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Una sfera di raggio r =1 m è poggiata su un piano orizzontale e mantenuta fissa.
Un cubetto di piccole dimensioni è posto in equilibrio instabile sulla sommità
della sfera. Il cubetto, spostato di pochissimo dalla posizione di equilibrio,
comincia a scivolare sulla sfera con velocità iniziale nulla. Calcolare a che
distanza cadrà sul piano orizzontale dal punto di appoggio della sfera.
P  N  ma
un
v2
mg cos q  N  m
R
Appli
cazio
ne
N
h
q
v
P
v2
N  mg cos q  m
R
Questo termine aumenta (in
valore assoluto)
all’aumentare di q
Questo termine diminuisce
all’aumentare di q
Per un certo valore di q, N si annullerà: in
quel momento avverrà il distacco tra il
cubetto e la sfera.
Troviamo l’espressione della velocità in
funzione di q, e imponiamo che N sia
nulla.
E  Wn c  WN  0
Ndr
G.M. - Edile A 2002/03
Poniamo l’energia potenziale uguale a zero
quando il cubetto si trova alla sommità della
sfera.
Ef  Ei
Appli
cazio
ne
K f  Uf  K i  Ui
1
2
mv f  mgh  0  0
2
h  R 1 cos q
h
q
v 2 q  2gR 1  cosq
N  mg cosq  m
y
N
v
P
2gR 1  cosq
 mg 3cosq  2
R
x
La normale N si annullerà quando
3cos qd  2   0
ossia
cos qd 
Il distacco avverrà nel punto:
2
3
senq d  1  cos2 q d  1
5
R  .74m
3
5
y d  R  R cos qd  R  1.67m
3
4
9

5
9

5
3
x d  Rsen qd 
G.M. - Edile A 2002/03
Appli
cazio
ne
La velocità al momento del distacco
2
2

v 2 q  2gR 1  cos q  2gR 1    gR

3 3
2
gR
3
 vd 
Le cui componenti x e y valgono
y
h
2 2
v xd  vd cos q d 
gR  1.70 ms
3 3
5 2
v yd  v d senq d  
gR  1.90 ms
3 3
Il moto dopo il distacco avverrà sotto la
sola azione della forza peso (moto del
proiettile)
P  ma
x : 0  ma x
y :  mg  ma y
L’istante in cui il cubetto impatta
al suolo si ottiene imponendo y=0.
t 1  0.42s
t 1  0.81s
q
N
v
P
x
x  x d  vxd t
y  y d  vyd t  12 gt
2
Facendo ripartire il cronometro
nel momento del distacco.
y d  v y dt  12 gt  0 t 
2
v y d  v 2y d  2gy d
g
x  x d  vxdt  .74 1.70  .42 1.45m
G.M. - Edile A 2002/03
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Un blocchetto di massa m può scorrere lungo una pista, priva di attrito, a spirale
mostrata in figura.
Da quale altezza sopra il punto più basso si dovrebbe lasciar cadere il blocchetto
(con velocità iniziale nulla), per far si che riesca a fare un il giro completo del
“ricciolo”?
Quanto vale la forza complessiva agente sul blocchetto quando passa per il
punto Q della figura?
P  N  ma
un
Appli
cazio
ne
v2
mg cos q  N  m
R
v2
N  m  mg cos q
R
Affinché ci sia il contatto occorre che N sia sempre
maggiore di zero
Il punto più delicato è la sommità del ricciolo in
quanto in quella posizione
• v è minima
• Mentre il secondo termine diventa in modulo uguale a
mg
Occorre quindi imporre che N sia al massimo nulla al
vertice del ricciolo: imporre cioè che, in quella
posizione, la forza centripeta sia fornita dalla sola
forza peso
q
N
P
G.M. - Edile A 2002/03
•
Appli
cazio
ne
La velocità alla sommità del ricciolo deve quindi essere almeno:
v2
N  0  0  m  mg
R
 v 2  gR
Imponendo la relazione lavoro-energia tra il punto di partenza, ad altezza h e la
sommità del ricciolo, si ottiene
E  Wn c  WN  0
Ef  Ei
Ndr
K f  Uf  K i  Ui
1
2
mv f  mg2R  0  mgh
2
v f  2gh  2R
2
Tenendo conto del limite minimo su v, si ottiene:
R
5
 2R  R
2
2
5
2
1
La velocità in Q: 2 mv Q  mgR  0  mg R
2
gR  2gh  2R
v 2Q

N
h
 5gR  2gR  3gR
P
RPN
P  mg
2
v
3gR
Nm m
 3mg
R
R
G.M. - Edile A 2002/03
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Due bambini stanno facendo una gara a chi riesce a centrare una scatoletta sul
pavimento con una biglia sparata da una pistola a molla, montata su un tavolo
orizzontale. Come si vede dalla figura, il bersaglio è piazzato a 2.20 m in
orizzontale dal bordo del tavolo. Orazio comprime la molla di 1.10 cm, ma il suo
tiro risulta corto di 27 cm.
Di quanto deve comprimerla Giustina per fare centro? Ignorate gli attriti.
Appli
cazio
ne
La biglia una volta rilasciata dalla molla
ed abbandonato il tavolo si muove sotto
l’azione della sola forza peso (moto del
proiettile).
Se si comincia a contare il tempo nel
momento in cui la biglia abbandona il
tavolo, le condizioni iniziali sono
xo=0,
yo=h
vxo=?
vyo=0
vxo è la velocità con cui la biglia
abbandona la molla
La legge oraria sarà:
x  v o xt
1
y  h  gt 2
2
Indichiamo con t l’intervallo di
tempo impiegato per cadere.
Il percorso orizzontale effettuato
sarà:
d1  vox1t
G.M. - Edile A 2002/03
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Dato che il primo lancio è corto, occorre aumentare la velocità vxo affinchè la
biglia colpisca il bersaglio:
d 2  vox2 t
•
Dividendo membro a membro si ottiene:
d 2 vox 2

