continuità delle funzioni

CONTINUITÀ DELLE
FUNZIONI
FUNZIONI CONTINUE
DEFINIZIONE: Una funzione di equazione y = f(x), definita in un intorno di x0, si
dice continua nel punto x0 quando esiste il limite della funzione per x che
tende ad x0 e questo limite è uguale al valore della funzione in quel punto,
cioè quando:
lim f(x) = f(x0)
x x0
Ricordando la definizione di limite possiamo dire che la funzione f(x) è
continua nel punto x =x0 quando, considerato un numero positivo 
arbitrariamente piccolo, è possibile trovare un intorno di x0 per tutti i punti
del quale, compreso x0, si abbia:
f(x) – f(x0) < 
ovvero f(x0) -  < f(x) < f(x0) + 
FUNZIONI CONTINUE
Pertanto dalla definizione si deduce che una funzione f(x) è continua
in un punto x0 quando sono verificate le seguenti condizioni:

esiste il valore della funzione nel punto x0;

esiste ed è finito il limite della unzione per x x0;

il limite della funzione per x x0 coincide con il valore della
funzione nel punto x0.
NOTA
Una funzione si dice continua a sinistra in x0 se lim f(x) = f(x0)
x x0-
Una funzione si dice continua a destra in x0 se lim f(x) = f(x0)
x x0+
DEFINIZIONE: Una funzione f(x) è continua in un intervallo I se è continua in
tutti i punti dell’intervallo.
FUNZIONI CONTINUE  X  R








y=k
y=x
y= n x
con n dispari
y = ax
(a > 0)
y = senx
y = cosx
y = arctgx
y = arcctgx
FUNZIONI CONTINUE
La funzione:
 y = n x con n pari è continua per x  0
 y = logax (a > 0, a  1) è continua per x > 0
 y = tgx
è continua per x  /2 + k 
 y = cotgx è continua per x  k 
DEFINIZIONE: Abbiamo visto che una funzione y = f(x) è continua in
un punto x = x0 se sono verificate contemporaneamente tre
condizioni.
Quando anche solo una delle tre condizioni non è verificata, allora in
tale punto la funzione è discontinua e x = x0 viene detto punto di
discontinuità per la funzione (o punto singolare).
k
y=k
y=x
y = ax , a > 1
y=
n
x
con n = 3
y = ax , 0 < a < 1
y = senx
y = arctgx
y = cosx
y = arccotgx
con n = 2
con 0 < a < 1
con a > 1
FUNZIONI DISCONTINUE IN UN
PUNTO
 DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE
Si dice che nel punto x = x0 la funzione y = f(x) presenta una
discontinuità di prima specie quando esistono finiti i limiti dalla
destra e dalla sinistra per x x0 della funzione, ma sono DIVERSI
tra loro (a prescindere dall’eventuale valore della f(x) in x = x0) , cioè
lim f(x)  lim f(x)
x x0- x x0+
Si dice che nel punto x = x0 la funzione presenta un salto.
ESEMPIO 1
FUNZIONI DISCONTINUE IN UN
PUNTO
 DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE
Si dice che nel punto x = x0 la funzione y = f(x) presenta una
discontinuità di seconda specie quando non esiste o non esiste
finito , uno almeno dei due limiti dalla destra o dalla sinistra di x0.
ESEMPIO 2
FUNZIONI DISCONTINUE IN UN
PUNTO
 DISCONTINUITÀ DI TERZA SPECIE
Si dice che nel punto x = x0 la funzione y = f(x) presenta una
discontinuità di terza specie (o discontinuità eliminabile) quando
esiste ed è finito il limite per x x0 di f(x), ma f(x0) non esiste o è
diverso dal valore del limite.
ESEMPIO 3
FUNZIONI DISCONTINUE IN UN
PUNTO
 ESEMPIO 1
f(x) = x/x funzione definita per x  0.
f(0) non esiste, pertanto la funzione non è continua nel punto 0.
lim f(x) = lim
x  0-
x  0-
lim f(x) = lim
x  0+
x/(- x) = - 1
x  0+
x/x = 1
I limiti sono diversi quindi si tratta di una discontinuità di
prima specie.
FUNZIONI DISCONTINUE IN UN
PUNTO
 ESEMPIO 2
f(x) = sen(1/x) funzione definita per x  0.
lim sen(1/x) non esiste
x  0-
lim sen(1/x) non esiste
x  0+
I limiti non esistono quindi si tratta di una discontinuità di seconda
specie.
OSSERVAZIONE: i limiti non esistono perché quando x tende a zero
l’espressione 1/x tende all’infinito e il valore del seno continua ad oscillare
fra – 1 e 1 senza ammettere limite.
FUNZIONI DISCONTINUE IN UN
PUNTO
 ESEMPIO 3
f(x) = senx/x Per x = 0 la funzione non esiste, ma
lim senx/x = lim senx/x = 1
x  0+
x  0-
pertanto è una discontinuità di terza specie. Si tratta quindi di una
discontinuità eliminabile. Per eliminare tale discontinuità occorre
definire la funzione in maniera diversa, ad esempio ponendo:
senx/x
per x  0
f*(x) =
1
per x = 0
La funzione f*(x) è continua in R.
TEOREMI SULLE FUNZIONI
CONTINUE
 TEOREMA
Se la funzione y = f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato
a; b e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora
esiste almeno un punto x0 , interno ad a; b, in cui è f(x0) = 0.
 TEOREMA
Se la funzione y = f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato
a; b, allora essa assume, in tale intervallo, un valore minimo e un valore
massimo.
 TEOREMA
Se la funzione y = f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato
a; b, allora essa assume, in tale intervallo, tutti i valori compresi tra il
minimo e il massimo.