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DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE
Iterazione Vs Ricorsione
Marco D. Santambrogio – [email protected]
Ver. aggiornata al 28 Dicembre 2013
Obiettivi
DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE
•
•
•
•
Induzione matematica
Iterazione
Cosa significa “ricorsivo”
Iterazione Vs ricorsione
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L’induzione matematica
DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE
• Si usa nelle definizioni e nelle dimostrazioni
• Definizione: numeri pari
 1) 0 è un numero pari
 2) se n è un numero pari anche n+2 è un numero
pari
• Dimostrazione: dimostro che (2n)2=4n2
(distributività della potenza di 2 risp. alla moltiplicazione)
 1) n=1 : vero
 2) suppongo sia vero per k, lo dimostro per k+1:
(2(k+1))2=(2k+2)2=(2k)2+8k+4= (per hp di induzione) 4k2
+8k+4 = 4(k2 +2k+1) = 4(k+1)2
 1) è il passo base, 2) è il passo di induzione
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Il tacchino induttivista
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• Un tacchino induttivista viene allevato in una
fattoria del Maine (USA)
• Ogni giorno alle 7am Mr Jones porta il cibo al
tacchino induttivista
• Il tacchino segue il seguente ragionamento:
 Il giorno 1 Mr Jones mi ha portato il cibo @ 7am
 Ieri era il giorno “n” e Mr Jones mi ha portato il
cibo @ 7am
 Oggi è il giorno “n+1” ed il cibo è arrivato
 Tutti i giorni @l 7am Mr Jones mi porterà il cibo
• … Thanksgiving
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Iterazione e ricorsione
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• Sono i due concetti informatici che
nascono dal concetto di induzione
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Iterazione
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• L’iterazione si realizza mediante la
tecnica del ciclo
• Il calcolo del fattoriale:
 0!=1
 n!=n(n-1)(n-2)….1 (realizzo un ciclo)
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Iterazione
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• Il calcolo del fattoriale mediante una
tecnica iterativa:
function [f]=fact(n)
f=1;
for i=1:n
f=f*i;
end
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La ricorsione
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• Dal latino re-currere
 ricorrere, fare ripetutamente la stessa
azione
• In informatica: si tratta di
procedure/funzioni che richiamano se
stesse
• Il concetto di ricorsione viene usato nel
contesto di:
 algoritmi
 strutture dati
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“Flusso” di lavoro
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• Il programmatore formula l’algoritmo dal
generale al particolare
 Si descrivono la funzione sulla globalità dei
dati in termini della funzione stessa sui dati
disgregati
• L’algoritmo viene poi eseguito dal
particolare al generale
 Vengono infatti lasciate in sospeso le
operazioni globali e il calcolo vero e proprio
inizia dai dati atomici
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Definizione ricorsiva del fattoriale
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1) n!=1
se n=0
2) n!= n*(n-1)! se n>0
 riduce il calcolo a un calcolo più semplice
 ha senso perché si basa sempre sul fattoriale
del numero più piccolo, che io conosco
 ha senso perché si arriva a un punto in cui
non è più necessario riusare la def. 2) e
invece si usa la 1)
 1) è il passo base, 2) è il passo di ricorsione
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Algoritmo ricorsivo per fattoriale
DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE
function [f]=factRic(n)
if (n==0)
f=1;
else
f=n*factRic(n-1);
end
•Quando si può dire che una ricorsione è ben
definita?
 Informalmente: se ogni volta che applico la ricorsione
sono significativamente più vicino al passo base, allora
la definizione non è circolare.
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Esempio di traccia
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• Calcoliamo il fattoriale di 4:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
4=0? No: calcoliamo il fattoriale di 3 e molt. per 4
3=0? No: calcoliamo il fattoriale di 2 e molt. per 3
2=0? No: calcoliamo il fattoriale di 1 e molt. per 2
1=0? No: calcoliamo il fattoriale di 0 e molt. per 1
0=0? Si: il fattoriale di 0 è 1. Risaliamo:
il fattoriale di 1 è 1 per il fattoriale di 0 cioè 1*1=1
il fattoriale di 2 è 2 per il fattoriale di 1 cioè 2*1=2
il fattoriale di 3 è 3 per il fattoriale di 2 cioè 3*2=6
il fattoriale di 4 è 4 per il fattoriale di 3 cioè 4*6=24
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Gestione a pila degli ambienti locali delle
funzioni
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factRic
n:3
f:..
n:0
f:..
factRic
n:1
f:..
factRic
n:1
f:..
factRic
n:2
f:..
factRic
n:2
f:..
factRic
n:2
f:..
factRic
n:3
f:..
factRic
n:3
f:..
factRic
n:3
f:..
