LEZIONI_4_5 - Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Principi fisici di conversione
avanzata (Energetica L.S.)
G.Mazzitelli
ENEA
Quarta/Quinta Lezione
1
Terza/Quarta Lezione
• Le reazioni nucleari
• La fusione
-Reazioni di Fusione
-Bilancio Energetico
-Plasma
-Moto delle particelle cariche in presenza di campi E e/o B
-Il Tokamak
-Principio di funzionamento
-Equilibrio
-Riscaldamento
-Stabilità
2
Reazioni Nucleari
In un tipico esperimento di laboratorio abbiamo:
x+X
y+Y
dove x è la particella incidente su un target di nuclei X e y e Y
sono i prodotti della reazione rispettivamente un nucleo Y e una
particella y
Esempio:
2
1
H 1  2963Cu34  n 3064Zn34
3
Reazioni Nucleari
• Come in una reazione chimica,
in una reazione nucleare il
numero di protoni e di nucleoni
deve essere conservato
• La reazione deve conservare
l’energia, l’impulso e il
momento angolare
Calcoliamo il Q della
reazione
4
Reazioni Nucleari
Assumiamo che X si fermo e che le energie cinetiche
delle particelle siano molto inferiori alla loro energia
a riposo (cinematica non relativistica)
Energia iniziale = Energia finale
m  x c 2  Tx  m  X c 2  m  y c 2  T y  m Y c 2  TY
ovverosia :
m(x)  m( X )  m( y)  m(Y )c
2
 Q  T y  TY  Tx
dove m indica le masse atomiche (Z si conserva!!)
5
Reazioni Nucleari
•
Possiamo avere due casi:
Q>0
Q<0
energia nucleare è convertita in energia
cinetica - reazione esotermica
l’energia cinetica della particella incidente è
convertita in energia di legame
reazione endotermica
6
Reazioni Nucleari
Esercizio:
In una reazione endotermica l’energia cinetica
della particella incidente deve essere sufficiente
anche per l’energia a riposo in più dei prodotti
di reazione. Ciò significa che il processo
avviene al di sopra di una certa energia minima
o soglia. Trovare la formula per l’energia di
soglia (trattare il problema nel sistema di
riferimento del centro di massa)
7
Reazione di fusione
La reazione nucleare consiste nella fusione
di due nuclei leggeri che producono un
nucleo più pesante di massa inferiore alla
somma delle masse iniziali. La reazione
determina un rilascio di energia sotto forma
di energia cinetica dei prodotti di reazione.
DE = mc
2
8
Reazione di fusione
• La più promettente reazione di fusione è:
2 + T3
D
1
1
4 + n1
He
0
2
3.5 MeV + 14.1 MeV = 17.6 MeV
9
Reazione di fusione
Calcoliamo il bilancio delle masse:
D = (2 - 0.000994) mp T = (3 - 0.006284) mp
a = (4 - 0.027404) mp
n = (1+0.001378) mp
Dm = 0.01875 mp
E =Dmc2=2.818x10-12joules = 17.59 MeV
10
Reazione di fusione
La sezione d’urto a basse energie è
piccola a causa della repulsione
coulombiana
che impedisce
ai nuclei di
avvicinarsi
rm=raggio del
nucleo
11
Reazione di fusione
L’effetto tunnel della meccanica quantistica
fa si che il picco della sezione d’urto per la
reazione D-T avviene ad energie minori di
quelle richieste per superare la barriera
coulumbiana. Il picco si ha per energie dei
nuclei intorno ai 100 KeV. Assumendo che
le
nostre
particelle
abbiano
una
distribuzione di velocità maxwelliana il
numero di medio reazioni di fusione per
12
unità di tempo e di volume è:
Reazione di fusione
8

