LA GEOMETRIA
nella Scuola Secondaria di Primo Grado
OMOTETIE E SIMILITUDINI
Presentazione di Giuseppina Crivelli
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Introduzione
A livello di Scuola Media lo studio delle similitudini si sviluppa a partire dal secondo anno, quando
gli alunni possiedono gli strumenti aritmetici del calcolo frazionario e le abilità tecniche richieste
per l'uso corretto degli strumenti necessari alla costruzione delle figure; inoltre a questa età lo
sviluppo delle capacità logiche dei ragazzi consente di affrontare gli argomenti a livello formale e di
pervenire a un grado di astrazione adeguato alla complessità dell'argomento stesso .
In questo contesto trovano valida collocazione il teorema di Talete, i criteri di similitudine dei
triangoli e i teoremi di Euclide .
Infine lo studio delle similitudini sul piano cartesiano e le conoscenze algebriche permettono, nel
corso del terzo anno, di dare una interpretazione grafica alle equazioni delle similitudini e viceversa.
Prerequisiti
Per avviare il discorso, si tiene conto delle attività sulla similitudine già svolte nella Scuola
Primaria, soprattutto a livello operativo-manipolatorio, con particolare riferimento agli
ingrandimenti, alle riduzioni in scala e ai concetti di rapporto e proporzionalità .
Si presuppone inoltre che gli alunni abbiano già acquisito il concetto di isometria .
NB. Le Indicazioni Nazionali non prevedono piu’ lo studio degli ingrandimenti e degli
rimpicciolimenti nella scuola elementare.
Un possibile percorso didattico
1) Conoscere le proprietà delle figure simili;
2) costruire coppie di figure corrispondenti in una trasformazione simile e viceversa riconoscere
coppie di figure simili;
3) formalizzare il concetto di similitudine come trasformazione del piano in sè;
4) classificare le figure geometriche piane in base alla similitudine;
5) individuare una omotetia come una particolare similitudine;
6) costruire figure corrispondenti in una omotetia di centro assegnato;
7) conoscere i criteri di similitudine dei triangoli;
8) conoscere le relazioni fra lati, altezza, perimetro ed area di poligoni simili;
9) conoscere i teoremi di Euclide;
10) conoscere il teorema di Talete;
11) applicare la similitudine in situazioni concrete;
12) rappresentare nel piano cartesiano figure simili e scrivere le equazioni della similitudine .
PROPOSTE DI LAVORO
1) Ingrandimenti e riduzioni in scala
- osservazione di piantine, di ingrandimenti o di rimpicciolimenti di figure e riduzioni in scala su
carte geografiche
- lavori su carta quadrettata (data la figura ed il rapporto di similitudine costruire la figura simile e/o
date due figure simili individuare il rapporto di similitudine)
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2 - Individuazione del rapporto di similitudine
Dopo aver preso in considerazione oggetti e figure simili qualsiasi, passiamo alle figure simili in
geometria.
D'
D
C
A
B
A'
C'
B'
Es. 1 – Osserviamo i rettangoli R1 e R2 :
Misuriamo le basi e le altezze dei due rettangoli
AB = .................
A'B' = ................
AD = ................
A'D'= ................
Calcoliamo i rapporti fra i lati corrispondenti:
A'B' / AB = ……………
A'D' / AD = ……….
H
G
E
F
H'
G'
E'
F'
Notiamo che i due rapporti risultano ...……………………….
Osserviamo ora i rettangoli R3 e R4
Misuriamo le basi e le altezze dei due rettangoli
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EF = ...............
HE = ………….
E'F ' = …..........
H'E' = …………..
Calcoliamo i rapporti fra i lati corrispondenti:
E'F' / EF ....................
H'E' / HE ..................
Osserviamo che i due rapporti sono .....................................
Come risultano fra loro i rettangoli R1 e R2? ……………..
Perchè ? ………..
E i rettangoli R3 e R4? ………………
Perchè ? ……………..