(2)
(1)
(4)
(3)
factRic
n:0
f:1
factRic
n:1
f:..
factRic
n:1
f:1
factRic
n:2
f:..
factRic
n:2
f:..
factRic
n:2
f:2
factRic
n:3
f:..
factRic
n:3
f:..
factRic
n:3
f:..
(5)
factRic
(6)
(7)
factRic
n:3
f:6
(8)
Ambienti locali gestiti in modo LIFO (Last In First Out)
Cancellati in ordine inverso a quello un cui sono stati creati
Si usa una struttura di dati detta PILA
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Altri esempi di funzioni ricorsive
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• I numeri di Fibonacci (dinamiche di
popolazione)
• Il Massimo Comun Divisore (algoritmo
di Euclide)
• Il problema delle torri di Hanoi
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Fibonacci
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• Leonardo Fibonacci
 Matematico italiano
 Compie numerosi viaggi e
assimila le conoscenze
matematiche del mondo arabo,
 Nel 1202 pubblica: il Liber
abaci
 Con Liber abaci si propose di
diffondere nel mondo scientifico
occidentale le regole di calcolo
note agli Arabi
• il sistema decimale
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Il problema dei “conigli”
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“Un tale mise una coppia di conigli
in un luogo completamente
circondato da un muro, per scoprire
quante coppie di conigli
discendessero da questa in un anno:
per natura le coppie di conigli
generano ogni mese un'altra coppia
e cominciano a procreare a partire
dal secondo mese dalla nascita.”
L. Fibonacci da Liber Abaci
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I numeri di Fibonacci
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Idea di base
1) fib(n)=1 se n=0 opp. n=1
2) fib(n)= fib(n-1) + fib(n-2) se n>1
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I numeri di Fibonacci
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1) fib(n)=1 se n=0 opp. n=1
2) fib(n)= fib(n-1) + fib(n-2) se n>1
Vengono usati per modellare la crescita di animali per
diverse generazioni
function [f]=fib (n)
if n==1 | n==2
f = 1;
else
f = fib(n - 2) + fib(n - 1);
end
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Il MCD
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Definizione:
1) MCD(m,n)=m se m=n
2a) MCD(m,n)= MCD(m-n,n) se m>n
2b) MCD(m,n)=MCD(m,n-m) se n>m
esempio:
MCD(21,56) = MCD(21,35) =
MCD(21,14)=
= MCD(7,14) = MCD(7,7) = 7
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IL MCD
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Iterativo:
function [M]=MCDeuclid(m,n)
while m ~= n
if m>n
m=m-n;
else
n=n-m;
end
end
M=m;
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IL MCD
DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE
Iterativo:
function [M]=MCDeuclid(m,n)
while m ~= n
if m>n
m=m-n;
else
n=n-m;
end
end
M=m;
Ricorsivo:
function [M]=MCDeuclidRic(m,n)
if m==n
M=m;
else if m>n
M = MCDeuclidRic(m-n,n);
else
M = MCDeuclidRic(m,n-m);
end
end
• Attenzione alla condizione di terminazione!!!!!
• N.B. è sempre possibile trovare un corrispondente
iterativo di un programma ricorsivo!!!
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Un problema interessante:
La torre di Brahma
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La leggenda
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• Narra la leggenda che all'inizio dei tempi, Brahma portò nel
grande tempio di Benares, sotto la cupola d'oro che si trova al
centro del mondo, tre colonnine di diamante e sessantaquattro
dischi d'oro, collocati su una di queste colonnine in ordine
decrescente, dal più piccolo in alto, al più grande in basso.
• E' la sacra Torre di Brahma che vede impegnati, giorno e notte, i
sacerdoti del tempio nel trasferimento della torre di dischi dalla
prima alla terza colonnina.
