Le equazioni lineari
nella storia
Prof.ssa LUCIA DI ROSA
Albert
Einstein
“ tutto ciò che non si condensa in
un’equazione non è scienza ”
CINESI
ASSIRI BABILONESI
GRECI
Storia delle Equazioni
EGIZIANI
ARABI
OCCIDENTE
EUROPA
Idee e Persone nella storia delle equazioni
La risoluzione delle equazioni risale all’antichità e nasce dall’esigenza di
introdurre un simbolo (incognita) allo scopo di generalizzare e risolvere i
problemi derivanti dagli affari di tutti i giorni e dai bisogni della società.
Dai più antichi documenti che ci sono pervenuti, che vanno dal 2000 al
1600 A.C., si sa che l’Egitto e la Babilonia avevano modi diversi per
indicare l’incognita.
Presso i Greci sia il calcolo letterale, sia l’algebra erano vincolati
all’interpretazione geometrica. Euclide (300 a.C.), ad esempio,
nei suoi Elementi risolve tutti i problemi basandosi esclusivamente su
ragionamenti geometrici.
Ma nel 200 d.C., è sempre un greco ,Diofanto, a dare nuove idee per la
risoluzione di problemi. Egli si stacca dall’appoggio geometrico e dà al
simbolo una sua propria vita.
Portandoci nell’estremo oriente, in manoscritti Cinesi del I e II secolo d.C.,
l’incognita viene indicata con una parola che significa “elemento” e con
una che significa “cosa” che non esprimeva né qualità né quantità.
Si devono al matematico e astronomo arabo al-Khowarizmi (825) sviluppi
significativi nel campo dell’algebra.
È dal 1202 che le conoscenze algebriche degli arabi cominciano a
diffondersi in Europa. Si deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo “Liber
Abaci” il primo utilizzo del termine equazione e delle tecniche risolutive
per le equazioni apprese dagli arabi.
Sitografia
Cronologia
Un classico problema
dell’“Algebra” babilonese
Spesso i Babilonesi richiedevano di determinare due
numeri conoscendone somma e prodotto; ad
esempio: trovare a, b sapendo che la loro somma è 8
ed il loro prodotto è 12.
Posizioni (moderne): a = 4+d e b = 4–d (a+b = 8)
Si ha (solo radici positive): ab = (4+d)(4–d) = 12
d² = 4 da cui d = 2 infine: a = 4+d = 6 e b = 4–d = 2
Tavoletta Babilonese
Non esisteva alcuno strumento simbolico completo
nell’algebra babilonese: soltanto a volte qualche
incognita veniva indicata con simboli speciali.
Dalle tavolette babilonesi risulta che l’incognita si chiamava
“lunghezza” (us)o “larghezza” (sag)o “area” (asa) e queste
designazioni valevano anche se il problema da risolvere non
aveva niente a che fare con la geometria.
Le equazioni egiziane
Nel papiro Rhind risalente al 1650 a.C. si
risolvono alcune equazioni,
quasi tutte di I grado, nelle quali
l’incognita è detta aha (mucchio), con il
“metodo di falsa posizione”,
Più tardi detto regula falsi.
Esempio: determinare il numero
che aggiunto al proprio quinto dà come
somma 48 (x + x/5 = 48).
“Falsa” posizione: x = 5
Papiro di RHIND
(per non avere frazioni nel primo passaggio),
ma non va bene: 5+5/5 = 6 ≠ 48.
Sostituendo x = 5 in x+x/5 si ha 6 e non 48; ma se un
multiplo di 6 è 48, lo stesso multiplo di 5 darà la x.
Per ottenere 48 da 6 si moltiplica il 6 per 8 (6·8 = 48).
Dunque, per ottenere la cercata x da 5 dobbiamo
moltiplicare per 8 (il 5): 5·8 = x cioè: x = 40.
Nella cultura greca i problemi numerici, non dissimili da
quelli presenti ancora oggi nei testi per la scuola
media, non erano ritenuti importanti poiché di natura
applicativa: la vera matematica era la geometria.
Pertanto, presso i Greci sia il calcolo letterale, sia
l'algebra erano vincolati all'interpretazione geometrica.
Già la semplice scrittura della generica equazione di
primo grado,
ax = b era inconcepibile dato che ax, essendo un
prodotto, rappresentava un rettangolo e b un
segmento, e non ha senso uguagliare una figura piana
con una rettilinea. Un'equazione di primo grado poteva
essere, ad esempio, ab = qx, e veniva
espressa nel modo seguente:
"Dato il rettangolo di dimensioni a e b,
determinare un rettangolo a esso equivalente avente
un lato pari a q".
