli albori dell’algebra
Presso i Greci l'algebra ebbe il
suo periodo di maggior
splendore nel periodo ellenistico
(III secolo d. C.), soprattutto a
opera di un matematico di
Alessandria, Diofanto (243 –
330 d.C), che per primo elaborò
un sistema di simboli adatti a
rappresentare, mediante segni
speciali, la variabile, alcune sue
potenze, la sua inversa, qualche
operazione.
L’algebra e la sua origine
Gli albori dell’algebra
Con Diofanto ebbe inizio
l'algebra sincopata (dal greco
synkopé = tagliare, ridurre ) ,
una specie di stenografia che sta
tra il linguaggio naturale e il
simbolismo moderno. Essa usa
generalmente le parole,
intercalando qua e là delle
abbreviazioni per rendere più
agile e spedito l’andamento del
ragionamento e dei calcoli.
Esempio di scrittura algebrica sincopata,
dall'Algebra di R Bombelli (1526-1572),
pubblicata a Bologna nel 1579
L’algebra e la sua origine
Gli albori dell’algebra
A questo punto è utile sottolineare che, secondo alcune
fonti, lo sviluppo del’lgebra passò attraverso diversi stadi:
• “primitivo” o “retorico” in cui non si faceva uso nè di
simboli nè di numeri, ma tutto (operazioni, proprietà,
relazioni) si esprimeva solo attraverso parole;
• “intermedio” o “sincopatico” in cui si faceva uso di
alcune abbreviazioni;
• “simbolico” in cui tutto si espimeva per mezzo di
simboli.
L’algebra e la sua origine
Il padre dell’algebra
Il vocabolo algebra deriva dal
titolo dell’opera più
importante scritta dal
matematico Mohammed ibnMusa al-Khowârizmî, vissuto
a Bagdad nel IX sec. d.C.:
il trattato Al-jabr wa'l
muqâbalah pervenuto a noi
sia in una versione latina
(Liber algebrae et
almucabola) sia araba.
L’algebra e la sua origine
Il padre dell’algebra
Nella versione araba del trattato , a differenza di quella
latina, compare anche una prefazione in cui alKhowârizmî loda il profeta Moametto ed il califfo alMamun, che fondò a Bagdad una “Casa del sapere”
(Bait al-hikma), nella quale confluirono scienziati e
filosofi dalla Siria, dall’Iran e dalla Mesopotamia, e che
lo invitò affidandogli l’incarico di comporre una breve
opera per mezzo (delle regole) di completamento e
riduzione.
L’algebra e la sua origine
Il padre dell’algebra
La parola al-jabr significa
“ristabilire”, ovvero ristabilire
l’equilibrio in un’equazione
scrivendo in un suo membro un
termine che era stato eliminato
dall’altro membro, mentre la
parola al muqâbala significa
“semplificazione”, come quando
si sommano i termini simili o si
sottraggono termini uguali da
entrambi i membri
dell’equazione.
L’algebra e la sua origine
Ulteriori sviluppi dell’algebra
Il passaggio dall'algebra
sincopata all’algebra
simbolica, nella quale il
calcolo con i numeri viene
sostituito dal calcolo con le
lettere, ha richiesto un
lungo cammino e il
contributo di numerosi
matematici.
L’algebra e la sua origine
Ulteriori sviluppi dell’algebra
Notevoli passi avanti vennero
fatti molti secoli dopo da due
matematici italiani, Luca
Pacioli (XV secolo) e Raffaele
Bombelli (XVI secolo).
Questo cammino si concluse
nella seconda metà del
Cinquecento con il francese
Francois Viète.
Ritratto di Francois Viète
L’algebra e la sua origine
Ulteriori sviluppi dell’algebra
Viète ebbe per primo
l'intuizione di
"operazione astratta", ne
codificò la notazione
simbolica e arrivò a
formulare il cosiddetto
calcolo letterale attuale.