Es. 2. Consideriamo ora due rombi S1 e S2
D'
D
A
C
A'
C'
B
B'
Misuriamo i lati AB = …………
A'B' = ……………
e calcoliamo il loro rapporto
A'B' / AB = …………………
Se consideriamo un'altra coppia di lati corrispondenti, il rapporto cambia? Perchè? ……………
Come risultano fra loro S1 e S2? Perchè ? ……………….
Rifletti sulla risposta dopo aver osservato con attenzione gli angoli di un rettangolo e quelli di un
rombo.
Possiamo confrontare le nostre osservazioni con la definizione che i matematici danno di poligoni
simili:
Due poligoni si dicono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati corrispondenti in
proporzione .
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Di conseguenza tutti i poligoni regolari, con lo stesso numero di lati, sono sempre simili fra loro,
mentre non sempre sono simili tutti i rettangoli, i rombi, i triangoli ……………….
Es 3. Un rettangolo ha le dimensioni di 15 cm e 20 cm . Trovare le dimensioni di un rettangolo
simile, sapendo che il rapporto di similitudine con il rettangolo assegnato è 4/5 .
Indichiamo con b e b', h e h' le basi e le altezze dei due rettangoli; poiché questi sono simili,
possiamo scrivere:
b' / b = 4/5
oppure
b': b = 4: 5
h'/h = 4/5
oppure
h': h = 4: 5
e
3 - Formalizzazione delle proprietà delle similitudini .
Definizione di similitudine:
Si dice similitudine una trasformazione biunivoca del piano in sè nella quale, se P e P' sono due
punti corrispondenti e Q e Q' altri due punti corrispondenti, si ha che P'Q' = k PQ dove k è un
numero reale positivo detto rapporto di similitudine o scala.
Se k > 1 avremo un ingrandimento
se 0 < k < 1 avremo una riduzione.
Nel caso in cui k= 1 le lunghezze si mantengono inalterate . Quindi le isometrie sono particolari
similitudini.
Se due figure si corrispondono in una similitudine, allora si dicono simili; il rapporto fra ogni
coppia di segmenti corrispondenti è costante e gli angoli corrispondenti sono congruenti .
4 - Classificazione di poligoni in classi di equivalenza .
Se consideriamo, nell'insieme F delle figure piane, la relazione R : " essere simili a ", possiamo
verificare che questa è:
1) riflessiva: infatti ogni figura a è simile a se stessa, cioè
a è simile ad a
2) simmetrica: infatti se una figura a è simile ad una figura b, allora b è simile ad a, cioè
se a è simile a b
allora
b è simile ad a
3) transitiva: infatti se una figura a è simile ad una figura b e questa è simile ad una figura c,
allora a è simile a c. cioè:
se a è simile a b
e
b è simile a c
allora
a è simile a c .
La relazione R è, quindi, una relazione di equivalenza: ogni classe della relativa partizione è
formata da infinite figure fra loro simili . Le figure che stanno nella stessa classe hanno la stessa
forma .
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5 – Dalla similitudine all’omotetia.
a) realizzazione di similitudini mediante centro di proiezione:
(omotetia)
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b) Definizione di omotetia .
Dato un punto O del piano ed un numero positivo k, si dice omotetia di centro O e di rapporto k
l'applicazione per cui:
ad O corrisponde sempre O
ad un punto P ≠ O corrisponde un punto P' sulla semiretta OP tale che 0P' = k OP .
c) Proprietà dell'omotetia:
In una omotetia di centro O e rapporto k. il rapporto fra le lunghezze di due segmenti
corrispondenti è uguale al rapporto k;
i segmenti corrispondenti sono paralleli fra loro;
gli angoli corrispondenti uguali;
i poligoni corrispondenti sono simili;
punti corrispondenti sono allineati con il centro di omotetia;
due rette corrispondenti sono parallele fra loro .
6- Utilizzando omotetie, costruire poligoni simili:
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7 - I criteri di similitudine dei triangoli: enunciati e verifiche con l'uso di modelli .
Così come esistono alcuni criteri in base ai quali è possibile, dalla conoscenza di tre soli elementi,
desumere l'uguaglianza di coppie di triangoli, esistono anche dei criteri che permettono di stabilire
la similitudine di coppie di triangoli. Li enunciamo, facendo riferimento alla figura.
Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente uguali, sono simili (primo criterio di
similitudine).
Se due triangoli hanno proporzionali due coppie di lati e uguali gli angoli che ciascuna di queste
coppie forma, sono simili (secondo criterio di similitudine).
Se due triangoli hanno proporzionali tre coppie di lati, sono simili (terzo criteri di similitudine).
Nei due triangoli è:
Aˆ Aˆ ' e Bˆ Bˆ '
e di conseguenza anche Cˆ Cˆ ' .
Puoi verificare, facendo uso di un righello,
che, oltre ad avere gli angoli C e C' uguali, i
due triangoli hanno anche i lati in
proporzione; è cioè:
A' B' B' C ' C ' A'
.
AB
BC
CA
Nei due triangoli è:
Aˆ Aˆ ' ,
e
A' B' A' C ' 3
.
AB
AC 2
Puoi verificare, facendo uso di un righello e
di un goniometro, che per i due triangoli
valgono anche le seguenti relazioni:
Bˆ Bˆ ' ,
Cˆ Cˆ ' ,
B'C ' 3
.
BC 2
Nei due triangoli è:
A' B' B' C ' C ' A'
2.
AB
BC
CA
Con l'aiuto di un goniometro puoi verificare
che i due triangoli hanno anche gli angoli
corrispondenti uguali; è cioè:
Aˆ Aˆ ' ,
Bˆ Bˆ '
Cˆ Cˆ '
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8 - Relazioni fra altezze, perimetri e aree di triangoli simili .
a) Considera i due triangoli simili ABC e A'B'C' e traccia le altezze AH e A'H'
A'
A
B
H
C
B'
H'
C'
Misura BC e B'C' e determina il rapporto B'C' / BC = ……….
Misura poi AH e A'H' e determina il rapporto A'H' / AH = ……….
Come risultano i due rapporti ? ………………
Cosa puoi prevedere, in generale, calcolando i rapporti fra le basi e le altezze in triangoli simili?
………..
b) Sapendo che AB è 18 mm, BC è 30 mm, AC è 24 mm e il rapporto di similitudine è 4/3, calcola
la misura del perimetro del triangolo A'B'C'.
Come risulta il rapporto fra i perimetri ? ………………….
Cosa puoi prevedere, in generale, calcolando i rapporti fra i perimetri di triangoli simili ?
………………………….
c) Determina ora il rapporto fra le aree dei due triangoli.
Confronta tale rapporto con quello di similitudine: cosa noti?
…………………..
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9) I teoremi di Euclide: enunciati e dimostrazioni.
Primo teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolo il quadrato
costruito su un cateto e' equivalente ad un
rettangolo avente per lati l'ipotenusa e la
proiezione del cateto sull'ipotenusa
Ho costruito il rettangolo prendendo BC'
congruente a BC
BH e' la proiezione del cateto AB
in pratica devo dimostrare che, se il triangolo e'
rettangolo, le due figure in azzurro, il quadrato
Q ed il rettangolo R, sono equivalenti
Nei problemi sara' particolarmente importante la seguente forma del teorema
AB² = BH · BC
Poiche' tale formula coinvolge 3 grandezze sara' sufficiente conoscerne 2 per trovare la
terza
Passiamo alla dimostrazione
ipotesi
BAC triangolo rettangolo
tesi
Q equivalente R
Per poter dimostrare il teorema costruiamo
una figura intermedia: il parallelogramma
BFGA; dimostreremo che il quadrato e'
equivalente al parallelogramma e poi che il
parallelogramma e' equivalente al rettangolo;
per la proprieta' transitiva dell'equivalenza
seguira' la tesi.
Dimostriamo che il quadrato ABDE
e' equivalente al parallelogramma
BFGA
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Le due figure hanno la stessa base AB
L'altezza del quadrato EA e' anche altezza per il parallelogramma (l'altezza e'
qualunque segmento di perpendicolare compreso fra i due lati paralleli di cui uno sia
considerato base).
