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La frazione come numero razionale assoluto
DEFINIZIONE. La frazione che dà origine ad un numero decimale si dice frazione generatrice.
Consideriamo le frazioni
8
= 8:4= 2
4
8 16 5
;
;
4 25 6
e determiniamo i corrispondenti valori numerici:
16
= 16 : 25 = 0,64
25
5
= 5 : 6 = 0,833333...
6
• Nel primo caso abbiamo ottenuto come quoziente un numero naturale.
• Nel secondo caso abbiamo ottenuto un quoziente con un numero limitato di cifre decimali e resto
uguale a zero.
• Nel terzo quoziente il resto non è mai uguale a zero, quindi il numero decimale che otteniamo ha un
numero illimitato di cifre decimali.
I numeri razionali
1
La frazione come numero razionale assoluto
Possiamo distinguere le frazioni a seconda del quoziente ottenuto dividendo il numeratore per il
denominatore.
DEFINIZIONE. Dividendo il numeratore per il denominatore di una frazione si ottiene un numero:
• naturale se la frazione è apparente;
• decimale se la frazione non è apparente; in particolare tale numero può essere un:
- decimale limitato;
- decimale illimitato.
I numeri razionali
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I numeri decimali limitati
Consideriamo le frazioni
7
100
e
7
20
e calcoliamo il quoziente che si ottiene dividendo il
numeratore per il denominatore:
7
= 7 :100 = 0,07
100
7
= 7 : 20 = 0,35
20
 La prima frazione ha come denominatore una potenza del numero 10 e per questo rientra nelle
frazioni decimali.
REGOLA. Una frazione decimale dà sempre origine ad un numero decimale limitato.
 La seconda frazione ha come denominatore un numero diverso da 10 (o una sua potenza) e viene
chiamata frazione ordinaria.
REGOLA. Se il denominatore, scomposto in fattori primi, di una frazione ordinaria ridotta ai minimi
termini presenta come fattori esclusivamente i numeri 2 e/o 5, o le loro potenze, allora la frazione dà
origine ad un numero decimale limitato.
I numeri razionali
3
I numeri decimali periodici
Consideriamo le frazioni
7 e7
33 6
e calcoliamo il quoziente che si ottiene dividendo il
numeratore per il denominatore:
7 = 7:33 = 0,212121...
33
 Nel primo caso il quoziente presenta, dopo
la parte intera, due cifre che si ripetono
periodicamente. Un numero di questo tipo si
chiama periodico semplice.
 Nel secondo caso il quoziente presenta,
dopo la parte intera, una cifra che non si
ripete e una cifra che si ripete
periodicamente. Un numero di questo tipo si
chiama periodico misto.
I numeri razionali
7
= 7 : 6 = 1,166666...
6
7 =7:33=0,212121...=0, 21
33
periodo
7 =7:6=1,166666...=0,16
6
antiperiodo
periodo
4
I numeri decimali periodici
In generale possiamo affermare che:
DEFINIZIONE. Un numero decimale illimitato si dice periodico semplice se subito dopo la virgola
troviamo il periodo, cioè la cifra (o il gruppo di cifre) che si ripete all’infinito.
DEFINIZIONE. Un numero decimale illimitato si dice periodico misto se subito dopo la virgola e
prima del periodo troviamo una cifra (o più cifre) detta antiperiodo che non si ripete.
Scomponiamo in fattori primi i denominatori delle due frazioni iniziali:
33 = 3 ×11
6 = 2× 3
REGOLA. Una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini dà origine a un:
 numero periodico semplice se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, non contiene i
fattori 2 e 5 o le loro potenze;
 numero periodico misto se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene altri fattori
primi oltre a 2 e/o a 5 o le loro potenze.
I numeri razionali
5
L’approssimazione e l’arrotondamento
Nella risoluzione dei problemi può capitare di ottenere come risultato numeri decimali finiti con molte
cifre decimali o periodici.
Quando ciò si verifica, spesso, è necessario ricorrere all’approssimazione o all’arrotondamento.
Approssimazione
L’approssimazione è il procedimento che permette di avvicinarsi ad un valore che non è
raggiungibile in modo esatto.