La risoluzione era affidata a una costruzione geometrica
quale la seguente:
EUCLIDE
Diofanto
Diofanto di Alessandria fu l'ultimo dei grandi matematici greco-ellenistici, ed è noto
come il padre dell’algebra. Della sua vita si sa ben poco; la sua nascita va collocata tra il
200 e il 214 d.C., la sua morte tra il 284 e il 298 d.C. Dopo di lui per circa un millennio e
fino a Leonardo Fibonacci lo studio della matematica, almeno in Europa, attraversò un
periodo di grave decadenza.
Diofanto scrisse un trattato sui numeri poligonali e sulle frazioni, ma la sua opera
principale è l'Arithmetica, trattato in tredici volumi dei quali soltanto sei sono giunti fino a
noi. La sua fama è principalmente legata a due argomenti: le equazioni indeterminate ed il
simbolismo matematico.
A Diofanto si deve un famoso problema, che egli stesso volle venisse scritto sulla propria
tomba sotto forma di epitaffio da cui è possibile l’età del grande matematico greco:
Questa tomba rinchiude Diofanto e, meraviglia! dice matematicamente quanto ha vissuto. Un
sesto della sua vita fu l’infanzia, aggiunse un dodicesimo perché le sue guance si coprissero della
peluria dell’adolescenza. Inoltre per un settimo ebbe moglie, e dopo cinque anni di matrimonio
ebbe un figlio. L’infelice morì improvvisamente quando raggiunse la metà dell’età paterna. Il
genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni e raggiunse infine il termine della propria vita.
Si tratta di un problema di primo grado;indicando con x l’età di Diofanto alla morte si ha:
x= 1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + 1/2x + 4
Da cui si deduce che x=84
Diofanto indica:
Con la lettera S l’incognita
Con Δ il quadrato dell’incognita
Con K il cubo dell’incognita
Diofanto dà poi delle regole per la risoluzione
dell’equazione;
Il trasporto di un termine da un membro
all’altro cambiandolo di
segno;
L’eliminazione di termini uguali nei due
membri;
L’opera di Diofanto sarà ,a distanza di secoli, il
punto di partenza per lo sviluppo dell’algebra e
del simbolismo moderno.
In Cina l’algebra è presente dal II sec. d.C. in forma
retorica o sincopata (ideogrammi monosillabici per
quantità e operazioni) con un importante “carattere
posizionale”,come per le (tarde) tecniche moltiplicative.
La tavola da calcolo algebrica cinese era impostata
in modo che determinate posizioni fossero occupate
sempre da particolari tipi di grandezze (incognite,
potenze etc.) e tale convenzione può considerarsi un
importante
artefatto secondario (una “regola del gioco”).
Algebra cinese e “carattere posizionale”
termine noto
coeff. x
coeff. x2
E si noti
l’uso di
bacchette!
Ad esempio, questa tabella (sangi) indica
l’equazione:
851x2−3450x+2691 = 0
(si osservino i diversi colori e l’assenza dello zero)
Calcolo mediante tabelle: Chiu Chang
Consideriamo il problema seguente che riprende, con
variazioni numeriche, un problema del capitolo VIII
(Fang Cheng) del Chiu Chang (precedente al I sec.):
Cinque covoni di grano di tipo A aggiunti a tre covoni
di grano di tipo B hanno il rendimento di 19 sheng.
Tre covoni di grano di tipo A aggiunti a due covoni di
grano di tipo B hanno il rendimento di 12 sheng.
Quali rendimenti hanno un covone di grano di tipo A
e un covone di grano di tipo B?
Oggi indicheremmo rispettivamente con x e con y (in
sheng) i rendimenti di un covone di tipo A e di un
covone di tipo B ed imposteremmo un sistema…
Suang Fa Thung Tsung, 1593
Il procedimento precedente può essere
riprodotto con le bacchette da calcolo
Il sistema è:
5x + 3y = 19
3x + 2y = 12
Moltiplichiamo la
prima riga per 3
e la seconda per 5.
Ora alla seconda riga sottraiamo la prima,
moltiplichiamo questa seconda riga per 9
e alla prima riga sottraiamo la seconda.
Infine dividiamo la prima riga per 15 e
dividiamo ancora la seconda riga per 9.
I
II
I III
x
=2
y= 3
Il mondo arabo : Al-Kuwarizmi
Dopo la grande stagione della scienza greca, la
Matematica conobbe un periodo di declino, anche se
meno oscuro di quanto si è talvolta portati a pensare.