R    nd nt  
 
T 
1/ 2
3/ 2
  
1
 d
   exp  
2

md
m
T
d



R  nd nt v
13
Bilancio Energetico
E’ possibile a “priori” determinare a quali
condizioni un plasma termonucleare può produrre
energia per mezzo delle reazioni di fusione ?
Calcoliamo :
Energia prodotta da reazioni nucleari D-T
P  nD nT <  v > Ea
W/m3
14
Bilancio Energetico
Energia persa
(3 / 2)nk( Ti  Te )
Pl 
tE
W/m 3
tE  tempo di confinamento dell’energia
Assumendo Ti = Te n D=nT  n 2
Uguagliando energia persa e energia prodotta si ha:
3nkT
n
< v > Wn 
4
tE
12kT
n tE 
< v > Ea
15
Bilancio Energetico
Ma tra 10 – 20 keV il rate della reazione dentro un 10% è
< v> 1.1x1024T 2 m 3s-1 , T in keV
così che usando Ea  3.5 MeV
la condizione per l' ignizione diventa :
nTtE > 3x10 21 m 3keVs
n = densità =1020m-3
T = temperatura=10keV
tE= tempo di confinamento dell’energia=3s
16
Bilancio Energetico
Con questi valori del triplo prodotto n,T e tE
la reazione si autostiene. Ovverosia l’energia
cinetica delle particelle a riscalda il plasma
senza apporto dall’esterno
Quando si raggiunge questa condizione si ha
I’ignizione.
17
Il Plasma
• Il plasma (quarto stato della materia) è un
gas ionizzato
• In un plasma gli atomi sono dissociati nei
loro costituenti ioni ed elettroni.
• Un plasma, come un gas, può essere descritto
in termini di densità e temperatura delle
particelle.
18
19
14
Il Plasma
Un plasma ha due caratteristiche proprie:
– Complessivamente è quasi-neutro;ovverosia le
cariche di un certo segno non sono mai in eccesso
rispetto a quelle di segno contrario.
– Campi elettrici e magnetici cambiano sensibilmente le
proprietà fisiche del plasma.
20
Il Plasma
Quasi-neutralità
Questa condizione è ciò che caratterizza un plasma e
permette di definirlo “quantitativamente ” tramite il
raggio di Debye:
l D >>cost Te
n
Affinchè un plasma possa essere considerato come un gas di
particelle cariche,macroscopicamente neutro, è necessario
che la sua dimensione tipica L sia molto più grande di lD
21
Il Plasma
Come in un gas in equilibrio termodinamico, la distribuzione
delle velocità delle ioni ed elettroni in un plasma è Maxwelliana:
1


f ( u )  A exp 
mu 2 / KT e
 2

dove A è una costante, ½ mu2 è l’energia cinetica, K è la
costante di Boltzmann (K=1.38x10-16 erg/ºK),
f(u)du rappresenta il numero di particelle per cm3che hanno
velocità compresa tra u e u+du

la densità, o il numero di particelle per cm3 sarà:
n f (u ) du

22
Il Plasma
Supponiamo di perturbare lo stato di equilibrio del plasma
con un campo elettrico generato da una particella test di
carica positiva +q posizionata nell’origine.
Calcoliamo il potenziale elettrostatico f(r).
La funzione di distribuzione adesso deve tener conto
della nostra particella test e diviene:
 1


