Frequenza

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ESERCIZI
STATISTICA DESCRITTIVA
Esercizio 0.
Si immagini di aver rilevato in un gruppo di donne primipare, provenienti da una medesima
popolazione, le seguenti caratteristiche:
 età (anni compiuti); numero di aborti spontanei precedenti; edemi a riposo (assenti:0; presenti: 1;
diffusi: 2); gruppo sanguigno; aumento di peso durante la gestazione (differenza in Kg. tra peso
finale e peso iniziale); concentrazione dell’emoglobina a parto avvenuto (gr. per 100 ml. di
sangue);.
Dall’insieme dei dati individuali, sono state tratte, per classificazione ed enumerazione, le seguenti
tabelle da 1 a 6.
Tab. 1
Età (anni compiuti) frequenze
18
4
19 – 24
29
25 – 30
24
31 – 36
11
37
3
71
Totale
Tab. 2
Gruppo sanguigno
A
B
0
AB
Totale
frequenze
30
6
32
3
71
Tab. 5
Emoglobina (g/100 ml)
-| 7,5
7,5 -| 8,5
8,5 -| 11
9,5 -| 10,5
10,5 -| 11,5
11,5 -| 12,5
12,5 -| 13,5
13,5 -| 14,5
14,5 -| 15,5
15,5 Totale
Frequenze
3
8
10
15
13
9
6
5
1
1
71
Tab. 3
Aborti precedenti frequenze
0
41
1
12
2
7
3
6
4
2
5
3
71
Totale
Tab. 4
Edemi
0
1
2
Totale
frequenze
44
23
4
71
Tab. 6
Aumento di peso (Kg)
-| 7
7 -| 9
9 -| 11
11 -| 13
13 -| 15
15 -| 17
17 Totale
frequenze
2
9
19
21
10
9
1
71
Ognuna di queste tabelle offre una distribuzione statistica dei 71 casi osservati in ragione delle
modalità - qualitative o quantitative, discrete o continue - di una variabile statistica.
a) Per ciascuna variabile statistica fornire la distribuzione di frequenza relativa e il rispettivo
diagramma statistico.
b) Per ciascuna variabile statistica, calcolare, ove possibile, la moda, la mediana e la media
aritmetica.
c) Per ciascuna variabile statistica, calcolare, ove possibile, il campo di variazione, la differenza
interquartile e lo scarto quadratico medio.
d) Indicare quali delle misure che avete ottenuto sono le più opportune per descrivere la variabilità e
l’ordine di grandezza di ciascun fenomeno preso in esame.
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ESERCIZI
STATISTICA DESCRITTIVA
Esercizio 1. Le famiglie residenti nella città di Bologna sono state classificate secondo la
caratteristica “numero di componenti” ottenendo la seguente distribuzione di frequenza indicata
nella tabella 7. Calcolare la dimensione media per famiglia sapendo che il numero di componenti
delle famiglie con una dimensione superiore o uguale a 9 è in complesso pari a 25.
Numero di componenti
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Famiglie
26
47
49
30
11
3
9
3
2
Esercizio 2. I 90 dipendenti di una azienda sono stati classificati secondo la distanza dal luogo di
residenza dall’azienda in cui lavorano, dando luogo ai seguenti risultati:
Distanza in Km.
fino a 5 Km.
5  10
10 20
20 30
30  40
oltre 40 Km.
n. di dipendenti
30
27
13
12
3
5
a) Rappresentare la variabile statistica mediante un istogramma.
b) Calcolare moda, mediana, media aritmetica e scarto quadratico medio.
c) Se si esprimono i dati in miglia (1 miglio terrestre è circa uguale a 1,6 Km), calcolare la media
aritmetica e scarto quadratico medio della distribuzione con la nuova unità di misura senza
trasformare tutti i dati.
Esercizio 3. Le 100 filiali di un grande magazzino sono state classificate rispetto al loro fatturato, in
milioni di lire, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza.
Classi di fatturato Numero di filiali Ammontare del fatturato
10
5
 0,8
35
33.5
0,8 | 1,0
30
37.5
1,0 | 1,3
20
29
1,3 | 1,5
5
8
1,5 | 2,0
100
113
Totale
(a) Rappresentare la variabile statistica mediante un istogramma. (b) Rappresentare graficamente la
funzione di ripartizione empirica determinata sulla base delle frequenze relative cumulate. (c)
Calcolare moda, mediana, media aritmetica e scarto quadratico medio. (d) Determinare il fatturato
medio per classe di fatturato. (e) commentare i risultati ottenuti.
