file

L’omotetia
DEFINIZIONE. Dato un punto O ed un numero reale k, si dice
omotetia di centro O e rapporto k, quella trasformazione del piano
che associa ad ogni punto A il corrispondente punto A’ tale che
• i punti O, A e A’ siano allineati
• il rapporto
OA¢
è uguale alla costante k
OA
Omotetia inversa
Se i punti A e A’ sono disposti dalla stessa parte rispetto ad O,
l’omotetia si dice diretta.
DEFINIZIONE. Se i punti A e A’ sono disposti da parti opposte
rispetto ad O, l’omotetia si dice inversa.
Le trasformazioni non isometriche
1
Le proprietà delle figure omotetiche
Consideriamo, ad esempio, i triangoli ABC e A’B’C’ che si corrispondono in un’omotetia diretta (a)
e inversa (b) di centro O e caratteristica k = 1
. Notiamo che:
3
 i lati corrispondenti dei due triangoli sono paralleli e di conseguenza gli angoli corrispondenti
nei due triangoli sono congruenti;
 i lati corrispondenti non sono congruenti, ma il loro rapporto è sempre pari al valore di k.
Le trasformazioni non isometriche
2
Le proprietà delle figure omotetiche
PROPRIETÀ. L’omotetia, diretta ed inversa, fra due figure stabilisce una corrispondenza biunivoca
tra i punti del piano che:
• mantiene il parallelismo tra i lati lasciando quindi inalterata l’ampiezza degli angoli;
• cambia le misure dei lati corrispondenti, secondo un rapporto costante uguale alla
caratteristica.
In sintesi:
il parallelismo fra i lati
Omotetia
la posizione nel piano e la misura dei lati
Le trasformazioni non isometriche
3
Le proprietà delle figure omotetiche
Consideriamo i triangoli ABC e A’B’C’ che si
corrispondono in un’omotetia diretta di centro
O e caratteristica k = 3
In questo caso il triangolo ottenuto rappresenta
un ingrandimento del triangolo ABC.
In generale è possibile dire che:
PROPRIETÀ. Le dimensioni di una figura in una omotetia (diretta o inversa) dipendono dal valore del
rapporto:
• per k > 1 si ottiene un ingrandimento;
• per k < 1 si ottiene un rimpicciolimento.
Le trasformazioni non isometriche
4
La similitudine
DEFINIZIONE. La similitudine è una trasformazione geometrica che si ottiene applicando alla
stessa figura e in successione un’isometria ed un’omotetia (o viceversa). Le figure che si
corrispondono in questo tipo di trasformazione si dicono simili.
Consideriamo le seguenti figure ottenute componendo:
• una traslazione di vettore v1 con un’omotetia
di centro O e k =
• un’omotetia diretta di centro O e k = 2 con
una simmetria assiale di asse a.
1
2
In entrambi i casi i due triangoli ABC e A”B”C” hanno gli angoli congruenti, mentre si è modificata
la lunghezza dei lati corrispondenti che tuttavia mantengono un rapporto costante.
Le trasformazioni non isometriche
5
La similitudine
PROPRIETÀ. La similitudine è una trasformazione geometrica che lascia immutate le ampiezze
degli angoli, ma varia la lunghezza dei segmenti corrispondenti secondo un rapporto costante che si
chiama rapporto di similitudine e si indica con k.
In sintesi:
la lunghezza dei segmenti
Similitudine
la congruenza fra gli angoli
DEFINIZIONE. Due o più poligoni si dicono simili quando hanno gli angoli ordinatamente congruenti
e le misure dei lati omologhi legate da un rapporto costante.
Le trasformazioni non isometriche
6
I criteri di similitudine dei triangoli
Consideriamo due triangoli ABC e A’B’C’ in cui poniamo le condizioni
A = A’ ;
B = B’ ;
C = C’
Se misuriamo i lati corrispondenti e calcoliamo i loro rispettivi
rapporti, troveremo che sono in proporzione ovvero che hanno lo
stesso rapporto:
A’B’ : AB = B’C’ : BC = C’A’ : CA = k
Possiamo concludere che:
1° CRITERIO DI SIMILITUDINE. Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente
congruenti.
