Prova scritta di Fisica Generale 1 9 Luglio 2013 I Esonero: esercizi 1 e 2 (tempo a disposizione 2 ore) II Esonero: Esercizi 3 e 4 (tempo a disposizione 2 ore) Esame: Tutti gli esercizi (tempo a disposizione 4 ore) NB: Nel caso di esonero i punteggi devono essere raddoppiati per ottenere il voto in trentesimi. ESERCIZIO 1 Una biglia di massa m = 1 kg viene lanciata sulla guida mostrata in figura per mezzo di una molla di costante elastica k e di lunghezza a riposo l = 0.1 m completamente compressa. Il tratto l1 = 3 m è inclinato di ϑ = 30◦ , il tratto orizzontale ha lunghezza l2 = 2.5 m. Il coefficiente di attrito tra la biglia e la guida è pari a µ = 0.25. Calcolare: • il valore massimo kM della costante elastica tale che la biglia non cada dalla guida (2 punti) • la distanza a cui cade la biglia se k = 2kM (4 punti) • il valore di una forza F orizzontale che agisce solo nel tratto l2 tale da arrestare la biglia prima della caduta quando la costante elastica della molla è 2kM (2 punti). l2 l1 SOLUZIONE La biglia non cade se raggiunge il bordo della superficie orizzontale con velocità nulla. Sapendo che la variazione di energia meccanica è uguale al lavoro delle forze non conservative: 1 mgl1 sin ϑ − kM l2 = −µmgl1 cos ϑ − µmgl2 . 2 Risolvendo rispetto a kM : 2 (µmgl1 cos ϑ + mgl1 sin ϑ + µmgl2 ) = 5444 N/m l2 la velocità della biglia nell’istante in cui raggiunge il bordo della superficie orizzontale si ottiene dalla kM = Quando k = 2kM relazione: 1 1 mgl1 sin ϑ + mv 2 − 2kM l2 = −µmgl1 cos ϑ − µmgl2 . 2 2 Risolvendo rispetto a v: r v= 1 (2kM l2 − 2mgl1 sin ϑ − 2µmgl1 cos ϑ − 2µmgl2 ) = 7.38 m/s m La biglia cade dalla guida seguendo una traiettoria parabolica: x(t) = vt y(t) 1 = − gt2 + l1 sin ϑ 2 da cui si ottiene s 2l1 sin ϑ = 0.55 s g s 2l1 sin ϑ x = vt = v = 4.1 m g t= Per calcolare il valore della forza F si può nuovamente applicare il teorema dell’energia meccanica 1 mgl1 sin ϑ − 2kM l2 = −µmgl1 cos ϑ − µmgl2 − F l2 . 2 Risolvendo rispetto a F F = 1 (kM l2 − mgl1 sin ϑ − µmgl1 cos ϑ − µmgl2 ) = 10.9 N l2 ESERCIZIO 2 Tre corpi di massa m1 = 2 kg, m2 = 3 kg, m3 = 7 kg sono disposti come in figura. Il coefficiente di attrito tra m1 e m2 e il piano inclinato è µ1 = 0.3, µ2 = 0.2 rispettivamente. Il piano è inclinato di un angolo ϑ = 30◦ . Calcolare l’accelerazione le tensioni delle corde. Se la fune tra m1 e m2 viene sostituita da una molla di costante elastica k = 100 N/m; calcolare di quanto si allunga la molla durante il moto. m2 m1 m3 SOLUZIONE Le equazioni del moto sono −m3 a = −m3 g + T1 m2 a = T1 − m2 g sin ϑ − µ2 m2 g cos ϑ − T2 m1 a = T2 − m1 g sin ϑ − µ1 m1 g cos ϑ Risolvendo si trova a= 1 [m3 g − (m1 + m2 )g sin ϑ − (µ1 m1 + µ2 m2 )g cos ϑ] = 4.9 m/s2 (m1 + m2 + m3 ) di conseguenza T1 = m3 g − m3 a = 34.3 N T2 = m1 a + m1 g sin ϑ + µ1 m1 g cos ϑ = 24.7 N Nel caso in cui la fune tra m1 e m2 viene sostituita da una molla: −m3 a = −m3 g + T1 m2 a = T1 − m2 g sin ϑ − µ2 m2 g cos ϑ − kx m1 a = kx − m1 g sin ϑ − µ1 m1 g cos ϑ Si vede facilmente che la forza elastica kx ha la stessa espressione di T2 . Si ottiene quindi kx = m1 a + m1 g sin ϑ + µ1 m1 g ⇒ x = m1 a + m1 g sin ϑ + µ1 m1 g = 0.25 m. k ESERCIZIO 3 Un disco omogeneo di massa M = 4 kg e raggio R = 0.5 m sale senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo ϑ = 30◦ , tirato da una forza F = 30 N parallela al piano inclinato e applicata all’estremo superiore del disco. Trovare: • il modulo dell’accelerazione angolare e l’accelerazione del centro di massa (4 punti) • modulo direzione e verso della forza di attrito (3 punti) • il valore minimo del coefficiente di attrito che permette un moto di puro rotolamento (1.5 punti) SOLUZIONE Sul disco agiscono la forza peso, la forza F applicata, la reazione vincolare RN e la forza di attrito FA . Utilizziamo come polo il centro di massa del disco, le equazioni del moto diventano: F − M g sin ϑ + FA = M aCM FA R − F R = Iα Dato che il moto è di puro rotolamento sappiamo che aCM = −αR. Risolvendo si trova: α=− 2F R − M g sin ϑR 2F R − M g sin ϑR =− 1 ≈ −13.5 rad/s2 . 2 + M R2 I + M R2 M R 2 L’accelerazione del centro di massa vale quindi aCM = αR = 6.8 m/s2 . La forza di attrito si ottiene dalla seconda equazione: Iα FA = F + = 13.5 N R Il valore minimo del coefficiente di attrito si ottiene dalla relazione: FA 6 µs RN ⇒ µs > FA FA = = 0.4. RN M g cos ϑ ESERCIZIO 4 Cinque moli di gas perfetto biatomico sono contenute in un recipiente di volume iniziale V0 = 0.1 m3 alla temperatura iniziale T0 = 300K. Il recipiente viene messo in contatto con una sorgente di massa M = 2 kg e calore specifico cs = 600 J/ kgK alla temperatura Ts = 1000 K. Il gas si espande bruscamente a pressione costante raggiungendo una nuova condizione di equilibrio. Trovare: • la temperatura finale del gas (3 punti) • il lavoro fatto dal gas (2 punti) • la variazione di entropia del sistema gas + sorgente (3 punti) SOLUZIONE Il gas si espande a pressione costante, il calore ceduto dalla sorgente viene interamente assorbito dal gas: M Cs (Ti − TF ) = ncp (TF − T0 ) ⇒ TF = ncp T0 + M cs Ti = 924.3 K ncp + M cs Il lavoro fatto dal gas si ottiene dal primo principio: L = Q − ∆U = ncp (TF − T0 ) − ncv (TF − T0 ) = n(cp − cv )(TF − T0 ) = 25939.7 J La variazione di entropia del sistema è pari alla somma della variazione di entropia del gas e di quella della sorgente di massa M : TF = −94.5 J/K ∆SSorg = M cs ln Ti ∆Sgas = ncp ln TF = 163.6 J/K T0 La variazione di entropia del sistema è quindi ∆Stot = 69.1 J/K.