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ESERCIZI
STATISTICA DESCRITTIVA
Esercizio 5. In una stazione meteorologica la misurazione delle temperature, in °C, massime
giornaliere durante il bimestre gennaio - febbraio ha dato luogo ai risultati indicati nella tabella
seguente
Temperature
4  6
6  8
8  10
10  16
16  20
Frequenza (%)
15
19
46
17
3
(a) Dare una rappresentazione grafica del fenomeno. (b) Calcolare media aritmetica, mediana, scarto
quadratico medio. (c) Commentare i risultati ottenuti.
Esercizio 6. 100 soggetti sono stati classificati rispetto al loro reddito annuale, in milioni di lire,
ottenendo la seguente distribuzione di frequenza.
Classi di reddito
0 | 40
40 | 60
60 | 80
80 | 100
Densità di frequenza relativa
0.00125
0.02
0.025
0.0025
ammontare del reddito
175
2200
3500
450
(a) Calcolare media aritmetica e scarto quadratico medio. (b) Supponendo di classificare il reddito
secondo le classi (0 | 40), (40 | 80) e (80 | 100), calcolare la mediana e la media aritmetica. I
risultati sono diversi? E perché?
Esercizio 7. Nella tabella che segue vengono riportati i redditi familiari relativi agli abitanti di due
quartieri di una città italiana; i dati sono espressi in milioni.
QUARTIERE A
CLASSI di reddito
Frequenze assolute
100
0  10
150
10  20
350
20  40
300
40  50
100
50  100
QUARTIERE B
CLASSI di reddito
frequenze assolute
300
0  10
700
10  20
500
20  40
400
40  50
100
50  100
a) Confrontare graficamente le due distribuzioni di frequenza cumulata.
b) Calcolare il reddito medio e lo scarto quadratico medio in ciascun quartiere.
c) Confrontare la variabilità del reddito nei due quartieri mediante il coefficiente di variazione.
Esercizio 8. Una pattuglia della polizia stradale ha rilevato la velocità di 65 vetture in transito su
una strada statale. Si è ottenuta la seguente distribuzione
Velocità
50 –| 60
60 –| 70
70 –| 80
80 –| 90
90 –| 100
100 –| 110
110 –| 120
Numero di vetture
8
10
16
14
10
5
2
(a)
Tracciare l’istogramma. (b) Calcolare media e scarto quadratico medio. (c) Rappresentare
graficamente la funzione di ripartizione empirica.
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STATISTICA DESCRITTIVA
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Esercizio 9. Si considerino i seguenti dati tratti da fonte ISTAT riguardanti 3164 aziende
classificate secondo il numero di addetti.
Classi di addetti (xi)
Aziende
Fino a 50
2007
50 -| 100
644
100 -| 200
327
200 -| 500
155
500 -| 1000
25
1000 e più
6
Totale
3164
(a) Rappresentare graficamente la distribuzione delle aziende mediante un istogramma supponendo
che il numero massimo di addetti nell’ultima classe sia pari a 1500. (b) Calcolare il numero medio
di addetti per azienda.(c) Calcolare lo scarto quadratico medio.
Esercizio 10. I salari orari (X) di 12 operai, espressi in migliaia di lire, sono i seguenti:
Salari orari 12,6 11,8 11,1 11,3 11,6 11,8 11,3 11,9 13,3 11,8 11,3 25,1
a) Si costruisca la distribuzione di frequenza assoluta e si rappresenti graficamente la variabile
statistica (v. s.) X.
b) Calcolare la media aritmetica, la mediana e la moda della distribuzione. Perché le risposte sono
diverse?
c) Calcolare lo scarto quadratico medio e il campo di variazione. Quale di queste misure è la più
adatta ad esprimere la variabilità della v. s. X.
d) Quali delle misure che avete ottenuto sono le più utili per riassumere i dati. Perché?
Esercizio 11. La statura di 24 allievi di una certa classe di età compresa fra gli 8 e i 10 anni è,
ordinatamente, in metri:
1,21 1,23 1,27 1,29 1,31 1,31 1,33 1,36 1,37 1,39 1,39 1,40
1,41 1,42 1,42 1,44 1,46 1,47 1,47 1,50 1,51 1,53 1,56 1,58
a) Ripartire l’intervallo I = [1,20;1,60] in 8 intervalli di 5 cm ciascuno e costruire la distribuzione di
frequenza relativa.
b) Rappresentare la distribuzione della statura dei 24 allievi con un istogramma.
c) Calcolare mediana, valor medio e scarto quadratico medio di questa distribuzione.
