Rappresentazione di alberi binari
Lezione n°8
Prof.ssa Rossella Petreschi
Lezione del 8 /11/2011 del
Corso di Algoritmi e Strutture Dati
Riferimenti: Paragrafo 4.3 del testo
Crescenzi, Gambosi, Grossi
“Strutture di dati e algoritmi”
Edizioni: Addison Wesley
ASD 2011/2012
Numeri di Catalano
Il numero di alberi binari distinti con n nodi è pari al numero di Catalano
di dimensione n: Cn = (2n su n)/(n+1), risultato dell’equazione ricorsiva
Cn = ∑ Cs Cn-s-1, con 0 ≤ s ≤ n-1 e C0= C1=1
C2= 2
C3= 5
C4= 14
C5= 42
………….
ASD 2011/2012
Quanti bit per un albero binario?
Per rappresentare un qualunque albero binario con n nodi occorrono un numero
di bit pari a
log Cn= log[(2n su n)/ (n+1)] >
> log[(22n)/ (2n(n+1))] per la (*)
= 2n - O(logn)
(*) (2n su n) = (2n)!/n! (2n-n)! =
= (2n/2n) [2n (2n-1) (2n-2)…….1]/[n(n-1)(n-2)…1] [n(n-1)(n-2)…1]) =
= (1/2n)[(2n2n)/(nn)][(2n-1)(2n-2)/(n-1)(n-1)]… [3x2/1] >
> (1/2n)[(22n2/n2)][(2n-2)(2n-2)/(n-1)(n-1)]… [2x2/1] =
= (1/2n) [22n2/n2] [22(n-1)2 /(n-1)2]… [22/12] = (1/2n) x (22n)
ASD 2011/2012
Rappresentazione di un albero binario
Per ogni nodo u, ci soffermiamo su u-padre, u-fs e u-fd
Rappresentazione implicita: mantiene u-padre, ufs e ufd (ovvero le relazioni fra i
nodi) tramite una semplice regola matematica senza uso di memoria aggiuntiva (a
parte quella necessaria ai dati nei nodi, u-info).
Esempio: rappresentazione dell’heap
Utilizzabile solo per alcune classi di alberi binari
Oltre alla rappresentazione necessaria per u-info, usa un numero costante di
celle aggiuntive
Rappresentazione succinta:rappresentazione che impega una quantità di memoria
pari al minimo necessario, a parte termini additivi di ordine inferiore
Applicabile ad alberi binari qualunque
Oltre alla rappresentazione necessaria per u-info, usa strutture dati che
richiedono 2n+o(n)bit aggiuntivi differenziandosi fortemente dalla
rappresentazione esplicita che richiede 3nlogn bits aggiuntivi
ASD 2011/2012
Rappresentazione succinta per ampiezza
a
abcdef 1110100110000
b
c
d
e
nodo[0,…,n-1]
pieno[0,…,2n]
f
• Se
un nodo occupa la posizione i nell’array nodo, allora i bit corrispondenti ai
suoi due figli occupano le posizioni 2i+1 e 2i+2 nell’array pieno
• Se un nodo occupa la posizione i nell’array nodo, allora
pieno[2i+1]=1(pieno[ 2i+2]=1) iff il riferimento al fs (fd) non è null
Oltre all’array nodo, dobbiamo conteggiare 2n+1 bits necessari per l’array
pieno + lo spazio per navigare fra i due array
ASD 2011/2012
Come navigare: Rank,Select
abcdef
a
nodo[0,…,n-1]
b
1110100110000
pieno[0,…,2n];
c
d
e
• Rank(pieno,i): numero di 1 presenti nel segmento pieno[0,i]
f
• Select(pieno,i): posizione dell’(i+1)-esimo 1 in pieno
Identificazione in nodo[] del fs(nodo[i]) o del fd(nodo[i]) :
f = 2i+1 (o d = 2i+2 ):posizione del fs (o fd) di i in pieno[];
Rank(pieno,f (oppure d)):
numero di 1 presenti nel segmento b[0,f]opure b[0,d];
nodo[Rank(pieno, f (oppure d)) -1]:fs[nodo(i)] oppure fd[nodo(i)].
Identificazione in nodo[] del p(nodo[i]):
p = Select (pieno,i): bit 1 corrispondente a nodo[i] in pieno[];
nodo[(p-1)/2]: p[nodo(i)].
ASD 2011/2012
Rappresentazione esplicita di Rank
Nella rappresentazione esplicita del rank si hanno m interi di logm bit ciascuno , da cui:
Spazio: mlogm bit; Tempo: O(1)
b(i) 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 ………
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ………
---------------------------------------------------------------------------------------Rank 1 2 3 3 4 4 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 ……….
Per ridurre lo spazio, si partiziona il vettore b in segmenti di dimensione k=logm/2 . Per ogni
segmento si calcola un solo valore di rango, quindi avremo m/k= m/(logm/2) interi di logm bits
ciascuno, da cui:
Spazio: mlogm bit;
ASD 2011/2012
Implementazione di Rank
Rank’
3
5
6
6
6
j
1
2
3
4
5
b(i)
1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0……
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20……
---------------------------------------------------------------------------------------Rank 1 2 3 3 4 4 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6…
Tempo O(1) per conoscere il Rank (=Rank’) degli elementi campionati e per gli altri???
per gli elementi non campionati…..
Rank(b,6) = Rank’[1] + #1nei primi 3 elementi di b[4,7] = 3 +1 =4
ASD 2011/2012