f u  A exp   mu 2  qf r  / KT 

 2

La densità sarà:
N i ,e r   N 0 e  ef r  / KT
i,e ioni ed elettroni
23
Il Plasma
Se assumiamo che la perturbazione al potenziale
elettrostatico è debole,cioè:
qf (r)/KT <<1
Allora possiamo riscrivere l’eq. per la densità
N i ,e r   N 0 1  ef r  / KT 
e per la densità di carica r
r r    N 0 1  ef r  / KT   N 0 1  ef r  / KT 
r r   2 N 0 e 2f r  / KT
24
Il Plasma
Se consideriamo la prima eq. di Maxwell e la
relazione tra il campo elettrico e il potenziale
scalare
divE  r /  0
E r   f r 
Otteniamo l’equazione di Poisson:
 f r    r r  /  0
2
25
Il Plasma
Assumendo simmetria sferica abbiamo:
1 / r d / dr r d / dr f r   2f r  / l
2
2
dove
lD   KT / N0e2
risolvendo otteniamo :
 e 
exp(  2r / lD )
f( r )  
2
 4rl D 
26
2
D
Il Plasma
Pertanto il potenziale decade esponenzialmente
e l’effetto della particella test è neutralizzato su
una distanza pari alla lunghezza di Debye che in
una utile forma diventa:
lD=2.35x105(T/n)1/2 m, T in eV
In un tokamak
0.01<lD<0.1 mm
27
Il Plasma
• Se applichiamo una piccola differenza di potenziale nel plasma
scorre corrente.
• Se applichiamo un campo magnetico il moto delle ioni ed
elettroni non è più random
28
Moto delle particelle
L’equazione del moto di una particella di massa mJ
e carica eJ in presenza di un campo magnetico è:
dv
mJ
=eJ v x B
dt
Se B è uniforme e diretto lungo l’asse z abbiamo:
dvx
dt
= wcjvy
dvy
dt
= wcjvx
dvz
0
dt
29
Moto delle particelle
dove
w
cj

e jB
m
j
è la frequenza ciclotronica .
Se separiamo vx e vynell’eq. precedente si ha:
2
d vx
2


w
v
cj x
2
dt
2
d vy
dt
2
 w cj2 v y
la cui soluzione è :
v x  v  sin w cj t
v y  v  cos w cj t
30
Moto delle particelle
ma
v x =dx / dt e v y  dy / dt
per
cui
int egrando ancora abbiamo :
x  rLj cos wcjt
y  rLjsen wcj t
dove
rLj 
v
wcj

m jv 
e jB
è il raggio di Larmor
31
Moto delle particelle
Pertanto le particelle descrivono delle eliche
nella direzione del campo magnetico. La
direzione delle rotazione è tale che il campo
magnetico generato è tale da opporsi al
campo esterno.
Il plasma è diamagnetico
32
Moto delle particelle
Se adesso consideriamo la presenza di un campo elettrico
l’equazione del moto diviene:
r
m
dv
dt
r
r
r
 q( E  v x B )
r
r
nel caso più semplice che E // B
d
dt
m v //  =ejE //
j
la particella è accelerata
33
Moto delle particelle
Ma cosa succede se il campo magnetico ha un gradiente parallelo a B
34
Moto delle particelle
• Assumiamo che le variazione del campo B
siano molto piccole su una distanza dell’ordine
del raggio di Larmor rL e che il campo sia
assisimmetrico ovverosia la componente in q
sia nulla.
• Partiamo dall’eq .di Maxwell :
·B  0
35
Moto delle particelle
• In coordinate cilindriche
1∂
1 ∂B q ∂Bz
rBr  

0
 ·B =
r∂ r
r ∂q ∂z
1 ∂Bq
ma Bq  0 e
 0 per cui
r ∂q
1 ∂
∂Bz
rBr   
∂z
r ∂r
36
Moto delle particelle
Integrando nell’intervallo di un rL abbiamo:
rL

0
∂
∂r
rL

rBr  dr   r
∂Bz
∂z
dr
0
∂Bz
se
var ia poco nell' int ervallo
∂z
0 < r < rL , lo consideriamo cos tan te
Bz
 rBr   
z
0
rL

rL

0
rdr
37
Moto delle particelle
Pertanto:
Br  ( rL / 2 ) ∂ B/ ∂ z
Se Bz varia poco lo sostituiamo con B
Calcoliamo la componente z della forza
v rL ∂ B
Fz  q v B  v qBr   q
2 ∂z
v m
ma rL 
qB
38
Moto delle particelle
Per cui si ha:
1 mv 2 ∂B
Fz  
2 B ∂z
se definiamo il momento magnetico
della particella ruo tan te come
allora
1 mv 2