Gli Arabi non si limitarono a tramandare la
memoria dei testi greci e le loro conoscenze
matematiche e astronomiche rivelano elementi di
originalità.
Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi (VIII secolo),
di origine persiana, scrisse Al-jabr wal mukabalah,
dalle cui prime lettere deriva la parola “Algebra” e
nella quale sviluppò la teoria delle equazioni,
particolarmente di quelle di secondo grado.
Quest’opera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed
eredità e l’incognita viene chiamata “cosa”.
Il limite più rilevante della sua opera è l’assenza di una notazione
simbolica.
Al-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nell’ambito
dell’algebra retorica (nella quale tutte le espressioni algebriche
erano indicate mediante
parole).
Il mondo arabo : Khayyam
Gli Arabi si occuparono
di equazioni
indeterminate (AlKarchi, morto nel 1029,
scrisse Al-Facri, vicino
all’Aritmetica diofantea).
Alcuni tentarono di
provare che x³+y³ = z³ non
ammette soluzioni intere
non nulle, anticipando le
ricerche sull’ultimo
teorema di Fermat.
Occidente - Europa
Si deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo
“Liber Abaci”, il primo utilizzo del
termine equazione e la diffusione in
Europa delle tecniche risolutiva
apprese dagli Arabi.
Solo nel sedicesimo secolo l'algebra
iniziò un suo vero e proprio sviluppo
autonomo dalla geometria, quando le
lettere furono intese rappresentare
non grandezze geometriche, ma
numeri: attraverso l'opera di F. Viète
(1540-1603) e R. Descartes
(Cartesio,1596-1650).
Raggiunse una sistemazione e un modo
di presentazione simile a quelli attuali
poco più di due secoli fa,
nell'Introduzione completa all'algebra
(1770) di L. Euler (Eulero,1707-1783).
CARTESIO
Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio
algebrico vero e proprio. In precedenza (algebra retorica)
operazioni, equazioni con la loro risoluzione, venivano
espressi con parole (ad esempio l'incognita veniva detta
la "cosa", il suo quadrato il "censo", la sua terza potenza
il "cubo", la quarta potenza "censo censo") ed era assai
arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati
Luca Pacioli
finali dei problemi.
Ne seguí una fase intermedia (algebra sincopata),
in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzate:ad esempio Luca Pacioli
(1445-1514), autore dell'opera Summa de Arithmetica (1523), che
contribuí alla diffusione in occidente dell'uso delle cifre arabo-indiane,
indicava con "co" l'incognita, con "ce" il suo quadrato, con "cu" il suo cubo
e con "p" e "m" l'addizione e la sottrazione.
Solo in seguito l'algebra ricevette la veste che la rende simile alle attuali
esposizioni (algebra simbolica).
Fibonacci e il Liber Abaci
De laborator quaestio notabilis.
Un lavoratore avrebbe
dovuto prendere 7
bisanti al mese se avesse
lavorato, ma avrebbe
dovuto restituire 4
bisanti per un mese
di assenza dal lavoro.
Questi talvolta lavorò e talvolta no ed alla fine del
mese (30 giorni) ricevette un solo bisante.
Quanti giorni lavorò?
Risolviamo con Fibonacci
il problema del lavoratore
Modernamente imposteremmo l’equazione:
7·x/30–4 ·(30–x)/30 = 1
Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione:
per 15 gg.: 1 bisante e 1/2 7·15/30–4·15/30
per 20 gg.: 3 bisanti e 1/3 7·20/30–4·10/30
Si imposta dunque la proporzione:
(20–15) : [(3+1/3)–(1+1/2)] = (20–x) : [(3+1/3)–1]
Da cui ricaviamo:
x = 150/11 = 13+7/11
Pertanto quel lavoratore
ha lavorato 13 giorni e 7/11 (di giorno).
Dalla Storia…I nomi dell’incognita attraverso i secoli
Popolazione
Epoca
Simbolo
Significato
Babilonesi
1800-2000 a.C. us
sag
asa
Lunghezza
Larghezza
Area
Egizi
II-I secolo a.C. aha
Mucchio,cumul
o
Greci &
Diofanto
II-III sec d.C.
S
Numero
(arithmos)
Cinesi
I-II sec d.C.
I II III
Cosa,elemento
Arabi
III-IV sec d.C.
Europa
Oggi
cosa
x, y, z
incognita
SITOGRAFIA
www.ulisse.sissa.it
www.it.wikipedia.org
www.virgilio.it
BIBLIOGRAFIA
Castelnuovo E./Gori Giorgi/ Valenti
La matematica nella realtà – La Nuova Italia
Carl B. Boyer
Storia della matematica – Oscar Mondadori