L’algebra e la sua origine
Sei arrivato alla fine della
unità didattica nella quale
hai potuto vedere i
seguenti argomenti:
• Il termine algebra
• Gli albori dell’algebra
• Il padre dell’algebra
• Ulteriori sviluppi
dell’algebra
END
Prodotti notevoli
Ecco gli argomenti che
affronterai in questa unità
didattica:
• Quadrato di un binomio
• Quadrato di un polinomio
• Somma per differenza
• Cubo di un binomio
• Altri prodotti notevoli
START
Prodotti notevoli
Quadrato di un binomio
L’aggetivo notevole deriva
dal verbo notare che, tra
l’altro significa: mettersi in
mostra, richiamare su di sè
l’attenzione.
Generalmente viene
attribuito ad una cosa
degna di nota come lo
sono i prodotti notevoli.
Perché
notevoli?
Prodotti notevoli
Quadrato di un binomio: significato algebrico
(a+b)2 = (a+b) (a+b) =
= a2+ab+ab+b2 =
= a2+2ab+b2
Prodotti notevoli
Quadrato di un binomio: la regola
Il quadrato di un binomio è
un trinomio avente per
termini:
• il quadrato del 1°
monomio
• il doppio prodotto del 1°
monomio per il 2°
• il quadrato del 2°
monomio
(a+b)2 = a2+2ab+b2
Prodotti notevoli
Quadrato di un binomio: significato geometrico
(a + b)2
(a + b)
a
ab
b2
a2
ab
b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Prodotti notevoli
Quadrato di un binomio: esempi
• (2a+b)2 = (2a)2+2(2a)(+b)+(+b)2 = 4a2 + 4ab + b2
• (2a - b)2 = (2a)2+2(2a)(-b)+(-b)2 = 4a2 - 4ab + b2
• (3a+2b)2 = (3a)2 +2(3a)(+2b) + (+2b)2 = 9a2+12ab+4b2
• (3a -2b)2 = (3a) 2 + 2(3a)(-2b) +(-2b)2 = 9a2 -12ab+4b2
• (-3a -2b)2 = (-3a)2+2(-3a)(-2b)+(-2b)2 = 9a2+12ab+4b2
• (-3a+2b)2 = (-3a)2+2(-3a)(+2b)+(+2b)2 = 9a2-2ab+4b2
Prodotti notevoli
Quadrato di un binomio: approfondimenti
Vuoi saperne di più?
Bene!!!!
Clicca sull’immagine
riportata di lato e …..
buona lettura!!!
Prodotti notevoli
Quadrato di un binomio: esercizi
Ora esercitati tu!!!
Clicca sulla penna che
preferisci e … buon
divertimento:
Prodotti notevoli
Quadrato di un polinomio: significato algebrico
(a+b+c)2 =
= (a+b+c) (a+b+c) =
= a2 + ab + ac + ab +
b2 + bc + ac +bc + c2 =
= a2+ b2 + c2 +2ab +
2ac + 2bc
Prodotti notevoli
Quadrato di un polinomio: la regola
Il quadrato di un polinomio
di numeri qualsiasi di
termini è un polinomio
avente per termini:
• il quadrato di tutti i termini
• il doppio prodotto (con il
relativo segno) di ciascun
termine per tutti quelli che
lo seguono
(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
Prodotti notevoli
Quadrato di un polinomio: significato geometrico
(a+b+c)2
(a+b+c)
a
b
ac
bc
c2
ab
b2
bc
a2
ab
ac
c
(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
Prodotti notevoli
Quadrato di un polinomio: esempi
• (2a + b + 3c)2 =
(2a) 2+(+b) 2+(+3c)2+2(2a)(+b)+2(2a)(+3c)+2(+b)(+3c)
= 4a2 + b2 + 9c2+ 4ab + 12ac + 12bc
• (2a - b - c)2 =
= (2a)2+(-b)2+(-c)2+2(2a)(-b)+2(2a)(-c)+2(-b)(-c)=
= 4a2 + b2 + c2 - 4ab - 4ac + 2bc
• (-3a - 2b + c )2 =
=(-3a)2+(-2b)2+(+c)2+2(-3a)(-2b)+2(-3a)(+c)+2(2b)(+c)
= 9a2 + 4b2 + c2 + 12ab - 6ac - 4bc
Prodotti notevoli
Quadrato di un polinomio: approfondimenti
Vuoi saperne di più?
Bene!!!!
Clicca sull’immagine
riportata di lato e …..
buona lettura!!!
Prodotti notevoli
Quadrato di un polinomio: esercizi
Ora esercitati tu!!!