2 B
∂B
Fz  
∂z
:
39
Moto delle particelle
 è molto importante perche è un invariante
adiabatico cioè come la particella si
muove in zone di campo più forte o più
debole cambia il suo raggio di Larmor ma
 rimane invariato.
Dimostriamolo!
40
Moto delle particelle
Moltiplich iamo la forza per v z
dv z
d 1
B dz
2 
v z Fz  v z m

 mv z    
dt
dt  2
z dt

per cui


d
dt
1
dB
2
mv z   
2
dt
L' energia della particella si conserva
d
dt
1
1
2
2 
 mv z  mv    0
2
2


dB d
B   0

dt dt
cos ì che
d
0
dt
41
c . d.v.
Moto delle particelle
Ma torniamo all’espressione della forza:
1 mv2 ∂B
Fz = 
2 B ∂z
notiamo che:
• Non dipende dalla carica elettrica
• Respinge le particelle verso le zone di campo B
più debole
42
Moto delle particelle
Sulla scala di rL le particelle girano
rapidamente intorno al centro di guida ma in
presenza di:
1 E B
2 BB
3 Curvatura di
B
4 E(t)
Il centro di guida si sposta (drift)
43
perpendicolarmente
Moto delle particelle
Drift elettrico
r r
r ExB
vd  2
B
ioni
E
B
elettroni
44
Moto delle particelle
r
vd
Drift dovuto ad
un gradiente
=
r
r
1 Bx  B
rLj
vV
2
2
B
ioni
B
B
45
elettroni
Moto delle particelle
Drift dovuto alla
curvatura del campo
1 2 r
r
v

v
//
r
 B x B
2
vd =
B2
wcj
2
46
Moto delle particelle
Drift di polarizzazione
r
r
1 dE
vd 
wcj B dt
E
B
47
Confinamento magnetico
• Abbiamo visto che in presenza di un gradiente di campo
parallelo a B si ha:
B
Fz  
z
con
1 mv 2

2 B
48
Confinamento magnetico
• Per ovviare alle
perdite longitudinali,
l’idea più ovvia e
quella di richiudere il
cilindro su stesso a
formare un toro.
1
Bt 
R
49
Confinamento magnetico
Solo un campo magnetico toroidale non confina le
particelle.
E’ necessario sovrapporre un campo magnetico
poloidale. La configurazione magnetica risultante sono
delle superfici chiuse l’una dentro l’altra e le particelle
si avvolgono su di esse.
50
Confinamento magnetico
• Si indica con q il rapporto tra il numero di giri in
direzione toroidale m e il numero di giri in
direzione polidale n
• q è chiamato fattore di sicurezza. Più è alto e
maggiore è la stabilità del plasma .
• Calcoliamolo:
D
q
2
51
Confinamento magnetico
L' eq. delle linee di campo sono :
Rd  Bt

ds
Bp
1
q
2

ds
1 Bt
2 r Bt
r Bt
ds 

R Bp
2 R 0 B p R 0 B p
nell' approssima zione a/R << 1
52
 cost
Calcolo della linea di forza
Spostament o infinitesimo
r
ds  (dr,rdq,Rd  )


r
con Rd   R0  1 
cos q d
R0


Assunzioni: le linee di forzagiaccione sulle
superficir  cost (superficimagnetiche )
e la condizione è Bxdl  0
53
Confinamento magnetico
Due particelle che partono
da punti con lo stesso
angolo θ dopo un giro
toroidale hanno un θ
diverso.
2
2’
1
1’
In altri termini il campo
magnetico e dotato di
“shear”
54
Confinamento Magnetico
• Abbiamo visto che è possibile confinare
le particelle medianti opportuni campi
magnetici.
• Ma è impossibile, studiare le proprietà del
plasma, seguendo il moto delle singole
particelle. Come per un gas, dobbiamo
avere una descrizione statistica.
55
Confinamento Magnetico
• Senza addentrarci nei dettagli matematici, l’eq. Cinetica Collisionale
per un plasma è quella di Fokker-Planck


e j r r r f
f
f
 f 

v .

