1, -1 - Unical

Corso di Teoria dei Giochi
Laurea specialistica in Economia Applicata
Docente: Giovanni D’Orio
E-mail: [email protected]
Giochi dinamici ad informazione completa
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
1
Panoramica dei giochi dinamici ad
informazione completa








Giochi dinamici ad informazione completa
Rappresentazione in forma estensiva (o estesa)
Giochi dinamici ad informazione completa e perfetta
Albero del gioco
Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi
Backward induction (Induzione all’indietro)
Applicazioni
Giochi dinamici ad informazione completa ed
imperfetta
 Altre applicazioni
 Giochi ripetuti
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
2
Gioco dell’entrata sul mercato
 Un monopolista già sul mercato (incumbent) è posto di fronte ad una
possibile entrata sul mercato di un challenger.
 Il challenger può scegliere se entrare (enter) o restare fuori (stay out).
 Se il challenger entra, il monopolista (incumbent) può scegliere se
cooperare (accommodate) o se combatterlo (fight).
 I payoffs del gioco sono conoscenza comune.
Challenger
In
Out
Incumbent
A
2, 1
1, 2
F
0, 0
Il primo numero è il payoff
del challenger. Il secondo
numero
è
il
payoff
dell’incumbent.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
3
Matching pennies a mosse sequenziali
Player 1
 Ognuno dei due giocatori ha
un penny.
 Player 1 sceglie per primo
se giocare Head o Tail.
 Dopo aver osservato la
scelta del giocatore 1, il
giocatore 2 sceglie se
giocare Head o Tail
 Entrambi conoscono le
regole seguenti:


H
T
Player 2
H
Se i due pennies sono -1, 1
uguali allora il
giocatore 2 vince il
penny del giocatore 1.
Negli altri casi vince il
giocatore 1.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
Player 2
T
H
T
1, -1
1, -1
-1, 1
4
Giochi dinamici ad informazione
perfetta (o a mosse sequenziali)
 Un insieme di giocatori
 Chi muove quando e quali scelte sono
disponibili?
 Cosa sanno i giocatori quando muovono?
 I payoff dei giocatori sono determinati dalle
proprie scelte.
 Tutte le scelte possibili sono conoscenza
comune dei due giocatori.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
5
Definizione: rappresentazione in forma
estensiva (o estesa)
 La forma estesa di un gioco specifica:
 I giocatori del gioco
 Quando ogni giocatore deve muovere
 Cosa può fare ogni giocatore quando è il
suo turno
 Cosa conosce ogni giocatore quando è il
suo turno
 il payoff ricevuto da ogni giocatore per
ogni combinazione mosse che potrebbe
essere scelta dai giocatori
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
6
Giochi dinamici ad informazione
completa e perfetta
 Informazione perfetta
 Tutte
le mosse precedenti sono osservabili
prima che venga scelta la prossima mossa.
 Un giocatore sa Chi ha mosso e Cosa ha
fatto prima che esso prenda una decisione
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
7
Albero del gioco
 Un albero di un gioco
ha un insieme di nodi e
un insieme di segmenti
tali che


x0
Un sentiero
da x0 a x4
un nodo
x2
x1
Ogni segmento collega
due nodi (questi due
nodi sono detti
x4
adiacenti)
x5
Per ogni coppia di
nodi, c’è un sentiero
x7
unico che collega Un segmento di
questi due nodi
connessione fra i nodi
x3
x6
x8
x1 e x5
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
8
Albero del gioco
 Un sentiero è una sequenza di Un sentiero
nodi distinti y1, y2, y3, ..., yn-1, yn da x0 a x4
tale che yi e yi+1 sono adiacenti,
per i=1, 2, ..., n-1. Diremo che
questo sentiero va da y1 a yn.
 Possiamo anche utilizzare la
sequenza dei segmenti fra i due
nodi per denotare il sentiero.
x0
x2
x1
 La lunghezza di un sentiero è
caratterizzato dal numero
segmenti in esso contenuti.
dei
x4
 Esempio 1: x0, x2, x3, x7 è un
sentiero di dimensione 3.
 Esempio 2: x4, x1, x0, x2, x6 è un
sentiero di dimensione 4
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
x3
x5
x6
x7
x8
9
Albero del gioco
 C’è
un nodo speciale x0
chiamato la radice dell’albero
che rappresenta l’inizio del
gioco.
 I nodi adiacenti a x0 sono
successori di x0. I successori di
x0 sono x1, x2
 Per ogni due nodi adiacenti, il
nodo che è connesso alla
radice da un sentiero più lungo
è un successore dell’altro
nodo.
 Esempio 3: x7 è un successore
di x3 perché essi sono adiacenti
e il sentiero da x7 a x0 is è più
lungo rispetto al sentiero da x3
a x0
x0
x2
x1
x4
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
x3
x5
x6
x7
x8
10
Albero del gioco
 Se
un nodo x è un
successore del nodo y
allora y è chiamato
predecessore di x.
 In un albero, ogni nodo
diverso dalla radice ha un
predecessore unico.
 Ogni nodo che non ha
successori è chiamato
nodo terminale. Potrebbe
essere la fine del gioco
 Esempio 4: x4, x5, x6, x7,
x8 sono nodi terminali
x0
x2
x1
x4
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
x3
x5
x6
x7
x8
11
Albero del gioco
Player 1
 Ogni nodo diverso dai
nodi
terminali
rappresenta
qualche
giocatore.
Player 2
 Per un nodo diverso da
un terminale, I segmenti
H
che lo collegano con i
successori
rappresentano le azioni -1, 1
disponibili
per
il
giocatore rappresentato
in quel nodo.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
H
T
Player 2
T
H
T
1, -1
1, -1
-1, 1
12
Albero del gioco
Player 1
 Un sentiero dalla radice
ad un nodo terminale
rappresenta
una
sequenza completa di Player 2
mosse che determinano
H
i payoffs al nodo
terminale
-1, 1
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
H
T
Player 2
T
H
T
1, -1
1, -1
-1, 1
13
Strategia
 La strategia di un giocatore è un piano di
azioni completo.
 La strategia (o il piano completo di azioni)
specifica una azione possibile per il giocatore
in qualsiasi contingenza esso potrebbe
essere chiamato in azione.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
14
Gioco dell’entrata nel mercato
 Strategie del Challenger