Clicca sulla penna che
preferisci e … buon
divertimento:
Prodotti notevoli
Somma per differenza: significato algebrico
(a+b) (a-b) =
= a2 - ab + ab - b2 =
= a 2 - b2
Prodotti notevoli
Somma per differenza: la regola
Il prodotto della
somma di due termini
per la loro differenza è
uguale al quadrato del
primo termine meno il
quadrato del secondo
termine
(a+b) (a-b) = a2 - b2
Prodotti notevoli
Somma per differenza: esempi
•
•
•
•
•
•
(2a+b) (2a+b) = (2a)2 - (b)2 = 4a2 - b2
(2a - 5b) (2a + 5b) = (2a)2 - (5b)2 = 4a2 - 25b2
(3a+2b) (3a-2b) = (3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2
(-a +2b) (-a - 2b) = (-3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2
(4a + b) (- 4a + b) = (b)2 - (4a)2 = b2 - 16a2
(-3b+2a) (+3b+2a) = (2a)2 - (3b)2 = 4a2 - 9b2
Prodotti notevoli
Somma per differenza: approfondimenti
Vuoi saperne di più?
Bene!!!!
Clicca sull’immagine
riportata di lato e …..
buona lettura!!!
Prodotti notevoli
Somma per differenza: esercizi
Ora esercitati tu!!!
Clicca sulla penna che
preferisci e … buon
divertimento:
Prodotti notevoli
Cubo di un binomio: significato algebrico
(a+b)3 = (a+b)2 (a+b) =
(a2+2ab+b2) (a+b) =
a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3
=
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Prodotti notevoli
Cubo di un binomio: la regola
Il cubo di un binomio è un
quadrinomio avente per
termini:
• il cubo del 1° monomio
• il triplo prodotto del
quadrato del 1° per il 2°
• il triplo prodotto del 1° per
il quadrato del 2°
• il quadrato del 2°
monomio
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
Prodotti notevoli
Cubo di un binomio: significato geometrico
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Prodotti notevoli
Cubo di un binomio: esempi
• (2a+b) 3 = (2a) 3+3(2a)2(+b)+3(2a)(+b)2+(+b) 3 =
= 4a3 + 12a2b + 6ab2 + b3
• (2a - b)3 = (2a)3+3(2a)2(-b)+3(2a)(-b)2+(-b)3 =
= 8a3 - 12a2b + 6ab2 - b3
• (-3a - 2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2(-2b)+3(-3a)(-2b)2 +(-2b)3 =
= -27a3 - 54a2b - 36ab2 - b3
• (-3a + 2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2(+2b)+3(-3a)(+2b)2 +(+2b)3
= -27a3 + 54a2 b - 36ab2 + b3
Prodotti notevoli
Cubo di un binomio: approfondimenti
Vuoi saperne di più?
Bene!!!!
Clicca sull’immagine
riportata di lato e …..
buona lettura!!!
Prodotti notevoli
Cubo di un binomio: esercizi
Ora esercitati tu!!!
Clicca sulla penna che
preferisci e … buon
divertimento:
Prodotti notevoli
Altri prodotti notevoli: somma di cubi – significato algebrico
(a + b) (a2 - ab + b2) =
a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=
= a3 + b3
Prodotti notevoli
Altri prodotti notevoli: somma di cubi - la regola
Il prodotto della somma di
due termini per il trinomio
formato dal quadrato dei
due termini e dalla
differenza del loro prodotto
è uguale al cubo del primo
termine più il cubo del
secondo termine
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
Prodotti notevoli
Altri prodotti notevoli: differenza di cubi - significato algebrico
(a - b) (a2 + ab + b2) =
a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=
= a3 - b3
Prodotti notevoli
Altri prodotti notevoli: differenza di cubi - la regola
Il prodotto della differenza
di due termini per il
trinomio formato dal
quadrato dei due termini e
dalla somma del loro
prodotto è uguale al cubo
del primo termine meno il
cubo del secondo termine
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
Prodotti notevoli
Somma o differenza di cubi: esempi
• (2a + b)(4a2 - 2ab + b2) = (2a)3 + (b)3 = 8a3+b3
• (2a - b)(4a2 + 2ab + b2) = (2a)3 - (b)3 = 8a3 - b3
• (3a+2b)(9a2- 6ab +4b2)=(3a)3+(2b)3=27a3+8b3
• (3a - 2b)(9a2+ 6ab +4b2)=(3a)3-(2b)3=27a3-8b3
Prodotti notevoli
Somma o differenza di cubi: approfondimenti
Vuoi saperne di più?