E  vxB
 
t
x m j
v   t c
•Per molte applicazioni possiamo trattare il plasma
come un fluido che ha una densità di particelle n(x,t),
una velocità v(x,t) e una pressione p(x,t)funzioni di sole
56
quattro variabili
Confinamento Magnetico
• Le eq. che descrivono n,v e P sono ottenute prendendo i momenti di
ordine =0,1 e 2 dell’eq.di Fokker-Planck(FP)
Cioè :
n

f ( x ,v , t )dv 
se integriamo l' eq di FP nello spazio delle velocità
r r r f
ej
f
f
 f




dv  v . dv 
E  vxB .
dv  
t
x
mj
v 
 t





otteniamo l' eq. di continuità
n
   nv   0
t
Analogamen te per v e p
57

 dv 
c


f
f e j r r r f  f 
 v . 
E  v xB
 
t
x m j
v   t  c
e j r f
f
f
 f 
 t dv   v. x dv  m j  F v dv    t c dv
ej   r


 r   f 
f dv    v fdv    
f Fdv    f
Fdv      dv 

t
x
m j  v 
v 
  t  c
 f 
  t c dv  0 le collisioni non cambiano il numero di particelle
 r 
  r
  v  f Fdv    f v  Fdv   0 per le forze e.m.


n
   nv   0
t
c.v.d.
58
Confinamento Magnetico
• MHD cioè Magnetoidrodinamica è il nome dato
alla descrizione fluida del plasma. In questo
modello non si distinguono ioni ed elettroni.
• Le eq. che descrivono il plasma nel modello mhd
ideali sono quelle ricavate dalla eq. Cinetica
collisionale
più
le
eq.
di
Maxwell
dell’elettromagnetismo cioè:
59
Confinamento Magnetico
(1)
( 2)
(3)
r
   rv   0
Conservazione della massa
t
 v

r
 v  v   j  B  p Equazione del moto
 t

p
 v  p  p  v
t
Si assume adiabaticità
B
(4)   B  μ0 j;   E  Eq. di Maxw ell
t
(5) E  v  B  0 j 
Legge di ohm
60
Confinamento Magnetico
• Per qualunque sistema la condizione di
equilibrio è che su ogni punto del plasma la
forza netta sia zero.
• Ciò significa che il primo membro dell’eq.2
deve essere zero ovverosia che la pressione
deve essere bilanciata dalla pressione
magnetica
P=jxB
61
Confinamento magnetico
• Da questa equazione abbiamo:
B· P=0
J·
P=0
Non ci sono gradienti di pressione lungo le linee di forza del
campo magnetico e le superfici magnetiche sono superfici
in cui p=cost. Inoltre anche le linee di corrente giacciono
sulle superfici magnetiche
62
Il Tokamak
63
Il Tokamak
• Torniamo all’eq. di equilibrio
p  J  B
Ricaviamo J dall' eq. di Maxw ell
c2
j
B
4
Sostituiam o
c2
xBxB
p 
4
e utilizzando la relazione vettoriale
2
c
p 
4
1


2
B   B  2 B 


64
Il Tokamak
Eq. che possiamo riscrivere
2

 c2
c
B   B
 p 
B2  


8
4


(6)
Nel caso di un cilindro il termine a secondo membro e zero
ovverosia la quantità
c2 2
p
B  cos t
8
65
Il Tokamak
B
Diamagnetismo
jd
Basso B
Alto p
p
Basso p
Alto B
66
Il Tokamak
• Una grandezza fondamentale è il b definito come
pressionecinetica
p
b