In
Out
 Strategie dell’Incumbent


Accommodate (se il challenger gioca In)
Fight (se il challenger gioca In)
 Payoffs
 Rappresentazione in forma Normale
Incumbent
Accommodate
Challenger
Fight
In
2 ,
1
0 ,
0
Out
1 ,
2
1 ,
2
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
15
Strategie e payoff
 In un albero, la strategia di un giocatore è
rappresentata da un insieme di segmenti.
 Una combinazione di strategie (insiemi dei
segmenti), una per ogni giocatore, sviluppa
un sentiero dalla radice al nodo terminale, il
quale determina i payoffs di tutti i giocatori.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
16
Matching pennies a mosse sequenziali
 Strategie del giocatore 1
 Head
 Tail
 Strategie del giocatore 2
 H se player 1 gioca H, H se player 1 gioca T
 H se player 1 gioca H, T se player 1 gioca T
 T se player 1 gioca H, H se player 1 gioca T
 T se player 1 gioca H, T se player 1 gioca T
Le strategie del giocatore 2 sono denotate
rispettivamente da HH, HT, TH e TT.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
17
Matching pennies a mosse sequenziali
 I payoffs
 Rappresentazione in forma Normale
Player 2
Player
1
H
HH
-1 , 1
T
1 , -1
HT
-1 , 1
TH
1 , -1
-1 ,
1 , -1
1
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
TT
1 , -1
-1 ,
1
18
Equilibrio di Nash
 L’insieme degli equilibri di Nash in un gioco
dinamico ad informazione completa è
l’insieme degli equilibri di Nash nella sua
forma normale.
 Come trovare l’equilibrio di Nash in un gioco
dinamico ad informazione completa
Costruite la forma normale del gioco dinamico
ad informazione completa
 Trovate l’equilibrio di Nash nella forma
normale.

Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
19
Equilibrio di Nash nel gioco
dell’entrata nel mercato
 Due equilibri di Nash
 ( In, Accommodate )
 ( Out, Fight )
 Ha senso considerare il secondo equilibrio (
Out, Fight )?
 Minacce non credibili
Incumbent
Accommodate
Challenger
Fight
In
2 ,
1
0 ,
0
Out
1 ,
2
1 ,
2
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
20
Rimozione degli equilibri di Nash non
ragionevole
 L’equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi è
una “raffinazione” dell’equilibrio di Nash
 Questo processo di “refinement” può
eliminare equilibri di Nash non ragionevoli
oppure minacce non credibili
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
21
Riassunto
 Giochi dinamici ad informazione completa e
perfetta
 Rappresentazione dei giochi in forma estesa
 Albero del gioco
 Prossimo argomento



Sottogioco
Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi
Backward induction (induzione all’indietro)
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
22
Strategia e payoff
 Una strategia per un
Una strategia per
il giocatore 1: H
Player 1
giocatore è un piano di
H
T
azione completo.
 Specifica una azione
Player 2
Player 2
fattibile
in
ogni
contingenza
nella
H
T
H
T
quale
il
giocatore
potrebbe
essere
-1, 1
1, -1 1, -1
-1, 1
chiamato in azione.
 Specifica cosa fa il
Una strategia per il giocatore 2: H se il giocatore 1
giocatore ad ogni nodo
gioca H, T se il giocatore 2 gioca T (scritta HT)
specifico
Il payoff del giocatore 1 è -1 e il payoff del
giocatore 2 è 1 se il giocatore 1 gioca H e il
giocatore 2 gioca HT
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
23
Gioco dell’entrata nel mercato
 Strategie del Challenger
Challenger
In
In
 Out
 Strategie dell’Incumbent
Incumbent
 Accommodate
A
 Fight
 Payoffs
 Rappresentazione in forma normale 2, 1

Out
F
1, 2
0, 0
Incumbent
Accommodate
Challenger
Fight
In
2 ,
1
0 ,
0
Out
1 ,
2
1 ,
2
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
24
Equilibrio di Nash nel gioco
dell’entrata nel mercato
Challenger
 Due equilibri di Nash
( In, Accommodate )
 ( Out, Fight )

In
Out
Incumbent
 Ha senso il secondo
A
equilibrio?
 Minacce non credibili
2, 1
1, 2
F
0, 0
Incumbent
Accommodate
Challenger
Fight
In
2 ,
1
0 ,
0
Out
1 ,
2
1 ,
2
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
25
Rimozione degli NE non credibili
 SNE (equilibrio di Nash nei sottogiochi) è un
equilibrio di Nash “raffinato”
 Può eliminare NE che non hanno senso o
minacce non credibili
 Dobbiamo però definire prima i sottogiochi
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
26
Sottogioco
Player 1
 Un sottogioco in un gioco ad
albero comincia in un nodo non
terminale e include tutti i nodi e
segmenti che seguono il nodo
non terminale
Player 2
 Un sottogioco che comincia ad
H
un nodo non terminale x può
essere ottenuto come segue:


Rimuovete i segmenti
che collegano x e i suoi
predecessori
La parte connessa che
contiene x è il sottogioco
-1, 1
H
T
Player 2
T
H
T
1, -1
1, -1
-1, 1
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
Un
sottogioco
27
Sottogiochi: esempi
Player 2
2
1
E
Player 1
C
D
Player 1
G
Player 2
E
F
3, 1
H
2, 0
F
1, 2
0, 0
Player 1
G
1, 2
H
3, 1
Player 1
G
0, 0
1, 2
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
3
H
0, 0
28
Equilibrio di Nash perfetto nei
sottogiochi (SNE)
 Un equilibrio di Nash equilibrium of a dynamic
gadi un gioco dinamico è perfetto nei
sottogiochi se le strategie del NE
costituiscono un NE in ogni sottogioco del
gioco stesso.
 SNE è un NE.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
29
Gioco dell’entrata nel mercato
 Due equilibri di Nash
 ( In, Accommodate ) è un SNE.
 ( Out, Fight ) non è un SNE perché non costituisce un
NE nel sottogioco che comincia dall’Incumbent.
Challenger
Incumbent
In
Out
A
1, 2
2, 1
F
Incumbent
A
2, 1
F
0, 0
0, 0
Accommodate è il NE di
questo sottogioco.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
30
Ricerca del SNE: backward induction
 Cominciate (al contrario) dai sottogiochi più piccoli
 Muovete all’indietro fino a raggiungere la radice
Challenger
In
Out
Incumbent
A
2, 1
1, 2
F
Il primo numero è il payoff
del challenger.
0, 0
Il secondo numero è il
payoff dell’incumbent.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
31
Ricerca del SNE: backward
induction
Player 1
C
D
Player 2
E
F
2, 0
Player 1
G
1, 2
H
3, 1
0, 0
 SNE (DG, E)


Il giocatore 1 gioca D, e gioca G se il giocatore 2 gioca E
Il giocatore 2 gioca E se il giocatore 1 gioca C
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
32
Esistenza del SNE
 Ogni gioco dinamico finito ad informazione
perfetta e completa ha un SNE che può
essere ricavato per backward induction.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
33
Contrattazione sequenziale (2.1.D del
Gibbons)
 I giocatori 1 e 2 stanno contrattando su un dollaro. La sequenza






è come segue:
All’inizio del primo periodo, il giocatore 1 propone di prendere
una quota s1 del dollaro, lasciando 1-s1 al giocatore 2.
Il giocatore 2 o accetta l’offerta o la rifiuta (in questo caso il
gioco passa al secondo stadio)
All’inizio del secondo stadio, il giocatore 2 propone al giocatore
1 di prendersi una quota s2 del dollaro, lasciando 1-s2 al
giocatore 2.
Il giocatore 1 o accetta l’offerta o la rifiuta (in questo caso il
gioco passa al terzo stadio)
All’inizio del terzo periodo, il giocatore 1 riceve una quota s del
dollaro, lasciando 1-s al giocatore 2, dove 0<s <1.
I giocatori sono impazienti. Essi scontano i payoff di un tasso di
sconto pari a , dove 0<  <1
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
34
Contrattazione sequenziale (2.1.D del
Gibbons)
Player 1
propone un’offerta ( s1 , 1-s1 )
Periodo 1
Player 2
accetta
s1 , 1-s1
rifiuta
Player 2
Periodo 2
Propone un’offerta ( s2 , 1-s2 )
Player 1
accetta
s2 , 1-s2
rifiuta
Periodo 3
s , 1-s
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
35
Soluzione del gioco di contrattazione con
la backward induction
 Periodo 2:
 Il giocatore 1 accetta s2 se e solo se s2  s.
(assumiamo che l’offerta verrà accettata se si è
indifferenti)
 Il giocatore 2 si trova di fronte a queste due opzioni:
(1) offre s2 = s al giocatore 1, lasciando 1-s2 = 1-s
per se stesso a questo periodo, oppure
(2) offre s2 < s al giocatore 1 (e il giocatore 1 rifiuterà),
e riceve 1-s al prossimo periodo. Il calore scontato di
questa somma è (1-s)
 Dato che (1-s)<1-s, il giocatore 2 dovrebbe proporre
un’offerta
(s2* , 1-s2* ), dove s2* = s. Il giocatore 1 la accetterà.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
36
Contrattazione sequenziale (2.1.D del
Gibbons)
Player 1
propone un offerta ( s1 , 1-s1 )
Periodo 1
Player 2
accetta
rifiuta
Player 2
Periodo 2
s1 , 1-s1
s , 1- s
Propone un’offerta ( s2 , 1-s2 )
Player 1
accetta
s2 , 1-s2
rifiuta
Periodo 3
s , 1-s
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
37
Soluzione del gioco di contrattazione
con la backward induction
 Periodo 1:
 Il giocatore 2 accetta 1-s1 se e solo se 1-s1  (1-s2*)=
(1- s) o s1  1-(1-s2*), dove s2* = s.
 Il giocatore 1 ha due opzioni:
(1) offre 1-s1 = (1-s2*)=(1- s) al giocatore 2,
tenendosi s1 = 1-(1-s2*)=1-+s per se stesso in
questo periodo, oppure
(2) offre 1-s1 < (1-s2*) al giocatore 2 (il giocatore 2
rifiuterà), e riceve s2* = s il prossimo periodo. Il suo
valore scontato sarà però s
 Dato che s < 1-+s, il giocatore 1 dovrà proporre
un’offerta
(s1* , 1-s1* ), dove s1* = 1-+s
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
38
Riassunto
 SNE
 Backward induction
 Prossimo argomento


Il Modello del duopolio di Stackelberg
Salari e occupazione in una impresa
sindacalizzata
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
39
Backward induction: esempio
Player 1
C
Player 2
E
2, 1
D
Player 2
F
3, 0
G
0, 2
H
1, 3
 SNE (C, EH).
 Il giocatore 1 gioca C;
 Il giocatore 2 gioca E se il giocatore 1 gioca C, gioca H
se il giocatore 1 gioca D.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
40
SNE multipli: esempio
Player 1
C
Player 2
F
D
Player 2
G
0, 1
E
1, 0
H
1, 1
Player 2
I
2, 1
J
2, 2
K
1, 3
 SNE (D, FHK).