Bene!!!!
Clicca sull’immagine
riportata di lato e …..
buona lettura!!!
Prodotti notevoli
Somma o differenza di cubi: esercizi
Ora esercitati tu!!!
Clicca sulla penna che
preferisci e … buon
divertimento:
Prodotti notevoli
Sei arrivato alla fine della
unità didattica nella quale
hai potuto vedere i
seguenti argomenti:
• Quadrato di un binomio
• Quadrato di un polinomio
• Somma per differenza
• Cubo di un binomio
• Altri prodotti notevoli
END
Triangolo di Tartaglia
Ecco gli argomenti che
affronterai in questa unità
didattica:
• Un po’ di storia
• Il triangolo
• Potenza n-esima di
binomio
START
Triangolo di Tartaglia
Un po’ di storia
Il triangolo di Tartaglia è stato
ideato da Niccolò Fontana,
detto il Tartaglia, nato a
Brescia nel 1499 e morto a
Venezia il 13 Dicembre 1557.
Il soprannome “Tartaglia” gli
fu dato in seguito a una ferita
al volto che a 12 anni gli
procurò un'accentuata
balbuzie.
Triangolo di Tartaglia
Un po’ di storia
Tartaglia non ebbe un'infanzia
facile: perse il padre a 6 anni e
non poté permettersi di andare a
scuola poiché la sua famiglia era
troppo povera.
Praticamente fu autodidatta e
andò a una "scuola di scrivere"
soltanto per 15 giorni, all'età di 14
anni, per imparare a scrivere
l'alfabeto - come racconta nella
sua autobiografia - ma la dovette
abbandonare, non potendo
continuare a pagare il maestro.
Triangolo di Tartaglia
Un po’ di storia
Scoprì di avere una
straordinaria abilità in
matematica e si guadagnò da
vivere insegnando matematica
a Verona e dal 1534 a Venezia.
Nel 1560 scrisse il "General
trattato di numeri et misure",
opera enciclopedica di
matematica elementare, dove
compare il famoso "triangolo di
Tartaglia", applicato a problemi
di probabilità.
Triangolo di Tartaglia
Un po’ di storia
Tartaglia diede anche un
importante contributo alla
diffusione delle opere dei
matematici antichi. Sua è
la prima traduzione dal
latino in italiano degli
Elementi di Euclide.
Triangolo di Tartaglia
Un po’ di storia
Il triangolo era già stato
studiato dal matematico
cinese Chia Hsien, nel
1050 circa.
Il triangolo fece la sua
apparizione in Europa nel
1527, in un libro di
aritmetica di Apianus.
Secondo alcuni, l'inventore
era il cinese Ju-Hsieh.
Triangolo di Tartaglia
Il triangolo: lo schema per costruirlo
• All’inizio e alla fine di ogni
riga c’è sempre 1.
• Inizia con le due righe
superiori che sono 1 e 1 – 1
• Per trovare i numeri nella
riga seguente, somma i due
numeri:
es. 1+1=2
1+2= 3
2+1= 3
1+3=4
3+3=6
3+1=4
1
1
2
1
1
1
1
3
4
1
1
3
6
4
1
Triangolo di Tartaglia
Il triangolo: la regola per costruirlo
Ogni numero, tranne il
numero generatore al vertice
del triangolo, è la somma dei
due numeri sovrastanti.
Ai bordi si trova sempre 1,
perché i due numeri
sovrastanti sono, in questo
caso, da una parte 1 e
dall'altra nessun numero,
cioè zero.
1
1
1
1
3
4
1
5
1
2
1
1
1
1
3
4
6
10
1
10
1
5
1
6 15 20 15 6 1
7 21 35 35 21 7 1
Triangolo di Tartaglia
Il triangolo: Triangolo di Pascal
Il triangolo di Tartaglia è
noto anche come
triangolo di Pascal, che
ne diffuse la conoscenza.