1,6
5:3 =1,6
approssimazione ai decimi
1,66
approssimazione ai centesimi
1,666
approssimazione ai millesimi
… e così via
I numeri razionali
6
L’approssimazione e l’arrotondamento
Arrotondamento
L’arrotondamento è il procedimento che permette di avvicinarsi ad un valore dato, ma con un
numero determinato di cifre significative.
L’arrotondamento si può presentare in due forme diverse: per difetto (porta ad un risultato
inferiore a quello esatto) o per eccesso (porta ad un risultato superiore a quello esatto).
Si usa arrotondare per difetto quando la cifra seguente a quella fissata per l’arrotondamento è
minore di 5; per eccesso quando la cifra seguente a quella fissata va da 5 a 9.
Se consideriamo il numero 1,1538:
arrotondiamo all’unità
1
per difetto perché la cifra dei decimi (1) è minore di 5
arrotondiamo ai decimi
1,2
per eccesso perché la cifra dei centesimi è 5
arrotondiamo ai centesimi
1,15
per difetto perché la cifra dei millesimi (3) è minore di 5
arrotondiamo ai millesimi
1,154
per eccesso perché la cifra dei decimillesimi (8) è minore di 5
I numeri razionali
7
La frazione generatrice di un numero decimale
Numeri decimali limitati
REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione avente:
• per numeratore il numero stesso senza virgola;
• per denominatore una potenza di 10 di esponente uguale al numero delle cifre decimali del
numero considerato.
Trasformiamo il numero 3,45 nella relativa frazione generatrice:
Tutto il numero
senza la virgola
3, 45 =
345 69
=
100 20
Frazione
generatrice
ridotta ai
minimi termini
Potenze di 10 con esponente uguale al
numero di cifre decimali
I numeri razionali
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La frazione generatrice di un numero decimale
Numeri decimali periodici semplici
REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione
avente:
• per numeratore il numero ottenuto dalla differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e senza
virgola, e la sua parte intera;
• per denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo.
Trasformiamo il numero 64,34 nella relativa frazione generatrice:
Tutto il numero compreso il
periodo e senza virgola
64,34 =
Numero decimale
periodico semplice
I numeri razionali
Parte intera
6434 - 64 6370
=
99
99
Frazione
generatrice
Due 9 (corrispondono al
numero di cifre del periodo)
9
La frazione generatrice di un numero decimale
Numeri decimali periodici misti
REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione
avente:
• per numeratore il numero ottenuto dalla differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e
l’antiperiodo e senza virgola, e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo compreso
l’antiperiodo e senza virgola;
• per denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono le cifre
dell’antiperiodo.
Trasformiamo il numero 5,326 nella relativa frazione generatrice:
Tutto il numero compreso il
periodo e l’antiperiodo e
senza virgola
5,326 =
5326 - 532 4794 2397 799
=
=
=
900
900
450 150
Numero decimale
periodico misto
I numeri razionali
Parte che precede il periodo compreso
l’antiperiodo e senza virgola
Un 9 (corrispondente alla
cifra del periodo)
Frazione
generatrice
ridotta ai
minimi termini
Due 0 (corrispondenti al numero di
cifre dell’antiperiodo)
10
Le espressioni con i numeri decimali
Risolviamo l’espressione
(2,5 + 0,25) : 5,5 + 2,25 - 0,75 .
Primo metodo
Effettuiamo il calcolo con i numeri decimali limitati secondo le regole note:
2,75 : 5,5 + 2,25 - 0,75 = 0,5 + 2,25 - 0,75 = 2
Secondo metodo
Trasformiamo tutti i numeri decimali nelle relative frazioni generatrici e svolgiamo i calcoli:
æ 25 25 ö 55 225 75 æ 5 1ö 11 9 3 11 11 9 3
=ç + ÷: + - = : + - =
ç +
÷: +
è 10 100 ø 10 100 100 è 2 4 ø 2 4 4 4 2 4 4
111 21 9 3 1 9 3 2 + 9 - 3 82
= 2 · 1+ - = + - =
= 1 =2
4
4 11 4 4 2 4 4
4
I numeri razionali
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