pressionedel campo magnetico c 2B 2
8
b è fondamentale poiché più è alto e più un reattore è
economico per un dato campo magnetico!!
A 10-15-KeV <v> ~T2 e la potenza termonucleare a p2
67
mentre il costo va come B2
Equilibrio
• Ritorniamo all’eq.(6) in un tokamak la
situazione è diversa a causa della
dipendenza del Bt da 1/R per cui il
termine a destra dell’eq. non è più nullo
• L’anello di plasma tende ad espandersi
nel verso dell’asse maggiore e per
contrastarlo è necessario imporre un
campo verticale creato da una scocca
conduttrice o da avvolgimenti esterni
68
Equilibrio
69
Riscaldamento
• Abbiamo visto come confinare il plasma
ma come lo riscaldiamo ?
• Un plasma è composto di ioni ed
elettroni che subiscono collisioni.
Trattandosi di particelle cariche le
collisioni sono dovute all’interazione
coulombiana
70
Riscaldamento
• Il campo elettrico nel plasma lo possiamo
suddividere in due componenti: una macroscopica
che determina il drift delle particelle e che è
presente nell’eq. MHD.Il secondo è un campo
rapidamente fluttuante che una particelle
sperimenta all’interno della sfera di Debye.
71
Riscaldamento
• Queste collisioni sono alla base dei fenomeni di
trasporto all’interno del plasma e che, tralasciando
la trattazione matematica, determinano i coefficienti
ed i relativi tempi caratteristici del trasporto delle
particelle e dell’energia
72
Riscaldamento
• Quando applichiamo un campo elettrico al plasma gli elettroni
saranno accellerati con una velocità di drift vd controbilanciata
dalle collisioni
mev d
eE 
tc
• Le collisioni si oppongono al moto esattamente come avviene in
un conduttore percorso da corrente
• In assenza di B o parallelo alla corrente:
73
Riscaldamento
• La legge di ohm è:
E  j
• Dove η è la resistività

me
2
nee t c
Se per t c assumiamo t e otteniamo :

2.8  10 8
3/ 2
Te
ohm m
Te in keV74
Riscaldamento
• Ma ciò che è importante e la dipendenza
di  da T-3/2 che significa che al crescere
della
temperatura
l’efficacia
del
riscaldamento ohmico dimnuisce e
bisogna riscaldare il plasma con sistemi
addizionali.
• La resistività del plasma per Te~1.4 keV
è uguale a quella del rame
75
Riscaldamento
• Due sono i sistemi principali di
riscaldamento addizionale:
– Iniezioni di atomi neutri veloci
– Iniezioni di onde elettromagnetiche
• Risonanza ciclotronica elettronica
• Risonanza ciclotronica ionica
• Risonanza alla frequenza ibrida inferiore
76
Riscaldamento
• Una importante caratteristica dei sistemi
di riscaldamento addizionale è la
possibilità di generare corrente.
• In un reattore questo è fondamentale per
un funzionamento in continuo
77
Riscaldamento
• Su FTU sono installati
riscaldamento addizionale:
tre
sistemi
di
– Ibrida Inferiore (Lower Hybrid)
• 8 GHz 6MW installati di cui 2.5MW al plasma-Antenna
– Ciclotronica elettronica per Bt= 5 T
• 140 GHz 1.6 MW -Specchi
– Onde di Berstein (IBW) 4th armonica ciclotronica
ionica in H a Bt=8 T
• 433 MHz 1.0 MW – Antenna a guide d’onda
78
Riscaldamento
• Parlando di riscaldamento è naturale introdurre il parametro
di merito più importante il tempo di confinamento
dell’energia tE:
tE 

3
nTi  Te d 3 x
2
P
• Dove P è la potenza totale di input
• Il confinamento è determinato dai processi convettivi e
conduttivi cosi come dalle perdite radiative
79
Stabilità
• In assenza di instabilità il confinamento di
una
configurazione
assisimmetrica
toroidale è determinato dalle collisioni
coulombiane ma non è così. Gli
esperimenti mostrano un disaccordo per
il trasporto del calore per gli elettroni che
è due ordini di grandezza superiore a
quello teorico. Fino ad oggi abbiamo leggi
empiriche
ma
non
ancora
una
soddisfacente teoria delle instabilità.
80
Stabilità
• Alcuni esempi:
Kink Instability
Sausage Instability
81
Tokamak
FTU
JET
ITER
Circolare
D-Shape
D-Shape
0.935
3.1
6
Volume del plasma(m3)
1.5
80
840
Corrente di plasma(MA)
1.6
5
15
8
4
5.3
1.5
40
Raggio Maggiore (m)
Campo Magnetico (T)
Durata impulso (s)
82
1000
FTU
83
F
T
U
84
F
T
U
85
FTU
86
F
T
U
87
JE
T
88
JE
T
89
Tokamak
90