Il giocatore 1 gioca D
Il giocatore 2 gioca F se il giocatore 1 gioca C, gioca H se il
giocatore 1 gioca D, gioca K se il giocatore 1 gioca E.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
41
SNE multipli: esempio
Player 1
C
Player 2
F
D
Player 2
G
0, 1
E
1, 0
H
1, 1
Player 2
I
2, 1
J
2, 2
K
1, 3
 SNE (E, FHK).


Il giocatore 1 gioca E;
Il giocatore 2 gioca F se il giocatore 1 gioca C, gioca H se il
giocatore 1 gioca D, gioca K se il giocatore 1 gioca E.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
42
SNE multipli: esempio
Player 1
C
Player 2
F
D
Player 2
G
0, 1
E
1, 0
H
1, 1
Player 2
I
2, 1
J
2, 2
K
1, 3
 SNE (D, FIK).


Il giocatore 1 gioca D;
Il giocatore 2 gioca F se il giocatore 1 gioca C, gioca I se il
giocatore 1 gioca D, gioca K se il giocatore 1 gioca E.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
43
Il modello di duopolio alla Stackelberg
 Un prodotto omogeneo è prodotto solo da due
imprese: firm 1 and firm 2. Le quantità sono indicate
rispettivamente come q1 e q2.
 La sequenza di questo gioco è come segue:


Firm 1 sceglie una quantità q1 0.
Firm 2 osserva q1 e quindi sceglie una quantità q2 0.
 Il prezzo di mercato è P(Q)=a –Q, dove a è una
costante e Q=q1+q2.
 Il costo dell’impresa i di produrre la quantità qi è
Ci(qi)=cqi.
 Le funzioni di Payoff sono :
u1(q1, q2)=q1(a–(q1+q2)–c)
u2(q1, q2)=q2(a–(q1+q2)–c)
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
44
Il modello di duopolio alla Stackelberg
 Trovare, per backward induction, il SNE
Prima risolviamo il problema dell’impresa 2
per ogni q1 0 in modo da ottenre la funzione
di risposta ottima dell’impresa 2 a q1 . Vale a
dire, risolviamo tutti i sottogiochi che
cominciano dalla mossa dell’impresa 2.
 Fatto ciò, risolviamo il problema dell’impresa
1. Vale a dire, risolviamo il sottogioco che ha
inizio dalla mossa dell’impresa 1

Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
45
Il modello di duopolio alla Stackelberg
 Risolvere il problema dell’impresa 2 per ogni q1 0 in
modo da ottenere la risposta ottima dell’impresa 2 a
ogni q1.

Max u2(q1, q2)=q2(a–(q1+q2)–c)
s. a 0  q2  +∞
FOC: a – 2q2 – q1 – c = 0


La risposta ottima dell’impresa 2 sarà,
R2(q1) = (a – q1 – c)/2 se q1  a– c
= 0 se q1 > a– c
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
46
Il modello di duopolio alla Stackelberg
 Risolvere il problema dell’impresa 1. Notate che
l’impresa 1 può risolvere anche il problema
dell’impresa 2 (common knowledge). Vale a dire,
l’impresa 1 conosce la risposta ottima dell’impresa 2
a ogni quantità 1 q1. Quindi, il problema dell’impresa
1 sarà:

Max u1(q1, R2(q1))=q1(a–(q1+R2(q1))–c)
s. a 0  q1  +∞
Vale a dire,
Max u1(q1, R2(q1))=q1(a–q1–c)/2
s. a 0  q1  +∞
FOC: (a – 2q1 – c)/2 = 0
q1 = (a – c)/2
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
47
Il modello di duopolio alla Stackelberg
 Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi
 ( (a – c)/2, R2(q1) ), dove
R2(q1) = (a – q1 – c)/2 se q1  a– c
= 0 if q1 > a– c
 Vale a dire, l’impresa 1 sceglie una quantità (a
– c)/2, l’impresa 2 sceglie una quantità R2(q1)
se l’impresa 1 sceglierà una quantità q1.
 Il risultato della backward induction è
( (a – c)/2, (a – c)/4 ).
 L’impresa 1 sceglie una quantità (a – c)/2,
l’impresa 2 sceglie una quantità (a – c)/4.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
48
Il modello di duopolio alla Stackelberg
 L’impresa 1 produrrà
q1=(a – c)/2 e il suo profitto sarà
q1(a–(q1+ q2)–c)=(a–c)2/8
 L’impresa 3 produrrà
q2=(a – c)/4 e il suo profitto sarà
q2(a–(q1+ q2)–c)=(a–c)2/16
 La quantità totale prodotta dalle due imprese
sarà 3(a – c)/4.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
49
Il modello di duopolio alla Cournot
 L’impresa 1 produce
q1=(a – c)/3 e il suo profitto sarà
q1(a–(q1+ q2)–c)=(a–c)2/9
 L’impresa 2 produce
q2=(a – c)/3 e il suo profitto sarà
q2(a–(q1+ q2)–c)=(a–c)2/9
 La quantità totale prodotta dalle due imprese
sarà 2(a – c)/3.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
50
Il monopolio
 Supponiate che ci sia una sola impresa, un
monopolio, che produce il prodotto. Il monopolista,
per decidere la quantità qm, deve risolvere il
seguente problema:
 Max qm (a–qm–c)
s. a 0  qm  +∞
FOC: a – 2qm – c = 0
qm = (a – c)/2
 Il monopolista produce
qm=(a – c)/2 e il suo profitto sarà
qm(a–qm–c)=(a–c)2/4
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
51
Il modello di duopolio alla Bertrand:
mosse successive e prodotti differenziati
 Due imprese: impresa 1 e impresa 2.
 Ogni impresa sceglie il prezzo per il proprio prodotto.
I prezzi sono rispettivamente indicati con p1 e p2.
 La sequenza di questo gioco è come segue:


L’impresa 1 sceglie un prezzo p1 0.
L’impresa 2 osserva p1 e quindi sceglie p2 0.
 La quantità domandata dai consumatori all’impresa 1:
q1(p1, p2) = a – p1 + bp2.
 La quantità domandata dai consumatori all’impresa 2:
q2(p1, p2) = a – p2 + bp1.
 I costi dell’impresa i di produrre la quantità qi sono:
Ci(qi)=cqi.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
52
Il modello di duopolio alla Bertrand:
mosse successive e prodotti differenziati
 Risolvere il problema dell’impresa 2 per ogni
p1 0 per ottenere la funzione di risposta
ottima ad ogni p1.

Max u2(p1, p2)=(a – p2 + bp1 )(p2 – c)
s. a 0  p2  +∞
FOC: a + c – 2p2 + bp1 = 0
p2 = (a + c + bp1)/2
 La

risposta ottima dell’impresa 2 sarà,
R2(p1) = (a + c + bp1)/2
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
53
Il modello di duopolio alla Bertrand:
mosse successive e prodotti differenziati
 Risolvere il problema dell’impresa 1. Notate che
l’impresa 1 può risolvere il problema dell’impresa 2
(common knowledge). L’impresa 1 conosce quindi la
funzione di risposta ottima dell’impresa 2 a p1.
Quindi il problema dell’impresa 1 sarà:

Max u1(p1, R2(p1))=(a – p1 + bR2(p1) )(p1 – c)
s. a 0  p1  +∞
Vale a dire,
Max u1(p1, R2(p1))=(a – p1 + b(a + c + bp1)/2 )(p1 – c)
s. a 0  p1  +∞

F.O.C.: a – p1 + b(a + c + bp1)/2+(–1+b2/2) (p1 – c) = 0
p1 = (a+c+(ab+bc–b2c)/2)/(2–b2)
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
54
Il modello di duopolio alla Bertrand:
mosse successive e prodotti differenziati
 Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi
2
2
 ((a+c+(ab+bc–b c)/2)/(2–b ), R2(p1) ),
dove R2(p1) = (a + c + bp1)/2

L’impresa 1 sceglie un prezzo
(a+c+(ab+bc–b2c)/2)/(2–b2),

L’impresa 2 sceglie un prezzo R2(p1) se
l’impresa 1 sceglie un prezzo p1.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
55
Riassunto
 Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi
 Backward induction
 Modello di duopolio alla Stackelberg
 Modello di duopolio alla Bertrand a mosse
successive e prodotti differenziati
 Prossimo argomento

Giochi dinamici ad informazione completa ma
imperfetta
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
56
Giochi dinamici ad informazione
completa ed imperfetta
 Informazione imperfetta
 Un
giocatore potrebbe non conoscere CHI
ha fatto COSA nel momento in cui si trova
a dover compiere una scelta.
 Esempio: Il giocatore 2 fa la sua scelta
dopo il giocatore 1. Il giocatore 2 ha
bisogno di prendere la propria decisione
senza sapere cosa ha fatto il giocatore 1.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
57
Informazione imperfetta:
esemplificazione
Player 1
 Ognuno dei due giocatori ha un
penny.
 Il giocatore 1 sceglie se giocare
Head o Tail.
 Dopo ciò, il giocatore 2 sceglie
Player 2
se giocare Head o Tail senza
sapere la mossa del giocatore 1
H
 Entrambi conoscono la regola di
attribuzione dei payoffs:
 Se i due pennies sono
-1, 1
uguali allora vince il
giocatore 2.
 Se i due pennies sono
diversi vince il giocatore 1.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
H
T
Player 2
T
H
T
1, -1
1, -1
-1, 1
58
Insieme informativo
 Definizione del Gibbons: Un insieme informativo per
un giocatore è una serie di nodi che soddisfa:


Il giocatore ha la mossa ad ogni nodo dell’insieme
informativo, e
Quando il gioco raggiunge un nodo in un insieme
informativo, il giocatore che deve muovere non sa
quale nodo dell’insieme informativo è stato raggiunto.
 Tutti i nodi di un insieme informativo appartengono
allo stesso giocatore
 Il giocatore deve avere lo stesso insieme di azioni
possibili ad ogni nodo dell’insieme informativo.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
59
Insieme informativo: esemplificazione
Player 1
L
Due insiemi informativi per
player 2 ognuno dei quali
contiene un nodo singolo
R
Player 2
Player 2
L’
R’
3
3
L”
R”
2, 2, 3
L’
1, 2, 0
L”
3, 1, 2
Un insieme informativo di
player 3 contiene tre nodi
R’
3
R”
2, 2, 1
L”
2, 2, 1
3
R”
L”
0, 1, 1 1, 1, 2
R”
1, 1, 1
Un insieme informativo di
player 3 contiene un nodo
singolo
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
60
Insieme informativo: esemplificazione
 Tutti i nodi in un insieme informativo
appartengono allo stesso giocatore
Player 1
D
C
Player 2
E
2, 1, 3
Questo NON è un
insieme informativo
corretto
Player 3
F
G
3, 0, 2
0, 2, 2
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
H
1, 3, 1
61
Insieme informativo: esemplificazione
 Il giocatore deve avere lo stesso insieme di azioni
possibili ad ogni nodo dell’insieme informativo
Player 1
C
D
Un insieme
informativo NON
può contenere
questi due nodi
Player 2
Player 2
E
2, 1
F
3, 0
G
0, 2
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
K
1, 1
H
1, 3
62
Rappresentazione di un gioco statico
ad albero: esemplificazione
 Il dilemma del prigioniero
Prigioniero 2
Nega
Conf
Prigioniero 1
N
-1, -1
Prigioniero 1
C
0, -9
N
-9, 0
C
-6, -6
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
63
Esempio: distruzione mutualmente
assicurata
 Fra le due superpotenze, 1 e 2, c’è stato un incidente
diplomatico. La sequenza è come segue:
 Il gioco comincia con la scelta della superpotenza 1 che può
ignorare l’incidente ( I ), ottenendo i payoffs (0, 0), o esasperare
la situazione ( E ).
 Se la superpotenza 1 esaspera, La superpotenza 2 può
ritrattare ( B ), perdendo la faccia e ottenendo quindi un payoff
negativo (1, -1), o può scegliere una risposta con attacco
atomico ( A ). Su questa scelta, le due superpotenze giocano il
seguente gioco a mosse simultanee.
 Possono entrambe Ritrattare ( R ) o scegliere l’Attacco ( D ) nel
qual caso il mondo è distrutto. Se entrambe scelgono di
ritrattare entrambe hanno una piccola perdita e il payoff sarà (0.5, -0.5). Se entrambe scelgono l’attacco atomico il payoff sarà
(-K, -K), dove K è un numero molto grande.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
64
Esempio: distruzione reciproca
1
I
E
2
0, 0
A
B
1
1, -1
R
D
2
R
-0.5, -0.5
2
D
-K, -K
R
-K, -K
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
D
-K, -K
65
Informazione perfetta e informazione
imperfetta
 Un gioco dinamico nel quale ogni insieme
informativo contiene esattamente un nodo è
chiamato gioco ad informazione perfetta.
 Un gioco dinamico nel quale alcuni insiemi
informativi contengono più di un nodo è
chiamato gioco ad informazione imperfetta.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
66
Strategia e payoff
 Una
strategia è un
piano
completo
di
azione.
 Specifica una possibile
azione
per
un
giocatore in qualsiasi
contingenza
nella
quale
esso
sia
chiamato in causa.
 Specifica cosa fa il
giocatore ad ogni suo
insieme informativo
La strategia per
player 1: H
Player 1
H
T
Player 2
Player 2
H
T
H
T
-1, 1
1, -1
1, -1
-1, 1
Una strategia per player 2: T
Il payoff del giocatore 1 è 1 e il payoff del giocatore 2 è
-1 se il giocatore 1 gioca H e il giocatore 2 gioca T
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
67
Strategia e payoff: esemplificazione
1
I
Una strategia per il giocatore 1:
E, e R se il giocatore 2 gioca A,
scritta come ER
E
2
0, 0
A
B
1
1, -1
R
Una strategia per il
giocatore 2:
A, R, se il giocatore 1
gioca E, scritta come AR
D
2
R
-0.5, -0.5
2
D
-K, -K
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
R
-K, -K
D
-K, -K
68
Il NE in un gioco dinamico
 Possiamo usare anche la forma normale per
rappresentare un gioco dinamico
 L’insieme degli NE in un gioco dinamico ad
informazione completa è l’insieme degli
Nenella sua forma normale
 Come trovare l’NE in un gioco dinamico ad
informazione completa
Costruite la forma normale del gioco dinamico
ad informazione completa
 Trovate l’NE nella forma normale

Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
69
Rimuovere gli NE non ragionevoli
 SNE è un NE raffinato
 Puo eliminare NE non ragionevoli o minacce
non credibili
 Ma prima dobbiamo definire i sottogiochi
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
70
Sottogioco
 Un sottogioco in un albero di gioco dinamico
 Comincia ad un insieme informativo singletone (che
contiene un nodo singolo), e
 Include tutti i nodi e segmenti che seguono il
singleton, e
 NON spezza nessun insieme informativo; vale a
dire, se un nodo di un insieme informativo
appartiene a questo sottogioco allora tutti i nodi
dell’insieme informativo devono anche appartenere
al sottogioco.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
71
Sottogioco: esemplificazione
1
I
un sottogioco
E
2
0, 0
un sottogioco
A
B
1
1, -1
R
D
2
R
-0.5, -0.5
NON è un sottogioco
2
D
-K, -K
R
-K, -K
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
D
-K, -K
72
Equilibrio di Nash perfetto nei
sottogiochi
 L’NE di un gioco dinamico è perfetto nei
sottogiochi se le strategie del NE
costituiscono o inducono un NE in ogni
sottogioco del gioco.
 SNE è un NE.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
73
Ricerca del SNE: backward induction
1
I
un sottogioco
E
2
0, 0
Iniziate con i sottogiochi
più piccoli
Muovete all’indietro fino
a raggiungere la radice
Un SNE
( IR, AR )
Un sottogioco
A
B
1
1, -1
R
D
2
R
-0.5, -0.5
2
D
-K, -K
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
R
-K, -K
D
-K, -K
74
Ricerca del SNE: backward induction
1
I
Un sottogioco
E
2
0, 0
Iniziate con i sottogiochi
più piccoli
Muovete all’indietro fino
a raggiungere la radice
Un sottogioco
A
B
1
1, -1
R
D
2
Un altro SNE
( ED, BD )
R
-0.5, -0.5
2
D
-K, -K
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
R
-K, -K
D
-K, -K
75
Investimento Bancario
 Due investitori, 1 e 2, hanno ognuno un deposito di D
con una banca.
 La banca ha investito questi depositi in un progetto a
lungo termine. Se la banca liquida gli investimenti
prima che il progetto maturi, si ottiene un totale di 2r,
dove D > r > D/2.
 Se l’investimento bancario invece matura, il progetto
pagherà un capitale pari a 2R, dove R>D.
 Ci sono due date soltanto nelle quali gli investitori
possono prelevare i soldi investiti nella banca.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
76
Investimenti bancari: sequenza del
gioco
 La sequenza del gioco è come segue
 Data 1 (prima che l’investimento bancario maturi)