Il triangolo di Pascal ha
una disposizione a
"triangolo rettangolo", una
forma che consente
un'analisi migliore di righe
e colonne.
1
11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Triangolo di Tartaglia
Il triangolo: altre proprietà
La somma dei termini di ogni riga è la successione delle potenze del 2.
Si può anche dire che la somma dei termini di ogni riga è il doppio della
somma dei termini della riga precedente e che la somma dei termini di ogni
riga, diminuita di 1, è uguale alla somma dei termini di tutte le righe che lo
precedono.
Triangolo di Tartaglia
Il triangolo: altre proprietà
1
1
Per comprendere
meglio: sommando i
numeri delle righe,
si trovano le
potenze di 2
6
1
1
9
56
28
8
36
10
84
126
1
84
1
7
28
56
126
1
6
21
35
70
1
5
15
35
21
7
1
4
20
15
1+3+3+1=8; 23
1
6
10
5
1
3
4
1+2+1=4; 22
1
3
1
1
1
2
1
1+1=2
1
1
8
36
9
1
Triangolo di Tartaglia
Il triangolo: altre proprietà
Se si sommano i numeri in diagonale, nel modo indicato
nella figura, si ottiene la successione di Fibonacci.
Triangolo di Tartaglia
Il triangolo: altre proprietà
Ogni termine del triangolo è uguale alla somma di tutti i
termini che lo precedono, nella colonna alla sua sinistra.
Triangolo di Tartaglia
Il triangolo: altre proprietà
Il triangolo di Tartaglia,
nel quale tutti i numeri
pari sono stati sostituiti
da punti bianchi,
mentre tutti i numeri
dispari sono stati
sostituiti da punti neri.
Triangolo di Tartaglia
Il triangolo: altre proprietà
1
1
Visualizziamo
meglio i
numeri dispari
1
9
36
35
56
126
1
84
1
7
28
56
126
1
6
21
35
70
1
5
15
20
15
84
4
10
10
28
8
1
6
21
7
1
3
4
5
6
1
1
3
1
1
1
2
1
1
1
1
8
36
9
1
Triangolo di Tartaglia
Il triangolo: altre proprietà
Se il Triangolo è
sufficientemente ampio si
riescono ad individuare altre
configurazioni e il computer può
quindi essere molto utile.
In questo modo scopriamo che
il risultato è una sorprendente
serie di triangoli simili.
In questo caso i numeri pari
sono stati sostituiti da punti neri
e i numeri dispari da punti rossi
Triangolo di Tartaglia
Il triangolo: altre proprietà
Il triangolo presenta
una simmetria assiale.
La simmetria nel
colore è perfetta
E’ evidenziata la
proprietà commutativa
dell’ addizione
3
1
4
3
1
4
1+3= 4
3+1= 4
Triangolo di Tartaglia
Il triangolo: altre proprietà
1
Nella seconda
diagonale si
trova la
sequenza dei
numeri naturali
1
9
36
35
56
126
1
84
1
7
28
56
126
1
6
21
35
70
1
5
15
20
15
84
4
10
10
28
8
1
1
6
21
7
1
3
4
5
6
1
1
3
1
1
1
2
1
1
1
1
8
36
9
1
Triangolo di Tartaglia
Il triangolo: altre proprietà
1
1
1
Multipli di
2
1
9
36
10
56
84
126
84
1
7
28
56
126
1
6
21
35
70
1
5
15
35
21
1
4
20
15
28
8
1
1
6
10
5
7
1
3
4
6
1
1
3
1
1
1
2
1
1
8
36
9
1
Triangolo di Tartaglia
Il triangolo: altre proprietà
1
1
Se il primo elemento in
una riga è un numero
primo, tutti i numeri
della riga (escluso 1)
sono divisibili per esso.
