Riferimenti bibliografici:
• Levine D., Krehbiel T., Berenson (2006) :
Statistica, Apogeo, Milano.
• Piccolo, D. (2001): Statistica, Il Mulino,
Bologna.
Lezione 2
Probabilità
Insegnamento: Statistica
Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Facoltà di Scienze, Università di Ferrara
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Argomenti
Caratteristiche degli esperimenti probabilistici
Assiomatizzazione della probabilità e
formalizzazione degli eventi
Impostazione classica e frequentista
I postulati del Calcolo delle Probabilità
Probabilità condizionata ed indipendenza stocastica
Teorema di Bayes
Esemplificazioni del calcolo delle probabilità
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Caratteristiche degli esperimenti probabilistici
I fenomeni di cui si occupa il Calcolo delle probabilità
riguardano le scienze fisiche, naturali, umane e forniscono
esiti così differenti tra loro che risulta impossibile fornirne
una completa elencazione. Tutti questi fenomeni però
possiedono elementi caratteristici in comune: l’incertezza del
risultato, la ripetibilità dell’esperimento e l’equiprobabilità
dei risultati.
L’incertezza del risultato deriva dal fatto che nelle situazioni
esaminate sono possibili più esiti: tali risultati sono elencabili
(ad esempio le sei facce del dado,i possibili voti in trentesimi
di un esame universitario,etc.) oppure possono essere
concettualmente assimilati a tutti i numeri inclusi in un
intervallo reale (ad esempio il tasso d’inflazione del 2008, la
durata di funzionamento di una lampadina, etc.)
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Caratteristiche degli esperimenti probabilistici
La
ripetibilità dell’esperimento rende lecito
chiedersi se quell’esito si verificherà nuovamente in
circostanze diverse o simili. In senso stretto un
esperimento reale è sempre fisicamente irripetibile, di
conseguenza si considerano gli esperimenti come se
fossero stati ripetuti nelle medesime condizioni in
rapporto a quegli elementi essenziali che interessano
lo studioso, lo scienziato o il giocatore.
L’equiprobabilità dei risultati assicura l’indifferenza
rispetto al verificarsi di ciascuno degli esiti possibili,
nel senso che non esistono motivi per attribuire
maggiore fiducia al presentarsi di un risultato anziché
di un altro.
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Assiomatizzazione della probabilità
Al fine di fornire una costruzione assiomatica del calcolo
delle probabilità è necessario individuare quelli che sono
considerati i concetti primitivi e procedere ad una loro
formalizzazione. I concetti primitivi sono: prova, evento
e probabilità.
Per prova si intende ogni esperimento soggetto ad
incertezza, la quale, nei casi più complessi, può essere
articolata in fasi successive che si definiscono sottoprove
ciascuna delle quali deve essere ben definita in quanto
prova.
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Assiomatizzazione della probabilità
Per evento si intende uno dei possibili risultati della prova.
Esso consiste nella descrizione precisa ed esauriente delle sue
caratteristiche in rapporto alla natura e allo svolgimento della
prova. Le prove di cui si interessa il Calcolo delle Probabilità
sono quelle soggette ad incertezza, di conseguenza esiste
sempre una pluralità di eventi come possibili risultati di una
prova. Da questo punto di vista, ne consegue che una prova è
ben definita se son ben definiti tutti gli eventi cui essa può dar
luogo.
Infine per probabilità si intende un numero associato al
verificarsi di un evento: tale affermazione non definisce la
probabilità ma circoscrive l’uso che ne faremo, evidenziando
in che senso essa sia associata al risultato di una prova.
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Assiomatizzazione della probabilità
è lo spazio campione cioè l’insieme costituito da tutti i
risultati di una prova.
L’ interesse dello studioso è rivolto non al singolo evento ma
ad un raggruppamento di eventi, in genere tale
raggruppamento viene denominato come evento (E) mentre
un evento singolo viene denominato evento elementare (e).
Definiamo negazione dell’evento E quell’evento che si verifica
quando non si verifica E e lo indichiamo con E
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Assiomatizzazione della probabilità
è un evento che si verifica sempre, quindi lo spazio
campione è l’evento certo mentre la sua negazione
è
l’evento impossibile.
(Kolmogorov (1933)): Gli eventi formano un algebra di Boole completa.
In generale un algebra è un insieme di enti, di operazioni e di regole per
collegare gli elementi della stessa algebra, ne segue che l’algebra degli eventi
sarà, quindi, una struttura formale per collegare gli eventi tra loro.
In particolare una collezione di eventi è un algebra di Boole completa se è
chiusa rispetto all’unione ed alla negazione di una quantità numerabile di
eventi.
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Assiomatizzazione della probabilità
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Impostazione classica
Vantaggio principale:
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Impostazione classica
Alcuni limiti:
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Impostazione frequentista
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I postulati del Calcolo delle Probabilità
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Alcuni teoremi utili
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Alcuni teoremi utili
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Alcuni teoremi utili
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Alcuni teoremi utili
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Probabilità condizionata
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Indipendenza probabilistica (o indipendenza stocastica)
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La misura di probabilità per partizioni discrete
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La misura di probabilità per partizioni continue
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Il teorema di Bayes
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Il teorema di Bayes
In quanto il denominatore del teorema di Bayes (cioè la probabilità di E) non
varia con i=1,2,...,m quindi funge da costante di normalizzazione.
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Esempio 1
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Esempio 2
Il responsabile marketing di una società che produce
giocattoli sta analizzando le chance sul mercato di un nuovo
gioco.
Nel passato della compagnia solo il 40% dei nuovi
giocattoli ha avuto successo di mercato, mentre il restante
60% non ha ottenuto un riscontro positivo.
L’80% dei giocattoli di successo avevano ricevuto un
previo giudizio positivo da parte degli esperti di marketing
della società, contro il solo 30% dei giocattoli poi rivelati
fallimentari sul mercato.
Qual è la probabilità che il nuovo giocattolo sarà premiato
dal mercato, sapendo che gli esperti di marketing della società
lo hanno valutato positivamente?
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Applicazione del teorema di Bayes
F = “giudizio positivo del marketing”; F’= “giudizio negativo del di
marketing”
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Alcune esemplificazioni del calcolo delle probabilità
1. Individuare correttamente la prova e tutti gli eventi elementari di cui si compone,
distinguendo tra prove semplici e prove composte.
2. Assegnare le probabilità agli eventi elementari seguendo le formalizzazioni
proposte: i) per partizioni finite di eventi ii) per partizioni numerabili di eventi iii)
partizioni non numerabili di eventi.
3. Controllare che le assegnazioni rispettino i postulati.
4. Esplicitare l’evento E di cui si desidera calcolare la probabilità mediante l’unione,
l’intersezione, la negazione degli eventi elementari di cui si compone in numero
finito o numerabile.
5. Possono quindi verificarsi solo tre casi:
1. Evento E costituito dall’unione di eventi elementari
2. Evento E costituito dall’intersezione di eventi elementari
3. Evento E costituito dalla negazione di eventi elementari
6. Qualora l’evento E derivi da più sottoprove occorre verificarne
l’indipendenza
7. Controllare la coerenza dei risultati, ad esempio calcolando in modo
indipendente la probabilità di altri eventi
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Riferimenti bibliografici principali
• Piccolo, D. (2000): Statistica, Il Mulino, Bologna.
• Kolmogorov, A.N. (1933): Foundations of the Theory of
Probability, New York, Chelsea Publishing Co. Seconda
edizione inglese 1956.
• Levine D., Krehbiel T., Berenson (2006) : Statistica, Apogeo,
Milano.
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