Teoria della relatività-5
10 novembre 2014
Trasformazionie dell’energia e della QM
Trasformazione della densita` di corrente e di carica
Invarianza delle eqq. di Maxwell
Trasformazioni dei campi E e B tra sistemi inerziali
Tensore del campo elettromagnetico
Trasformazioni di p e E
• Si può dimostrare che le tre componenti della
QM e l’energia si trasformano come le tre
coordinate e il tempo
v
px ' px c 2 E
py ' py
p ' p
z
z
E ' E vp x
2
Trasformazioni di p e E
• Introducendo la variabile p0=E/c, e dette p1=px, p2=py,
p3=pz, abbiamo la forma più simmetrica
p0 ' p0 p1
p ' p p
1
0
1
p2 ' p2
p3 ' p3
• Nello spazio-tempo la quaterna (p0, p1, p2, p3) è un
4-vettore e le TdL ne trasformano le componenti tra loro,
in particolare ‘mescolano’ QM ed energia
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Trasformazioni di j e
• Si può dimostrare che anche le tre componenti del
vettore densità di corrente j e la densità di carica
formano un 4-vettore dello spazio-tempo
• Le eqq. di trasformazione sono quindi
j ' j v
x
x
j y ' j y
j z ' j z
v
' 2 j x
c
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Invarianza delle eqq. di Maxwell
• Dal principio di relatività possiamo concludere
che le eqq. di Maxwell devono avere la
stessa forma in ogni sistema di riferimento
inerziale, devono cioè essere invarianti
• Vediamo come da questa affermazione
possiamo ricavare le leggi di trasformazione
dei campi E e B tra due sistemi inerziali
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Invarianza delle eqq. di Maxwell
• Per invarianza intendiamo che se nel sistema S sono
presenti i campi E e B e le eqq. sono
B
E
t
E 0
B 0 J 0 0
E
t
B 0
• allora
nel sistema S’ sono presenti i campi E’ e B’, e
le eqq. devono essere
B'
E '
' E '
' B' 0 J '0 0
t'
t'
' E ' ' 0
' B' 0
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Trasformazioni di E e B
• Per semplicità consideriamo le eq. in cui non
compaiono e J, e usiamo le componenti cartesiane
E z E y
B
x
y
z
t
By
E x E z
z
x
t
E y E x
Bz
x
y
t
Bx By Bz
0
x y z
• Nella trasformazione di coordinate, dobbiamo
scoprire come esprimere gli operatori differenziali e la
derivata rispetto al tempo
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Trasformazioni di E e B
• Vediamo come si trasforma la derivata rispetto a x
x' y' z' t'
x x x' x y' x z' x t'
• Dalle trasformazioni di Lorentz
x'
y' z'
t'
v
0
2
x x
x
c
x
v
• Ne segue
2
x' c t'
x
• Allo stesso
modo si trova
v
t'
t
x'
z z'
y y'
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Trasformazioni di E e B
• L’eq. di Faraday diviene
Bx
E z E y
Bx
v
t'
y' z'
x'
By
E z v E z
By
E x
2
v
z'
x' c t'
x'
t'
E y v E y E x
Bz
Bz
2
v
x'
c
t'
y'
t'
x'
• E l’eq. di Gauss per B
Bx v Bx By Bz
2
0
x' c t' y' z'
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Trasformazioni di E e B
• Raggruppiamo i termini nella componente y dell’eq.