• Essi non devono contravvenire alle regole precise, imposte da
Brahma stesso, che richiedono di spostare soltanto un disco alla
volta e che non ci sia mai un disco sopra uno più piccolo.
• Quando i sacerdoti avranno completato il loro lavoro e tutti
i dischi saranno riordinati sulla terza colonnina, la torre e il
tempio crolleranno e sarà la fine del mondo.
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Le torri di Hanoi
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http://www.cs.cmu.edu/~cburch/survey/recurse/hanoi.html
Problema: spostare tutti i dischi dalla torre A alla torre B
(usando la torre C come “supporto intermedio”) in modo
che si trovino nello stesso ordine
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Le torri di Hanoi
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• Scriveremo una funzione ricorsiva che
prende come parametro il numero del disco
più grande che vogliamo spostare (da 0 a 5
come nel disegno)
• La funzione prenderà anche tre parametri
che indicano:
 da quale asta vogliamo partire (source),
 a quale asta vogliamo arrivare (dest),
 l’altra asta, che possiamo usare come supporto
temporaneo (spare).
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L’idea di base
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• Voglio spostare n anelli dal piolo sorgente,
a quello destinazione, usando come
appoggio il piolo ausiliario
 Devo quindi prima spostare n - 1 anelli dal
sorgente all'ausiliario, usando come appoggio
il piolo destinazione
 Poi sposto l'unico anello rimasto dal sorgente
al piolo destinazione
 Infine sposto gli n - 1 anelli che si trovano
sull'ausilliario all'anello destinazione..
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L’uso della ricorsione
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• Quando si spostano gli n - 1 anelli la funzione
hanoi richiama se stessa, cioè effettua una
chiamata ricorsiva, semplificando però il
problema perché bisogna spostare un numero
di anelli inferiore.
• In pratica, con la ricorsione il problema viene
continuamente ridotto di complessità fino alla
soluzione banale in cui rimane solo un anello,
che viene semplicemente spostato nel piolo
destinazione.
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Le torri di Hanoi: strategia
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Ridurremo il problema a quello di spostare 5 dischi dalla torre C
alla torre B, dopo che il disco 5 è stato già messo nella posizione
giusta
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Le torri di Hanoi: pseudocodice
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FUNCTION MoveTower(disk, source, dest, spare):
IF disk == 0, THEN:
move disk from source to dest
ELSE:
MoveTower(disk - 1, source, spare, dest)
/* (Passo 1) */
move disk from source to dest
//
/* (Passo 2) */
MoveTower(disk - 1, spare, dest, source)
//
/* (Passo 3) */
END IF
Nota: l’algoritmo aggiunge un caso base: quando il disco è il più
piccolo (il numero 0). In questo caso possiamo muoverlo
direttamente perché non ne ha altri sopra. Negli altri casi,
seguiamo la procedura descritta per il disco 5.
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Soluzione in codice MATLAB con simulazione
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function []=hanoi(n, da, a, per)
if (n>1) hanoi(n-1, da, per, a); end;
fprintf('\n sposta un disco dal piolo %d al piolo %d \n', da, a);
if (n>1) hanoi(n-1, per, a, da); end;
hanoi(3, 1, 2, 3)
hanoi(2, 1, 3, 2)
hanoi(1, 1, 2, 3)
hanoi(2, 3, 2, 1)
hanoi(1, 2, 3, 1)
>> hanoi(3, 1, 2, 3)
sposta un disco dal
sposta un disco dal
sposta un disco dal
sposta un disco dal
sposta un disco dal
sposta un disco dal
sposta un disco dal
>>
piolo
piolo
piolo
piolo
piolo
piolo
piolo
hanoi(1, 3, 1, 2)
1
1
2
1
3
3
1
al
al
al
al
al
al
al
piolo
piolo
piolo
piolo
piolo
piolo
piolo
hanoi(1, 1, 2, 3)
2
3
3
2
1
2
2
30
Fonti per lo studio + Credits
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• Fonti per lo studio
 Introduzione alla programmazione in
MATLAB, A.Campi, E.Di Nitto, D.Loiacono,
A.Morzenti, P.Spoletini, Ed.Esculapio
• Capitolo 4
– Particolare attezione al 4.5
• Credits
 Prof W. Fornaciari
 Prof. A. Morzenti
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