d1 vox1
 v ox2  v ox1
Appli
cazio
ne
d2
d1
La velocità vxo1 è la velocità acquistata
dalla biglia er una compressione di 1,1 cm
della molla. Quale deve essere la
compressione della molla per ottenere la
velocità vxo2 che ci consentirà di colpire il
bersaglio?
Determiniamo la relazione tra
compressione e velocità orizzontale della
biglia.
Durante l’espansione della molla, la biglia
è sottoposta alla forza elastica, alla forza
peso e alla Normale.
Le ultime due forze compiono lavoro
nullo, la forza elastica è conservativa.
Si conserva l’energia meccanca
E  Wn c  0
totale
1 2 1 2
kx1  mv x o1
2
2
1 2 1 2
kx2  mv x o2
2
2
x 2  x1
x12 v 2xo1 d21
 2
2  2
x 2 vxo 2 d2
d2
2.20
 1.1cm
 1.25cm
d1
2.20  27.0G.M. - Edile A 2002/03
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Tarzan, che pesa 688 N, salta da una roccia appeso ad una provvidenziale liana
lunga 18 m (vedi figura). Dall’alto della roccia al punto più basso della sua
oscillazione cala di 3.2 m. La liana è soggetta a rompersi se la tensione supera
950 N.
Determinare se la fune si romperà
Se sì, determinare l’angolo rispetto alla verticale a cui avviene la rottura
Se no, determinare il suo valore massimo.
Appli
cazio
ne
G.M. - Edile A 2002/03
•
Appli
cazio
ne
Un blocco di legno da 0.520 kg è saldamente attaccato ad una leggerissima
molla orizzontale (k=180 N/m), ed è appoggiato su un tavolo orizzontale come
mostrato in figura.
Il blocco viene spostato in maniera da comprimere la molla di 5.0 cm e quindi
rilasciato con velocità nulla. Si osserva che il blocco supera la posizione di
equilibrio di 2.3 cm prima di fermarsi per poi tornare indietro. Determinare il
coefficiente di attrito tra il tavolo ed il blocco di legno.
k
m
O
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Le due masse mostrate in figura inizialmente sono poste ciascuna a 1.80 m dal
suolo e la carrucola, priva di massa e di attrito, è a 4.80 m dal suolo. Qual è
l’altezza massima raggiunta dal corpo più leggero una volta che il sistema viene
lasciato libero di muoversi?
Appli
cazio
ne
4,80 m
2,2 kg
3,2 kg
1,80 m
G.M. - Edile A 2002/03
•
•
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Un pattinatore di massa m = 52 kg sta ruotando su una circonferenza di raggio
r=20 m ad una velocità di 3 m/s. Egli si mantiene su questa traiettoria reggendo
una fune attaccata mediante un cuscinetto privo di attrito ad un palo posto al
centro del cerchio.
Calcolare la tensione T esercitata dalla fune.
Il ghiaccio su cui egli pattina può essere considerato privo di attrito, ma per una
parte del moto attraversa una pozza sabbiosa di lunghezza 48 cm dove il
coefficiente di attrito è m = 0.10. Quanto vale la velocità subito dopo aver
attraversato la pozza sabbiosa? Quanto deve valere la tensione nella fune
affinché continui a percorrere la stessa traiettoria dopo aver attraversato la pozza
sabbiosa?
Vista dall’alto
Appli
cazio
ne
Vista laterale
G.M. - Edile A 2002/03
Un’automobile di massa m=1000 kg percorre una curva di raggio costante
r=80 m con una velocità di 60 km/h. Determinare l’angolo di cui deve
essere sopraelevato l’esterno della curva rispetto all’interno perché
l’automobile si mantenga sulla traiettoria curva senza far ricorso alla forza
di attrito.
Applica
zione
V
Poniamoci nel sistema di riferimento del
Laboratorio (inerziale) per poter applicare le
leggi di Newton.
N
ut
j
un
q
Determiniamo le forze agenti
sull’automobile
• La forza peso
• La reazione vincolare esercitata
dalla strada
• Solo la Componente
Normale
P
Il diagramma del corpo libero
Scriviamo la seconda legge di Newton per
l’automobile.
P  N  ma
Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale. Come nei
casi precedenti utilizziamo le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari:
2
un
ut
j
v
N sen q  ma n v m
N r
0  ma t r Fs m
P
N cos q  mg  ma y
ut
j
un
G.M. - Edile A 2002/03
2
ut
v
N sen q  ma n  m
r
0  ma t
j
N cos q  mg  ma y
un
Applica
zione
Poiché l’automobile si muove su una traiettoria a y  0
mg
orizzontale
N cos q  mg  N 
cos q
L’accelerazione tangenziale è nulla:
Il moto avviene con velocità di modulo costante
Dalla prima ottenaimo:
2
v
Nsen q  m
R
2

mg
v
senq  m
cos q
R
2
2
v
16.7
 tan q 

 .35
gR 9.81*80
q  ar cot an0.35  19.2
G.M. - Edile A 2002/03