di Faraday
E x
v
E z vBy B y 2 E z
z ' x'
t '
c
• E imponiamo la condizione di invarianza alla
componente y’ del sistema S’
B'y
E'x E'z
z'
x'
t'
• Dal confronto delle due eqq. ne segue
E'x
E x
E'z E z vBy
v
B'y By 2 E z
c
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Trasformazioni di E e B
• Possiamo ripetere il calcolo per la componente z
E y v E y E x
Bz
Bz
2
v
t'
x'
x' c t' y'
• E imporre la condizione di invarianza alla
componente z’ del sistema S’
E'y
B'z
E'x
x'
y'
t'
• Dal confronto delle due eqq. ne segue
E'x E
x
E'y E y vBz
v
B'z Bz 2 E y
c
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Trasformazioni di E e B
• Infine dalla componente z della legge di Faraday
e dalla legge di Gauss
Bx
E z E y
Bx
v
t'
y' z'
x'
Bx v Bx By Bz
2
0
x' c t' y' z'
• troviamo la legge di trasformazione di Bx
B'x Bx
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Trasformazioni di E e B
• Riassumendo
Ex ' Ex
E y ' E y vBz
E ' E vB
z
y
z
B ' B
x
x
v
By ' By 2 Ez
c
v
Bz ' Bz 2 E y
c
• Cioè le componenti del campo E in S dipendono
sia dalle componenti di E’ che di B’ in S’
• Idem per le componenti del campo B
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Trasformazioni di E e B
• In forma vettoriale
E// ' E//
E ' E v B
B// ' B//
v
B ' B c 2 E
• ove // e si
riferiscono
al
vettore velocità
• Nota: v B v B// B v B
• Questa forma può essere applicata anche ad altri
sistemi di riferimento (p.e. cilindrico)
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Relazioni tra E e B
• L’esempio classico della relazione tra un campo E e un
campo B in due sistemi di riferimento è quello di una
particella carica a distanza r da un filo percorso da
corrente
• Mettiamoci nel sistema S in cui il filo e` fermo, c’è una
corrente i dovuta a elettroni e una particella (q>0) in moto
con velocità v rispetto al filo
v
S
i-
Fm
B
• In S c’è campo magnetico e una forza magnetica radiale
i ˆ
0 i
ˆ
B 0
F
qv
Fm qv B qvBr
m
2 r
2 r
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Relazioni tra E e B
• Il filo è elettricamente neutro, quindi la densità degli
elettroni (in moto) e quella degli ioni positivi (fermi) è
uguale e contraria
0
• Mettiamoci ora nel sistema S’ in moto parallelamente
al filo con velocità v, di modo che la particella risulti
(anche se per un solo istante) ferma
• In S’ nonc’è forza magnetica (la particella è
istantaneamente ferma)
S’
i’
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Relazioni tra E e B
• Vediamo qual è la densità di carica nel filo
• Dalle eqq. di trasformazione di j e , moltiplicando
per la sezione a del filo, otteniamo
j x ' a j x a va
j 'a j a 0
y
y
jz ' a jz a 0
' a a v j x a
c2
i' i v
v
' 2 i
c
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Relazioni tra E e B
• Per la carica positiva e negativa avremo
rispettivamente le densità
v
v
' 2 i
' 2 i
c
c
• e in totale una densità negativa per il filo
v
v
v
' ' ' 2 i 2 i 2 i
c
c
c
• In S’ esiste quindi un campo elettrico e una forza
elettrica radiale diretta verso il filo
1 '
S’
F’e
F 'e q
2 0 r
rˆ
i’
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Relazioni tra E e B
• Sostituiamo il valore della densità di carica
1 '
1 v i
1
i
F' e q
q
0 0v
2 q
2 0 r
2 0 c r 2 0
r
0 i
qv
qvB Fm
2 r
• Cioè mentre in S c’è un campo magnetico, ma non un
campo elettrico e quindi c’è solo una forza magnetica Fm,
in S’, c’è un campo magnetico, ma non una forza
magnetica, c’è inoltre un campo elettrico e quindi una
forza elettrica F’e
• Queste due forze: Fm (in S) e F’e (in S’) si corripondono
mediante le eqq. di trasformazione delle forze (che non
abbiamo ricavato) e che nel nostro caso si riducono al
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fattore motiplicativo
Tensore del campo e.m.
• In relatività l’intima relazione tra i campi E e B viene
resa palese
• Si può infatti pensare alle tre componenti del campo
E e alle tre di B come le sei componenti di un unico
ente più complesso, il quadri-tensore (antisimmetrico)
del campo elettromagnetico
F
0
Ex
Ey
Ez
Ex
0
cBz
cB y
Ey
cBz
0
cBx
Ez
cB y
cBx
0
20