Dimostriamo ora che il parallelogramma BFGA è equivalente al rettangolo
BC'KH
Intanto le due figure hanno la stessa altezza perche' possiamo considerare come
altezza qualunque segmento di perpendicolare condotto fra le rette parallele FC' e
GK
dobbiamo dimostrare che hanno anche basi congruenti, cioe' che FB=BC'
Siccome BC' e' stato costruito congruente all'ipotenusa BC dimostriamo che
FB=BC
Per dimostrarlo consideriamo i triangoli ABC e DBF essi hanno
BAˆ C BDˆ F perche' entrambi angoli retti: uno per ipotesi e l'altro perche'
angolo di un quadrato
DB = AB perche' lati di un quadrato
DBˆ F ABˆ C perche' complementari dello stesso angolo FBˆ A
cioe' se li sommo con l'angolo FBˆ A ottengo da entrambi un angolo retto
quindi i due triangoli sono congruenti per il secondo criterio di congruenza ed in
particolare avremo che BF=BC
Il parallelogramma ed il rettangolo hanno quindi anche congruente la base e
pertanto sono equivalenti
Allora il quadrato Q e' equivalente al parallelogramma P e quest'ultimo e' equivalente al
rettangolo R quindi, per la proprieta' transitiva dell'equivalenza, Q e' equivalente ad R
come volevamo
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Secondo teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolo il quadrato
costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa e'
equivalente al rettangolo che ha per lati le
proiezioni dei cateti sull'ipotenusa
Nei problemi sara' particolarmente importante la
seguente forma del teorema
AH² = BH ·HC
Poiche' tale formula coinvolge 3 grandezze sara'
sufficiente conoscerne 2 per trovare la terza
Passiamo alla dimostrazione
ipotesi
BAC triangolo rettangolo
tesi
Q
2
equivalente a
R
Costruisco il quadrato sul lato AB; costruisco il quadrato sull'altezza AH siccome mi serve il
rettangolo di lati BH ed HC considero il rettangolo di lati BH e BC (come nella figura del primo
teorema di Euclide) e poi tolgo il quadrato di lato BH
Per il primo teorema di Euclide ho che
Q1 equivalente Q3 + R
Per il teorema di Pitagora ho che
Q1 equivalente a Q2 + Q3
per la proprieta' transitiva dell'equivalenza avro'
Q3 + R equivalente Q2 + Q3
Togliendo Q3 da entrambi i membri
dell'equivalenza otteniamo
R equivalente a Q2
come volevamo dimostrare
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10 - Il teorema di Talete .
Un fascio di rette parallele determina, su due trasversali, segmenti corrispondenti in proporzione.
AB : A’B’ = BC : B’C’ = AC : A’C’
Come Talete di Mileto misurò l'altezza delle piramidi d' Egitto.
Si racconta che quando Talete di Mileto arrivò in Egitto, fu sottoposto dai sacerdoti ad una prova per
vedere fino a dove arrivasse la sua sapienza; gli chiesero di misurare l'altezza della piramide di Cheope.
Talete riflettè, poi rispose che non l'avrebbe misurata ad occhio, e non avrebbe usato alcuno strumento.
Si sdraiò sulla sabbia e determinò la lunghezza del proprio corpo . Ai sacerdoti perplessi spiegò: “lo mi
metterò ad un'estremità di questa linea che ·misura la lunghezza del mio corpo ed aspetterò fino a
quando la mia ombra sarà altrettanto lunga . Nello stesso istante anche l'ombra della piramide di Cheope
deve misurare tanti passi quanto è alta la piramide."
Ai sacerdoti disorientati Talete disse ancora: “Se però volete che io misuri quest'altezza in qualsiasi ora,
pianterò, qui nella sabbia questo bastone . La sua ombra è, ora, circa la metà della lunghezza, per cui
anche l'ombra della piramide è, pressappoco, la metà dell'altezza.
Siete ora abbastanza abili per misurarla con precisione: non avete che da confrontare la lunghezza del
bastone con quella della sua ombra per trovare, mediante moltiplicazione o divisione dell'ombra della
piramide l'altezza di questa."
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11. Applicazioni della similitudine
1) Determinazione dell'altezza di un albero (o di una torre, di un palo ecc.)
2) Distanza fra due punti separati da un ostacolo .
