Superfici di separazione tra materiali 1 dicembre 2014 Campi E e D alla superficie di separazione tra due dielettrici Campi B e H alla superficie di separazione tra due materiali Campo elettrico • Supponiamo di avere due dielettrici di costanti 1, 2, separati da una superficie S P 1 • Detto P un punto arbitrario di S, vogliamo trovare la relazione esistente tra i valori che il campo E, e il campo D, assumono nei due dielettrici, nelle immediate vicinanze di P, sui due lati di S 2 S 2 Campo E alla superficie di separazione tra due dielettrici • Consideriamo la circuitazione dK di E su un rettangolo molto piccolo di base dl e altezza dh, con le basi parallele localmente in P alla superficie. Per un campo E statico dK è nulla: dK 0 • A dK contribuiscono le basi e le altezze dK dK || dK E1 E2 dl1 1 2 S P dl2 dK|| E1 dl1 E 2 dl2 • Poiché dl2=-dl1, ne seguedK| | E1| |dl1 E2| |dl1 • Se facciamo tendere dh a zero, l’integrale relativo tende a zero e rimane dK|| E1|| E 2|| dl1 dK • Ne segue che la componente tangenziale del campo (parallela alla superficie di separazione) è uguale nei due dielettrici E1| | E2| | 3 Campo D alla superficie di separazione tra due dielettrici • Consideriamo un cilindro molto piccolo di base dA e altezza dh, con le basi parallele localmente alla superficie. Il flusso d di D è proporzionale alla carica libera contenuta nel cilindro, che nel nostro caso è zero: d 0 • A d contribuiscono la superficie laterale e le basi D1 D2 dA1 P dA2 1 2 S d d| | d d D1 dA1 D2 dA2 • Poiché dA2=-dA1, ne segue d D1dA1 D2dA1 • Se facciamo tendere dh a zero, l’integrale sulla superficie laterale tende a zero e rimane d d D1 D2dA1 • Ne segue che la componente di D normale alla superficie di separazione è uguale nei due dielettrici D1 D2 4 Rifrazione delle linee di campo • Abbiamo trovato che E1| | E2| | D1 D2 • In termini di componenti di E E1| | E2| | E1 E2 1 n 2 1 2 1E1 2 E2 • Potremmoscrivere relazioni analoghe per D • Detti 1 e 2 gli angoli che i vettori E1, E formano con la normale n, 2 abbiamo E1|| tg1 E1 E 2|| tg 2 E 2 5 Rifrazione delle linee di campo E1 E2 1 • Facendone il rapporto tg1 E1|| E 2|| E1|| E 2|| 1 tg 2 E1 E 2 E1 E 2 2 • Ciò significa che la direzione delle linee di campo, passando da un dielettrico all’altro, subisce una variazione discontinua • Questo fenomeno prende il nome di rifrazione delle linee di campo 2 6 Campo magnetico • Come nel caso elettrico, dalle equazioni ( B) 0 C H dl 0 • possiamo dedurre che nel passaggio da un mezzo all’altro la componente normale di B e tangenziale di H si conservano B1 B2 H1| | H2| | • Esprimendo la seconda eq. in termini di B B1|| B2|| 1 2 7 Rifrazione delle linee di campo • Detti 1 e 2 gli angoli che i vettori B1, B2 formano con la normale n, abbiamo B1|| B2|| tg1 B1 • Facendone il rapporto B2 1 2 n 2 1 B1 tg1 B1|| tg 2 B1 tg 2 B2 B2|| B1|| B2|| 1 B2 B1 B2 2 • La direzione delle linee di campo, passando da un materiale all’altro, subisce una variazione discontinua • Questo fenomeno prende il nome di rifrazione delle linee di campo 8 Rifrazione delle linee di campo • Se il mezzo 2 è ferromagnetico mentre il mezzo 1 è aria, il rapporto 2 1 r 2 è dell’ordine delle migliaia. Ne segue che tg 2 2 1 tg1 1 B2 2 B1 1 • Ovvero tg2 è molto grande e quindi 2 è prossimo a /2, anche se1 è piccolo • Ciò significa che le linee del campo B internamente al ferromagnete corrono quasi parallele alla superficie, vengono cioe` praticamente ‘catturate’ nel materiale • Questo fenomeno e` molto importante perche’ permette di concentrare le linee di B e quindi di aumentarne il flusso su una data area • Inversamente (si pensi di invertire il verso del campo), le linee uscenti da un ferromagnete sono praticamente perpendicolari alla sua superficie 9