Le trasformazioni non isometriche
7
I criteri di similitudine dei triangoli
Consideriamo due triangoli ABC e A’B’C’ in cui poniamo le condizioni
A = A’
A’B’ : AB = A’C’ : AC = k
Se misuriamo con il goniometro le altre due coppie di angoli
corrispondenti troveremo che:
B = B’
C = C’
Calcolando il rapporto tra l ’ altra coppia di lati omologhi,
troveremo che anche quest’ultima ha lo stesso rapporto delle
prime due coppie di lati omologhi:
B’C’ : BC = A’B’ : AB = A’C’ : AC = k
Possiamo dedurre che:
2° CRITERIO DI SIMILITUDINE. Due triangoli sono simili se hanno due lati proporzionali e l’angolo
fra essi compreso congruente.
Le trasformazioni non isometriche
8
I criteri di similitudine dei triangoli
Consideriamo due triangoli ABC e A ’ B ’ C ’ in cui poniamo la
condizione
A’B’ : AB = B’C’ : BC = A’C’ : AC = k
Se misuriamo con un goniometro l’ampiezza degli angoli, vedremo che quelli corrispondenti hanno
la stessa ampiezza:
A = A’ ;
B = B’ ;
C = C’
Possiamo dedurre che:
3° CRITERIO DI SIMILITUDINE. Due triangoli sono simili se hanno i lati corrispondenti in
proporzione.
Le trasformazioni non isometriche
9
Il teorema della parallela al lato di un triangolo
TEOREMA. In un triangolo, una parallela ad un lato
individua un nuovo triangolo simile a quello dato e divide i
lati intersecati in segmenti direttamente proporzionali.
In simboli:
AD : DC = BE : EC
Una conseguenza di tale teorema è che:
TEOREMA. La parallela ad un lato di un triangolo condotta
per il punto medio di un altro lato divide il terzo lato in due
segmenti congruenti.
Le trasformazioni non isometriche
10
Il teorema delle altezze corrispondenti di due triangoli simili
TEOREMA. In due triangoli simili le altezze sono proporzionali
alle rispettive basi. In simboli:
C’H’ : CH = A’B’ : AB
Le trasformazioni non isometriche
11
I teoremi della similitudine
Il teorema dei perimetri di due poligoni simili
TEOREMA. Il rapporto tra i perimetri di due triangoli simili è uguale al rapporto tra le misure di
due lati corrispondenti; in simboli:
2p( A¢B¢C¢) : 2p( ABC ) = A¢B¢ : AB = k
Più in generale:
TEOREMA. Il rapporto tra i perimetri di due poligoni simili è uguale al rapporto tra le misure di
due lati corrispondenti.
TEOREMA. Tutte le misure lineari corrispondenti di due poligoni simili stanno tra loro nello stesso
rapporto di similitudine.
Le trasformazioni non isometriche
12
Il teorema delle aree di due poligoni simili
Il teorema delle aree di due poligoni simili
TEOREMA. Il rapporto tra le aree di due poligoni simili è uguale
al quadrato del rapporto tra due lati corrispondenti; in simboli:
Area¢ : Area = ( A¢B¢) : ( AB) = k 2
2
2
Ad esempio, considerando la figura a lato,
4
A¢B¢ : AB =
3
Le trasformazioni non isometriche
A( A¢B¢C¢D ¢) 16 æ 4 ö2
=
=ç ÷
A( ABCD )
9 è3ø
13
Il primo teorema di Euclide
 Consideriamo i triangoli rettangoli ABC e AHC. Per il primo criterio
di similitudine i due triangoli sono simili e hanno i lati omologhi in
proporzione, quindi:
AB : AC = AC : AH
 Consideriamo i triangoli ABC e HBC. Per il primo criterio di
similitudine i due triangoli sono simili e hanno i lati omologhi in
proporzione, quindi:
AB : BC = BC : HB
Alla luce delle precedenti proporzioni possiamo enunciare il seguente
TEOREMA. In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la
proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
Le trasformazioni non isometriche
14
Il secondo teorema di Euclide
Consideriamo i triangoli rettangoli AHC e HBC. Essi hanno gli angoli
ordinatamente congruenti
AHC = CHB = 90° CAH = HCB
ACH = HBC
I due triangoli sono dunque simili ed avranno i lati corrispondenti in
proporzione:
AH : HC = HC : HB
Alla luce di questa relazione possiamo enunciare il seguente
TEOREMA. In ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le
proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Le trasformazioni non isometriche
15
Interpretazione geometrica dei teoremi di Euclide
Primo teorema di Euclide
TEOREMA. In un triangolo rettangolo il quadrato
costruito su uno dei due cateti è equivalente ad un
rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la
proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
Secondo teorema di Euclide
TEOREMA. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito
sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente ad un rettangolo
che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Le trasformazioni non isometriche
16