Esercizi sulle coordinate - INAF

Olimpiadi Italiane di Astronomia 2016
Corso di preparazione alla Gara Interregionale – Categoria Junior
5 Febbraio 2016
Problema 1.
Un osservatore misura per il Polo Nord Celeste un’altezza di h = 37°, a che latitudine () si trova
l’osservatore ? Un secondo osservatore misura per l’equatore celeste un’altezza massima di hmax =
30°, a che latitudine si trova il secondo osservatore ?
Problema 2.
Un osservatore misura per la Stella Polare ( = 89° 16’) un’altezza massima di 26° 36’, a che
latitudine si trova l’osservatore ?
Problema 3.
Quali delle seguenti stelle ( Boo, +19° 11’;  Lyr, +38° 47’;  UMa, +61° 45) ’è
circumpolare a Catania ( = +37°31’) ? Quali delle stesse stelle sono circumpolari al Polo Nord ?
Problema 4.
Dimostrare che da Catania non si può osservare la Luna passare allo Zenith. Per la soluzione si ricordi
che l’orbita della Luna è inclinata di circa 5° rispetto all’eclittica. In quali regioni della Terra si può
osservare la Luna passare allo Zenith ?
Problema 5.
I poli dell’eclittica sono i punti di intersezione tra la perpendicolare all’eclittica e la sfera celeste.
Determinare la distanza angolare tra il Polo Nord celeste e il Polo Nord dell’eclittica.
Problema 6.
Dimostrare che per un osservatore nell’emisfero Boreale la Luna Piena raggiunge la sua massima
altezza sull’orizzonte in inverno. Stimare il valore minimo e massimo dell’altezza della Luna Piena al
meridiano per un osservatore posto a Catania e per un osservatore posto al Polo Nord.
Problema 7.
Di quanto si sposta lungo l’eclittica la posizione del punto  in 2500 anni ?
Problema 8.
Un osservatore nota che tutte le stelle con la stessa ascensione retta tramontano nello stesso istante.
Dove si trova l’osservatore ?
Problema 9.
Il numero di stelle visibili a occhio nudo nelle migliori condizioni osservative, su tutta la sfera celeste, è
di circa 6000. Quante stelle visibili a occhio nudo vengono, in media, occultate dalla Luna in un dato
istante ? Per risolvere il problema è importante conoscere la fase della Luna ? (Diametro apparente
medio della Luna = 31’; Area di un cerchio =  R2; Area di una sfera = 4  R2; area esterna di un
cilindro = 2  R h; Area della sfera celeste = 41253 gradi quadrati).
Problema 10.
Stimate la durata media del tramonto del Sole all’equatore. Si trascurino gli effetti dovuti alla rifrazione
e alla variazione del diametro apparente del Sole, per il quale si assuma un valore medio di 31’.
Problema 11.
Nell’emisfero Boreale a partire da quale latitudine si può assistere al fenomeno del “Sole di
mezzanotte?”
Problema 12.
Calcolate il valore del Giorno Giuliano alle ore 14:30 di UT del 26 gennaio 2014 sapendo che il 26
Gennaio 2012 alle ore 12:00 di UT essa corrispondeva a JD = 2455953.0
Problema 13.
Una cometa si muove intorno al Sole con moto retrogrado e ha un semiasse maggiore dell’orbita pari
a 3.520 UA. Calcolate il suo periodo sinodico.
Problema 14.
La Stazione Spaziale Internazionale (ISS) orbita intorno alla Terra a un’altezza media di h = 412 km e
il suo periodo di rivoluzione vale P = 92.62 minuti. Supponete di mettere in orbita la ISS alla stessa
altezza dal suolo attorno al pianeta Mercurio (DiametroMercurio = 4880 km, MMercurio = 3.30 ∙ 1023 kg).
Quanto varrebbe il suo periodo di rivoluzione ?
Problema 15.
Il 21 marzo 2013 un osservatore nei pressi di Catania (Longitudine = 15° 4’ 27”) ha osservato la Luna
sorgere sul mare alle ore 19. Sapendo che in quella data era già in vigore l’ora legale, stimate la fase
della Luna quando quest’osservazione è stata fatta. Quali tra i dati del problema concorrono in modo
significativo alla corretta soluzione ?