3) Divisione di un segmento in parti direttamente proporzionali a lunghezze prefissate.
4) Misurazione della circonferenza della Terra.
Eratostene, nel III secolo avanti Cristo, realizzò la prima misurazione delle dimensioni della
Terra. Egli si accorse infatti che, a mezzogiorno del solstizio d'estate, a Siene (l'attuale
Assuan) i raggi solari cadevano verticalmente illuminando il fondo dei pozzi. Ciò invece non
accadeva ad Alessandria d'Egitto: qui formavano un angolo di 7,2° rispetto alla verticale del
luogo.
Eratostene assunse che la forma della Terra fosse sferica e che i raggi solari fossero paralleli.
Di conseguenza, l'angolo di 7,2° è uguale all'angolo che ha per vertice il centro della Terra e i
cui lati passano rispettivamente per Alessandria e per Siene.
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L’angolo di 7,2° è un cinquantesimo dell’angolo giro e quindi anche la distanza tra le due
città (considerate sullo stesso meridiano – dunque un arco di circonferenza massima)
dev’essere un cinquantesimo della circonferenza terrestre. A quel tempo, la distanza tra
Alessandria e Siene era considerata di 5.000 stadi che, moltiplicati per 50, dava una misura di
250.000 stadi: era la prima determinazione della circonferenza della Terra basata su un
metodo scientificamente valido. Secondo alcuni storici uno stadio corrispondeva a 157,5
metri attuali e quindi la circonferenza terrestre, stimata da Eratostene, era di 39.690
chilometri: un dato di sconcertante attualità!
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12 - Rappresentazioni nel piano cartesiano ed equazioni della similitudine .
y
C'
C
B'
B
A'
A
o
x
Osserviamo i triangoli ABC e A'B'C' corrispondenti in una omotetia di centro O e rapporto k = 2:
Scriviamo le coordinate di coppie di punti corrispondenti A ( 2; 2 ) e A' ( 4; 4 ) ;
B ( 4; 6 ) e B' ( 8; 12 ) ; C ( 2; 6 ) e C' ( 4; 12 ) . Osserviamo che le ascisse dei punti
A', B', C' risultano il doppio delle ascisse di A, B, C. (pensiamo al teorema di Talete!)
Allo stesso modo le ordinate dei punti A', B', C' risultano il doppio rispetto alle ordinate dei punti
A,B,C.
Quindi x' = 2x
e
y' = 2y
In generale, le coordinate di un punto P' corrispondente ad un punto P in un 'omotetia di centro 0 e
rapporto k, si ottengono moltiplicando le coordinate di P per k.
Abbiamo quindi le seguenti equazioni:
x' kx
y ' ky
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ESERCIZI DI VERIFICA
1 - Due rettangoli hanno le basi rispettivamente di 40 cm e 80 cm . In quale rapporto devono essere
le loro altezze perché siano simili?
2 - Due rettangoli hanno il perimetro rispettivamente di 60 cm e 72 cm . Si sa che sono simili: qual
è il rapporto di similitudine? Qual è il rapporto fra le aree?
3 - Due rettangoli hanno 1' area rispettivamente di 32 cm² e 72 cm². Se sono simili, qual è il
rapporto di similitudine?
4 - Un triangolo ha i lati AB = 16 cm, AC = 18 cm, BC = 24 cm . Costruisci un triangolo simile con
rapporto di similitudine 1/5.
5 - Disegna un quadrato col lato di 6 cm . Con centro di omotetia il punto di incontro delle diagonali
e rapporto 1/3 costruiscine una riduzione.
6 - Ricopiate le seguenti figure e di ciascuna di esse disegnate la sua “omotetia" rispetto al centro,
secondo il rapporto k di omotetia indicato:
7 - Tre alberi A, B, C proiettano ad una certa ora del giorno un'ombra della lunghezza rispettiva di
1,5 m, 2 m. 2,5 m . Qual è l'albero che ha la maggior altezza? Perché? Determinate le altezze
degli alberi A e B sapendo che 1' albero C ha 1' altezza di 6 m .
8 - Determinate la lunghezza della proiezione del cateto minore di un triangolo rettangolo
sull'ipotenusa sapendo che questa misura 50 cm ed il cateto maggiore 40 cm.
