Prova scritta di Fisica Generale 1

Prova scritta di Fisica Generale 1
9 Luglio 2013
I Esonero: esercizi 1 e 2 (tempo a disposizione 2 ore)
II Esonero: Esercizi 3 e 4 (tempo a disposizione 2 ore)
Esame: Tutti gli esercizi (tempo a disposizione 4 ore)
NB: Nel caso di esonero i punteggi devono essere raddoppiati per ottenere il voto in trentesimi.
ESERCIZIO 1
Una biglia di massa m = 1 kg viene lanciata sulla guida mostrata in figura per mezzo di una molla di costante elastica k
e di lunghezza a riposo l = 0.1 m completamente compressa. Il tratto l1 = 3 m è inclinato di ϑ = 30◦ , il tratto orizzontale
ha lunghezza l2 = 2.5 m. Il coefficiente di attrito tra la biglia e la guida è pari a µ = 0.25. Calcolare:
• il valore massimo kM della costante elastica tale che la biglia non cada dalla guida (2 punti)
• la distanza a cui cade la biglia se k = 2kM (4 punti)
• il valore di una forza F orizzontale che agisce solo nel tratto l2 tale da arrestare la biglia prima della caduta quando
la costante elastica della molla è 2kM (2 punti).
l2
l1
SOLUZIONE
La biglia non cade se raggiunge il bordo della superficie orizzontale con velocità nulla. Sapendo che la variazione di energia
meccanica è uguale al lavoro delle forze non conservative:
1
mgl1 sin ϑ − kM l2 = −µmgl1 cos ϑ − µmgl2 .
2
Risolvendo rispetto a kM :
2
(µmgl1 cos ϑ + mgl1 sin ϑ + µmgl2 ) = 5444 N/m
l2
la velocità della biglia nell’istante in cui raggiunge il bordo della superficie orizzontale si ottiene dalla
kM =
Quando k = 2kM
relazione:
1
1
mgl1 sin ϑ + mv 2 − 2kM l2 = −µmgl1 cos ϑ − µmgl2 .
2
2
Risolvendo rispetto a v:
r
v=
1
(2kM l2 − 2mgl1 sin ϑ − 2µmgl1 cos ϑ − 2µmgl2 ) = 7.38 m/s
m
La biglia cade dalla guida seguendo una traiettoria parabolica:
x(t)
= vt
y(t)
1
= − gt2 + l1 sin ϑ
2
da cui si ottiene
s
2l1 sin ϑ
= 0.55 s
g
s
2l1 sin ϑ
x = vt = v
= 4.1 m
g
t=
Per calcolare il valore della forza F si può nuovamente applicare il teorema dell’energia meccanica
1
mgl1 sin ϑ − 2kM l2 = −µmgl1 cos ϑ − µmgl2 − F l2 .
2
Risolvendo rispetto a F
F =
1
(kM l2 − mgl1 sin ϑ − µmgl1 cos ϑ − µmgl2 ) = 10.9 N
l2
ESERCIZIO 2
Tre corpi di massa m1 = 2 kg, m2 = 3 kg, m3 = 7 kg sono disposti come in figura. Il coefficiente di attrito tra m1 e m2 e
il piano inclinato è µ1 = 0.3, µ2 = 0.2 rispettivamente. Il piano è inclinato di un angolo ϑ = 30◦ . Calcolare l’accelerazione
le tensioni delle corde.