6
1
1
9
36
84
35
126
1
84
1
7
28
56
126
1
6
21
35
70
1
5
15
20
56
28
8
4
10
10
15
sono tutti divisibili per 7
1
6
21
7
1
3
4
5
(1- 7- 21- 35- 35 -21- 7- 1)
1
3
1
1
1
2
1
1
1
Per esempio nella riga 7
1
8
36
9
1
Triangolo di Tartaglia
Potenza n-esima di binomio: cerchiamo una regola
(a+b)0 =
(a+b)1 =
(a+b)2 =
(a+b)3 =
(a+b)4 =
(a+b)5 =
(a+b)6 =
1
a+b
a2+2ab+b2
a3+3a2b+3ab2+b3
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
• lo sviluppo di (a+b)n contiene sempre n+1 termini
• i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono
uguali
• in ogni termine dello sviluppo gli esponenti della lettera a decrescono da
an ad a0=1 e gli esponenti della lettera b crescono da b0=1 a bn
• i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto
“Triangolo di Tartaglia”
Triangolo di tartaglia
Potenza n-esima di binomio: cerchiamo una regola
(a+b)0 =
1
(a+b)1 =
1
(a+b)2 =
1
(a+b)3 =
1
(a+b)4 =
1
(a+b)5 =
(a+b)6 =
•
•
1
1
1
1
3
4
5
6
2
15
3
6
10
1
4
10
20
1
5
15
1
6
1
ogni riga inizia e termina con 1
ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti della riga
precedente
Triangolo di tartaglia
Potenza n-esima di binomio: la regola
La potenza n-esima di un binomio è un
polinomio omogeneo di grado n,
ordinato e completo secondo le potenze
decrescenti di a e crescenti di b, i cui
coefficienti si ottengono dal Triangolo
di Tartaglia.
In pratica, si procede nel seguente
modo:
• si scrive la parte letterale di ogni
monomio tenendo conto che è di grado
n e le potenze di a decrescono (da n
fino a 0) e di b crescono (da 0 ad n)
• si calcolano i coefficienti di ogni
monomio con il Triangolo di Tartaglia
(a+b)n= an+nan-1b + … + nabn-1+bn
Triangolo di tartaglia
Potenza n-esima di binomio: esempi
•
(a + b)4 = (a)4 + 4(a)3(+b) + 6(a)2(+b) 2 + 4(a)(+b) 3 + (+b) 4 =
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
•
(a - b)4 = (a) 4 + 4(a) 3(-b) + 6(a) 2(-b) 2 + 4(a)(-b) 3 +( -b) 4 =
= a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4
•
(2a+b)5 =(2a)5+5(2a)4(b)+10(2a)3(b)2+10(2a)2(b)3+5(2a)(b)4+(b)5=
= 32a5+5(16a4)(b)+10(8a3)(b2)+10(4a2)(b3)+5(2a)(b4)+b5
=
= 32a5 + 80a4b + 80a3b2+ 40a2b3 + 10ab4 + b5
•
(3a-2b) 4 = (3a)4+4(3a)3(-2b)+6(3a)2(-2b)2+4(3a)(-2b)3+(-2b)4 =
= 81a4 +4(27a3)(-2b)+6(9a2 )(+4b2)+4(3a)(-8b3)+16b4=
= 81a4 - 216a3b + 216a2b2 - 96ab3 +16b4
Triangolo di Tartaglia
Potenza n-esima di binomio: approfondimenti
Vuoi saperne di più?
Bene!!!!
Clicca sull’immagine
riportata di lato e …..
buona lettura!!!
Triangolo di Tartaglia
Potenza n-esima di binomio: esercizi
Ora esercitati tu!!!
Clicca sulla penna che
preferisci e … buon
divertimento:
Triangolo di Tartaglia
Sei arrivato alla fine della
unità didattica nella quale
hai potuto vedere i
seguenti argomenti:
• Un po’ di storia
• Il triangolo
• Potenza n-esima di
binomio
END
Scomposizione di un polinomio in fattori
Ecco gli argomenti che
affronterai in questa unità
didattica:
• Raccoglimento a fattore
comune
• Raccoglimento a fattore
parziale
• Scomposizione di un
particolare trinomio di
secondo grado
• Teorema del resto e regola
di Ruffini
• Riepilogo dei vari casi
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Scomposizione di un polinomio in fattori
In costruzione
Scomposizione di un polinomio in fattori
Sei arrivato alla fine della unità
didattica nella quale hai potuto
vedere i seguenti argomenti:
• Raccoglimento a fattore
comune
• Raccoglimento a fattore
parziale
• Scomposizione di un
particolare trinomio di
secondo grado
• Teorema del resto e regola
di Ruffini
• Riepilogo dei vari casi
END