I due investitori giocano un gioco a mosse simultanee
Se entrambi prelevano alloro ognuno riceve r e il gioco finisce
Se solo uno fa un prelievo allora lui riceve D, l’altro riceve 2r-D, e il
gioco finisce
Se nessuno fa un prelevamento allora il progetto matura il
rendimento e il gioco continua alla Data 2.
 Data 2 (dopo che l’investimento ha maturato rendimenti)




Due investitori giocano un gioco a mosse simultanee
Se entrambi fanno prelevamenti allora ognuno riceve R e il gioco
finisce
Se solo uno preleva allora lui riceve 2R-D, l’altro riceve D, e il gioco
finisce
Se nessuno preleva allora la banca restituisce R a ogni investitore
e il gioco finisce.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
77
Investimenti bancari: l’albero
1
W
W: preleva
NW: non preleva
NW
2
W
r,
r
2
NW
D, 2r–D
Data 1
W
NW
1
2r–D, D
Data 2
NW
W
Un sottogioco
2
W
Un SNE
( NW W, NW W )
R,
R
2
NW
2R–D, D
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
W
D, 2R–D
NW
R,
R
78
Investimenti bancari: l’albero
1
W
W: preleva
NW: non preleva
NW
2
W
r,
r
2
NW
D, 2r–D
Data 1
W
NW
1
2r–D, D
Data 2
NW
W
Un sottogioco
2
W
Un altro SNE
( W W, W W )
R,
R
2
NW
2R–D, D
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
W
D, 2R–D
NW
R,
R
79
Dazi e concorrenza internazionale
imperfetta
 Due nazioni identiche, 1 e 2, scelgono simultaneamente i propri






dazi, denotati rispettivamente da t1, t2.
L’impresa 1 della nazione 1 e l’impresa 2 dalla nazione 2
producono un prodotto omogeneo sia per il consumo interno sia
per esportarlo.
Dopo aver osservato i dazi scelti dalle due nazioni, l’impresa 1 e
l’impresa w scelgono simultaneamente le quantità da destinare
al consumo interno e all’esportazione, indicate rispettivamente
con (h1, e1) e (h2, e2).
I prezzi di mercato nelle due nazioni sono Pi(Qi)=a–Qi, for i=1, 2.
Q1=h1+e2, Q2=h2+e1.
Entrambe le imprese hanno costi marginali costanti c.
Ogni impresa paga i dazi sulle esportazioni all’altra nazione.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
80
Dazi e concorrenza internazionale
imperfetta
Il payoff dell’impresa 1 e il suo profitto:
 1 (t1 , t 2 , h1 , e1 , h2 , e2 )  [a  (h1  e2 )]h1  [a  (e1  h2 )]e1  c(h1  e1 )  t 2 e1
Il payoff dell’impresa 2 e il suo profitto:
 2 (t1 , t 2 , h1 , e1 , h2 , e2 )  [a  (h2  e1 )]h2  [a  (e2  h1 )]e2  c(h2  e2 )  t1e2
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
81
Dazi e concorrenza internazionale
imperfetta
Il payoff della nazione 1 è il suo benessere totale: somma dei surplus
dei consumatori della nazione 1, il profitto dell’impresa 1 e il ricavo
ottenuto dai dazi.
1
W1 (t1 , t 2 , h1 , e1 , h2 , e2 )  Q12   1 (t1 , t 2 , h1 , e1 , h2 , e2 )  t1e2
2
dove Q1  h1  e2 .
Il payoff della nazione 2 è il suo benessere totale: somma dei surplus
dei consumatori della nazione 2, il profitto dell’impresa 2 e il ricavo
ottenuto dai dazi.
1
W2 (t1 , t 2 , h1 , e1 , h2 , e2 )  Q22   2 (t1 , t 2 , h1 , e1 , h2 , e2 )  t 2 e1
2
dove Q2  h2  e1.
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
82
Backward induction:
sottogioco tra le due imprese
Troviamo l’equilibrio di Nash del sottogioco fra le due imprese per
ogni coppia di dazi (t1 , t 2 ) .
L’impresa 1 massimizza
 1 (t1 , t 2 , h1 , e1 , h2 , e2 )  [a  (h1  e2 )]h1  [a  (e1  h2 )]e1  c(h1  e1 )  t 2 e1
FOC:
1
a  2h1  e2  c  0  h1  (a  e2  c)
2
1
a  2e1  h2  c  t 2  0  e1  (a  h2  c  t 2 )
2
L’impresa 2 massimizza
 2 (t1 , t 2 , h1 , e1 , h2 , e2 )  [a  (h2  e1 )]h2  [a  (e2  h1 )]e2  c(h2  e2 )  t1e2
FOC:
1
a  2h2  e1  c  0  h2  (a  e1  c)
2
1
a  2e2  h1  c  t1  0  e2  (a  h1  c  t1 )
2
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
83
Backward induction:
sottogioco tra le due imprese
Troviamo l’equilibrio di Nash del sottogioco fra le due imprese per
ogni coppia di dazi (t1 , t 2 ) .
Dato (t1 , t 2 ) , un equilibrio di Nash ( (h1* , e1* ), (h2* , e2* ) ) del sottogioco
deve soddisfare queste equazioni.
1
h1  (a  e2  c)
2
1
e1  (a  h2  c  t 2 )
2
1
h2  (a  e1  c)
2
1
e2  (a  h1  c  t1 )
2
Risolvere queste equazioni ci porta alle soluzioni
1
h1*  (a  c  t1 )
3
1
h2*  (a  c  t 2 )
3
1
e1*  (a  c  2t 2 )
3
1
e2*  (a  c  2t1 )
3
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
84
Backward induction: l’intero gioco
Entrambi le nazioni possono calcolarsi a priori la risposta ottima delle due imprese
a (t1 , t 2 )
L’impresa 1 massimizza ( Q1  h1  e2 )
1
W1 (t1 , t 2 , h1 , e1 , h2 , e2 )  Q12   1 (t1 , t 2 , h1 , e1 , h2 , e2 )  t1e2
2
Sostituendo quanto precedentemente ottenuto nella funzione obiettivo della
nazione 1 otteniamo:
1
1
2
1
1
2
1
(2(a  c)  t1 ) 2  (a  (a  c)  t1 )  (a  c  t1 )  (a  (a  c)  t 2 )  (a  c  2t 2 )
3
3
3
3
3
3
18
1
1
1
2
 c( (a  c)  (t1  2t 2 ))  t 2  (a  c  2t 2 )  t1  (a  c  2t1 )
3
3
3
3
FOC:
1
t1  (a  c)
3
1
Per simmetria, otteniamo anche
t 2  (a  c)
3
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
85
Dazi e concorrenza internazionale
imperfetta
L’equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi


1
1
 t1*  ( a  c), t 2*  (a  c),
3
3


1


 h1  (a  c  t1 ) 
3

,
1
 e  (a  c  2t ) 
2
 1 3

1


 h2  (a  c  t 2 )  
3


1
 e  (a  c  2t )  
1
 2 3

Il risultato finale perfetto nei sottogiochi


1
1
 t1*  (a  c), t 2*  (a  c),
3
3


 * 4

 h1  (a  c) 
9

,
1
*
 e  (a  c) 
1


9
 * 4

 h2  (a  c)  
9


1
 e*  (a  c)  
2


9
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
86
Generalizzazione del gioco dei dazi
 Quattro giocatori: 1, 2, 3, 4. La sequenza del gioco è




come segue:
Stadio 1:
I giocatori 1 e 2 scelgono simultaneamente le azioni
a1 e a2 dall’insieme delle azioni rispettivamente
possibili A1 e A2.
Stadio 2:
Dopo aver osservato il risultato (a1, a2) del primo
stadio, I giocatori 3 e 4 scelgono simultaneamente le
azioni a3 e a4 dall’insieme delle azioni rispettivamente
possibili A3 e A4.
Il gioco finisce.
I payoff sono ui(a1, a2, a3, a4), per i=1, 2, 3, 4
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
87
Albero informale del gioco
Gioc. 1
Insieme delle azioni del gioc. 1 A1
a1
Stadio 1
Gioc. 2
a2
Insieme delle azioni del gioc. 2 A2
Gioc. 3
a3
Insieme delle azioni del gioc. 3 A3
Stadio 2
Gioc. 4
Insieme delle azioni del gioc. 4 A4
a4
ui (a1 , a2 , a3 , a4 ), per i  1, 2, 3, 4
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
Uno dei sottogiochi
più piccoli a seguito
di (a1, a2)
88
Backward induction: risolvete il
sottogioco più piccolo
Il sottogioco più piccolo che segue ogni coppia di (a1, a2) è un gioco a
mosse simultanee giocato dai giocatori 3 e 4 con la seguente
rappresentazione in forma normale:
 Un insieme di giocatori: {gioc. 3, gioc. 4}
 Insiemi di azioni: A3, A4
u3 (a1 , a2 , a3 , a4 )
 Payoffs:
u 4 (a1 , a2 , a3 , a4 )
Notate che a1, a2 possono essere considerate costanti quando
risolviamo questo gioco simultaneo fra il giocatore 3 e 4.
Dopo aver fatto ciò, otterremo un NE (a3* , a4* ) . Ciò è funzione di a1 e
a2, e possiamo scrivere quindi
a3*  R3 (a1 , a2 ), a4*  R4 (a1 , a2 )
Queste individuate sono le funzioni di risposta ottima ad (a1, a2).
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
89
Backward induction: ritornate alla
radice
Gioc. 1
Insieme delle azioni del gioc. 1 A1
a1
Stadio 1
Gioc. 2
Insieme delle azioni del gioc. 2 A2
a2
u1 (a1 , a2 , R3 (a1 , a2 ), R4 (a1 , a2 ))
u 2 (a1 , a2 , R3 (a1 , a2 ), R4 (a1 , a2 ))
Stadio 2
 Sostituite i sottogiochi più piccoli con i payoffs dei giocatori 1 e 2.
 I giocatori 1 e 2 sanno che se giocheranno rispettivamente a1 e a2, ,
allora i giocatori 3 e 4 giocheranno a3*  R3 (a1 , a2 ), a4*  R4 (a1 , a2 ) .
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
90
Backward induction: ritornate alla
radice
Adesso I giocatori 1 e 2 giocano un gioco a mosse simultaneecon la
seguente rappresentazione in forma normale:
 Un insieme di giocatori: {gioc. 1, gioc. 2}
 Insiemi di azioni: A1, A2
u1 (a1 , a2 , R3 (a1 , a2 ), R4 (a1 , a2 ))
 Payoffs:
u 2 (a1 , a2 , R3 (a1 , a2 ), R4 (a1 , a2 ))
Dopo aver risolto ciò, otteniamo un NE (a1* , a2* ) .
L’SNE dell’intero gioco sarà
(a1* , a2* , R3 (a1 , a2 ), R4 (a1 , a2 ))
Il risultato attuale del gioco sarà (a1* , a2* , R3 (a1* , a2* ), R4 (a1* , a2* )) .
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
91
Riassunto
 Giochi dinamici ad informazione completa ed
imperfetta
 Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi
 Backward induction
 Prossimo argomento

Giochi ripetuti
Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte
92