Se la fune tra m1 e m2 viene sostituita da una molla di costante elastica k = 100 N/m; calcolare di quanto si allunga la
molla durante il moto.
m2
m1
m3
SOLUZIONE
Le equazioni del moto sono
−m3 a = −m3 g + T1
m2 a = T1 − m2 g sin ϑ − µ2 m2 g cos ϑ − T2
m1 a = T2 − m1 g sin ϑ − µ1 m1 g cos ϑ
Risolvendo si trova
a=
1
[m3 g − (m1 + m2 )g sin ϑ − (µ1 m1 + µ2 m2 )g cos ϑ] = 4.9 m/s2
(m1 + m2 + m3 )
di conseguenza
T1 = m3 g − m3 a = 34.3 N
T2 = m1 a + m1 g sin ϑ + µ1 m1 g cos ϑ = 24.7 N
Nel caso in cui la fune tra m1 e m2 viene sostituita da una molla:
−m3 a = −m3 g + T1
m2 a = T1 − m2 g sin ϑ − µ2 m2 g cos ϑ − kx
m1 a = kx − m1 g sin ϑ − µ1 m1 g cos ϑ
Si vede facilmente che la forza elastica kx ha la stessa espressione di T2 . Si ottiene quindi
kx = m1 a + m1 g sin ϑ + µ1 m1 g ⇒ x =
m1 a + m1 g sin ϑ + µ1 m1 g
= 0.25 m.
k
ESERCIZIO 3
Un disco omogeneo di massa M = 4 kg e raggio R = 0.5 m sale senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo
ϑ = 30◦ , tirato da una forza F = 30 N parallela al piano inclinato e applicata all’estremo superiore del disco. Trovare:
• il modulo dell’accelerazione angolare e l’accelerazione del centro di massa (4 punti)
• modulo direzione e verso della forza di attrito (3 punti)
• il valore minimo del coefficiente di attrito che permette un moto di puro rotolamento (1.5 punti)
SOLUZIONE
Sul disco agiscono la forza peso, la forza F applicata, la reazione vincolare RN e la forza di attrito FA . Utilizziamo come
polo il centro di massa del disco, le equazioni del moto diventano:
F − M g sin ϑ + FA = M aCM
FA R − F R = Iα
Dato che il moto è di puro rotolamento sappiamo che aCM = −αR. Risolvendo si trova:
α=−
2F R − M g sin ϑR
2F R − M g sin ϑR
=− 1
≈ −13.5 rad/s2 .
2 + M R2
I + M R2
M
R
2
L’accelerazione del centro di massa vale quindi aCM = αR = 6.8 m/s2 . La forza di attrito si ottiene dalla seconda
equazione:
Iα
FA = F +
= 13.5 N
R
Il valore minimo del coefficiente di attrito si ottiene dalla relazione:
FA 6 µs RN ⇒ µs >
FA
FA
=
= 0.4.
RN
M g cos ϑ
ESERCIZIO 4
Cinque moli di gas perfetto biatomico sono contenute in un recipiente di volume iniziale V0 = 0.1 m3 alla temperatura
iniziale T0 = 300K. Il recipiente viene messo in contatto con una sorgente di massa M = 2 kg e calore specifico cs =
600 J/ kgK alla temperatura Ts = 1000 K. Il gas si espande bruscamente a pressione costante raggiungendo una nuova
condizione di equilibrio. Trovare:
• la temperatura finale del gas (3 punti)
• il lavoro fatto dal gas (2 punti)
• la variazione di entropia del sistema gas + sorgente (3 punti)
SOLUZIONE
Il gas si espande a pressione costante, il calore ceduto dalla sorgente viene interamente assorbito dal gas:
M Cs (Ti − TF ) = ncp (TF − T0 ) ⇒ TF =
ncp T0 + M cs Ti
= 924.3 K
ncp + M cs
Il lavoro fatto dal gas si ottiene dal primo principio:
L = Q − ∆U = ncp (TF − T0 ) − ncv (TF − T0 ) = n(cp − cv )(TF − T0 ) = 25939.7 J
La variazione di entropia del sistema è pari alla somma della variazione di entropia del gas e di quella della sorgente di
massa M :
TF
= −94.5 J/K
∆SSorg = M cs ln
Ti
∆Sgas = ncp ln
TF
= 163.6 J/K
T0
La variazione di entropia del sistema è quindi ∆Stot = 69.1 J/K.