Esempi studio funzione

Schema da seguire per lo studio di una funzione
Esempi
1. Funzione razionale intera
2. Funzione razionale fratta
3. Funzione razionale fratta
4. Funzione irrazionale
5. Funzione irrazionale
Schema da seguire per uno studio di
funzione:
1. Determinare il campo esistenza(Dominio)
2. Ricerca di eventuali simmetrie
3. Ricerca delle intersezioni con gli assi
4. Determinare il segno della funzione
5. Studio del comportamento della funzione negli estremi del
campo di esistenza e ricerca degli eventuali asintoti.
6. Studio della derivata prima e, se necessario, della derivata
seconda, per determinare gli intervalli in cui la funzione è
crescente, decrescente, se ha massimi o minimi relativi,
flessi
7. Tracciare il grafico.
Studio
Studiare la funzione :y
= x3 – 3x
Dominio :Tutto l’asse reale (non ci sono né frazioni,
né radicali, né logaritmi)
Intersezioni con gli assi:Asse x :(-,0);(0,0);
(+,0) ; Asse y : (0,0)(Calcoli)
Segno :Positivo per -x < 0 e per x >  ;negativo
negli altri intervalli. (Calcoli)(Grafico)
Asintoti :Non ci sono asintoti. (Calcoli)
Studio derivata :y’= 3x2 – 3 = 3(x2 – 1)
y’=0 per x =
relativo
y’>0 per x <
è crescente.
y’<0 per –1<
decrescente.
 1 x=-1 ;Massimo relativo; x=1 minimo
- 1 ed
x > 1 ;Intervalli dove la funzione
x < - 1;Intervallo dove la funzione è
(Grafico)
Grafico finale
Studio
Studiare la funzione
x2 – 3x
:y =
x+1
Dominio :x -1(due intervalli x<-1 ed x>-1)
Intersezioni con gli assi:Asse x :(0,0);(3,0);
Asse y : (0,0)(Calcoli)
Segno :Positivo per -1x < 0 e per x >  ;negativo
negli altri intervalli. (Calcoli)(Grafico)
Asintoti :Verticale: x=-1 Obliquo : y=x-4.
Studio derivata :y’=
x2+2x-3
(Calcoli) (Grafico)
(x+1)2
y’=0 per x = -3 e per x=1 x=-3 ;Massimo relativo; x=1
minimo relativo
y’>0 per x < - 3 ed x > 1 ;Intervalli dove la funzione
è crescente.
y’<0 per –3< x < 1;Intervallo dove la funzione è
decrescente.(Grafico)
Grafico finale
Studio
Studiare la funzione
4x2 – 1
:y =
4x2-4
Dominio :x 1(tre intervalli x<-1 –1<x<1 ed x>-1)
Intersezioni con gli assi:Asse x:(-1/2,0);(1/2,0);
Asse y : (0,1/4)(Calcoli)
Segno :Negativo per -1x < -1/2 e per –1/2<x<1 ;
Positivo negli altri intervalli. (Calcoli)(Grafico)
Asintoti :Verticali: x=-1; x=1 Orizzontale : y=1.
(Calcoli) (Grafico)
Studio derivata :
y’=
-24x
(4x2-4)2
y’=0 per x = 0; Massimo relativo;
y’>0 per x < 0;Intervallo dove la funzione è crescente.
y’<0 per x > 0;Intervallo dove la funzione è decrescente.
(Grafico)
Grafico finale
Studio
Studiare la funzione :y
= 1-x2
Dominio : 1-x20 verificata per –1 x 1
Intersezioni con gli assi:Asse x:(-1,0);(1,0);
Asse y : (0,1)(Calcoli)
Segno :Sempre positivo (Grafico)
Asintoti :Non ci sono asintoti.
(Calcoli) (Grafico)
Studio derivata :
y’=
-x
1-x2)
y’=0 per x = 0; Massimo relativo;
y’>0 per x < 0;Intervallo dove la funzione è crescente.
y’<0 per x > 0;Intervallo dove la funzione è decrescente.
(Grafico)
Grafico finale
Studio
Studiare la funzione :y=
x2 – 1
x2-4
Dominio :x -2 ;-1x 1;x> 2(Calcoli)(Grafico)
Intersezioni con gli assi:Asse x:(-1,0);(1,0);
Asse y : (0,1/2)(Calcoli)
Segno.Dove la funzione esiste sempre positivo, proprio
perché è un radicale di indice pari.(Grafico)
Asintoti :Verticali: x=-2; x=2 Orizzontale : y=1.
(Calcoli) (Grafico)
Studio derivata :
y’= -3x
(x2-4)2
x2-4
x2 –1
(Calcoli)
y’=0 per x = 0; Massimo relativo;
y’>0 per x < 0;Intervallo dove la funzione è crescente.
y’<0 per x > 0;Intervallo dove la funzione è decrescente.
(Grafico)
Grafico finale
Studio