9 - Determinate la 1unghezza del cateto maggiore di un triangolo rettangolo sapendo che la sua
ipotenusa è 25 cm e la proiezione del cateto minore sull' ipotenusa è 9 cm.
10 - Determinate la lunghezza dell' ipotenusa di un triangolo rettangolo sapendo che l’altezza
relativa all'ipotenusa è 6 cm e la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa è 4,5 dm.
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11 - Nel piano riferito agli assi cartesiani ortogonali x e y di origine O è dato il triangolo con i
vertici nei punti A ( 2 ; 0 ), B ( 6 ; 0 ) e C ( 6 ; 3 ). Determinare le coordinate dei vertici del
triangolo corrispondente di ABC nell'omotetia di centro O e fattore k = 2. Qual è il rapporto di
similitudine fra i perimetri dei due triangoli? E quello fra le aree?
12 - Consideriamo il triangolo ABC i cui vertici hanno le coordinate A( 1; 1 ), B( 4; 5 ) e C( 6; 1 ).
Trasformiamolo nell'omotetia di centro O e fattore k = 2, cioè nella trasformazione
rappresentata dalle equazioni:
x' 2 x
y' 2 y
Il triangolo A'B'C', così ottenuto, si trasformi, a sua volta, nella traslazione rappresentata dalle
equazioni:
x' ' x'3
y' y 1
Il triangolo A"B"C", a cui si perviene, nasce dunque dalla trasformazione “prodotto” dell'
omotetia e della traslazione considerata. Determinate le coordinate dei punti A", B" e C" e,
confrontandole con quelle dei vertici del triangolo ABC, dedurre le equazioni della
trasformazione prodotto.
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ATTIVITÀ DAL PROGETTO [email protected]
Situazione-problema
Luca guardando una sua vecchia foto di quando aveva 5
anni dice a Piero: “ Guarda come ero piccolo! Quanto
sono cresciuto in questi anni!” Piero: “Sarebbe carino
sapere quanto sei cresciuto.” Luca:” Ma come si fa, non
so quanto ero alto quando avevo cinque anni. E
nemmeno la mamma se lo ricorda.” L’insegnante:
“Come potete fare per aiutare Luca e Piero a
determinare la statura di Luca quando aveva cinque anni
e di quanto è cresciuto da allora a oggi?”
Eppur son simili!
(Matematica 2001, pag. 378)
Abilità coinvolte: Riconoscere figure simili in vari
contesti.
Osserva le seguenti coppie di disegni: per ognuna
stabilisci se il disegno piccolo è una riduzione in
scala di quello grande. Motiva in ogni caso la tua
risposta e trova anche il fattore di scala quando la
tua risposta è affermativa.
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La cornice
Nell’ambito dei problemi che riguardano la similitudine è
opportuno proporre situazioni in cui c’è una similitudine solo
apparente, per mettere alla prova i ragazzi che di solito si
limitano ad applicare formule in problemi ripetitivi e che non
pongono alcun “problema”. Quesiti di questo tipo mettono di
nuovo in discussione il modello additivo su cui si basa la falsa
proporzionalità.
a) Osserva un quadro del tuo salotto ed in particolare la sua
cornice. Il rettangolo esterno della cornice e quello interno sono
rettangoli simili? Motiva la risposta.
b) Voglio incorniciare una fotografia con un listello di legno. La fotografia incorniciata e la
fotografia non incorniciata rappresentano rettangoli simili? Motiva la risposta.
c) Paolo ha 4 anni e sua sorella Lucia 3. Quanti anni avrà Lucia quando Paolo ne avrà 8?
Dove si posa la mosca?
(7° RMT)
Il rettangolo di destra è la fotografia del grande
rettangolo di sinistra. Nel momento in cui la
fotografia è stata scattata, una mosca si è posata
sul rettangolo grande.
Il fotografo però quando ha stampato la fotografia l'ha cancellata.
Rimettete la mosca al posto giusto sulla foto. Spiegate come avete proceduto.
(Ecco una possibile soluzione
determinata con metodo grafico)
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