Esercizio 12. Le aziende commerciali di una determinata città – rilevate col censimento
dell’industria del 1991 – sono state classificate per numero di addetti:
Classi di addetti
Numero di aziende
1
13668
2
7775
3 |-- 6
4578
6 |-- 10
857
10 |-- 20
397
Totale
27275
a) Si costruisca la distribuzione di frequenza relativa. Rappresentare l’istogramma della variabile
statistica.
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ESERCIZI
STATISTICA DESCRITTIVA
b) Calcolare il valore medio aritmetico, il valore mediano e il valore modale della distribuzione.
Perché le risposte sono diverse?
c) Trovare lo scarto quadratico medio.
Esercizio 13. I tecnici dell’azienda di trasporti pubblici di una città hanno misurato i tempi di
arresto degli autobus ad una fermata. Si sono eseguite 200 misurazioni espresse con la precisione
del secondo. I risultati consentono di costruire la seguente distribuzione di frequenza:
Xi-1 -| Xi
fi
39 -| 43
6
43 -| 47
40
47 -| 49
42
49 -| 51
46
51 -| 53
32
53 -| 55
20
55 -| 59
14
Totale
200
a) Tracciare l’istogramma del fenomeno studiato.
b) Tracciare il diagramma delle frequenze cumulate.
c) Calcolare la mediana, la moda e la media aritmetica della variabile statistica.
d) Calcolare il campo di variazione, lo scarto quadratico medio e la differenza interquartile.
Esercizio 14. Con riferimento alla distribuzione di un collettivo di studenti universitari secondo il
numero di esami sostenuti presentata nella tabella seguente
N. ESAMI
1–2
3–4
5–7
8 – 11
12 – 15
16 – 20
N. STUDENTI
33
31
15
12
12
6
a) Calcolare la media aritmetica, la moda e la mediana.
b) Calcolare lo scarto quadratico medio.
c) Rappresentare con un diagramma statistico la distribuzione di frequenza.
d) Commentare i risultati ottenuti.
Esercizio 15. Si riporta la superficie di 10 abitazioni rilevate in m2 in un centro residenziale
Abitazione
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Superficie m2
94 120 113 85 104 130 125 80 115 98
a) Ripartire l’intervallo (80 - 130) in 5 classi di 10 m2 ciascuno e costruire la rispettiva
distribuzione di frequenza.
b) Rappresentare graficamente la distribuzione con un istogramma.
c) Calcolare media, mediana e scarto quadratico medio della distribuzione.
d) Commentare il risultato ottenuto.
Esercizio 16. Si riporta il consumo mensile di energia elettrica, espresso in Kw/h, rilevato su 10
aziende situate in un distretto industriale
Azienda
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Consumo Kw/h 102 95 105 87
93 100 89
91 109 106
e) Ripartire l’intervallo (80 - 110) in 5 classi d uguale ampiezza e costruire la rispettiva
distribuzione di frequenza.
f) Rappresentare graficamente la distribuzione con un istogramma.
g) Calcolare media, mediana e scarto quadratico medio della distribuzione.
ESERCIZI
STATISTICA DESCRITTIVA
h) Commentare il risultato ottenuto.
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Esercizio 17. 16 partecipanti ad un programma di addestramento si sottopongono a un test di
controllo i cui risultati sono indicati nella tabella seguente
partecipante
punteggio
1
2
3
4
5
6
7
8
87
83
79
81
90
91
84
80
78
81
79
82
82
88
92
80
a) Ripartire l’intervallo (78 – 92) nelle seguenti classi (78 -| 80), (80 -| 82), (82 -| 86), (86 -| 92) e
costruire la distribuzione di frequenza.
b) Calcolare media, mediana e scarto quadratico medio.
c) Commentare il risultato ottenuto.
Esercizio 18. La tabella seguente mostra gli incassi (in Lire/100.000) di un gruppo di 100 negozi di
scarpe in un particolare giorno dell’anno. Si rappresentino le osservazioni tramite un istogramma. Si
calcolino inoltre media, mediana, varianza e scarto interquartile dell’incasso.
Incasso
Frequenza cumulata
Frequenza
120 --| 160
10
10
160 --| 180
20
30
180 --| 260
60
90
260 --| 300
10
100