Problema 16.
Nel 1100 A.C. degli astronomi misurarono l’altezza massima del Sole al meridiano ai solstizi, ottenendo
h1 = 79° 7’ e h2 = 31° 19’. In entrambi i casi il Sole era a Sud dello Zenith. A quale latitudine furono
eseguite queste osservazioni ? Quanto valeva all’epoca l’obliquità dell’eclittica ?
Soluzioni:
Problema 1.
L’altezza sull’orizzonte del Polo Celeste è pari alla latitudine del luogo, quindi l’osservatore si trova a
 37°. L’altezza massima dell’equatore celeste si ha al meridiano e vale hmax = 90° - , si avrà
quindi: 30° = 90° - , da cui = 60°
Problema 2.
Anche se molto vicina al Polo Nord Celeste la Stella Polare non coincide perfettamente con esso e ne
dista all’epoca attuale 44’. L’altezza del Polo Celeste sarà quindi hmaxPolare - 44’ = 25° 52’, valore che
coincide con la latitudine a cui si trova l’osservatore.
Problema 3.
In una qualsiasi località risultano circumpolari tutte le stelle con ; a Catania lo sono le stelle
con  52° 29’, ovvero solo  UMa. Al Polo Nord tutte le stelle con  risultano circumpolari.
Problema 4.
L’altezza massima dell’equatore celeste al meridiano vale hmax equatore = 90 - L'eclittica forma con
l'equatore celeste un angolo di 23° 27’ e quindi hmax eclittica = 90 -  + 23° 27’Considerando
l’inclinazione dell’orbita lunare hmax Luna = 90 -  + 23° 27’ + 5°. A Catania ( = +37°31’) si avrà
hmax Luna/Catania = 80° 56’ e quindi la Luna NON può raggiungere lo Zenith. Ponendo hmax Luna = 90 e
risolvendo rispetto a  otteniamo la latitudine a partire dalla quale la Luna passa allo Zenith: 28° 27’.
Poiché considerazioni analoghe valgono per un osservatore posto nell’emisfero Sud, si può osservare
la Luna passare allo Zenith nella fascia di latitudine 28° 27’ > 28° 27’.

Problema 5.
L’angolo tra il piano dell’equatore celeste e quello dell’eclittica è pari a 23° 27’, tale angolo si manterrà
anche tra due rette perpendicolari ai due piani e quindi è pari alla distanza angolare tra il Polo Nord
celeste e il Polo Nord dell’eclittica.
Problema 6.
La Luna Piena si trova in direzione esattamente opposta al Sole. Per un osservatore nell’emisfero
Boreale in estate il Sole raggiunge la declinazione massima (+ 23° 27’) e quindi la Luna Piena avrà
declinazione minima. In inverno il Sole raggiunge la declinazione minima (- 23° 27’), quindi la Luna
Piena avrà declinazione massima. L’altezza sull’orizzonte del Sole e della Luna dipenderanno dalla
declinazione dell’osservatore. A Catania: hmax Luna/Catania = 90° - 37° 31’ + 23° 27’ + 5° = 80° 56’ e
hmin Luna/Catania = 90° - 37° 31’ - 23° 27’ - 5° = 24° 2’. Ponendo  = 90° otterremo i valori per un
osservatore al Polo Nord: hmax Luna/Polo N = 90° – 90° + 23° 27’ + 5° = 28° 27’ e quindi hmin Luna/Polo N
= 90° - 90° - 23° 27’ - 5° = - 28° 27’.
Problema 7.
Il moto di precessione fa compiere alla direzione dell’asse di rotazione della Terra, e quindi alla
posizione del punto sull'eclitticaun giro completo in circa 26.000 anni (Anno Platonico). In 2500
anni lo spostamento varrà quindi  = 2500 ∙ 360 / 26000 = 34° 36’ 55.4’’
Problema 8.
Le stelle con uguale ascensione retta si trovano sul medesimo cerchio orario, se tramontano
contemporaneamente vuol dire che in quel momento il cerchio orario coincide con l’orizzonte. Tutti i
cerchi orari passano per i poli celesti che quindi devono trovarsi entrambi sull’orizzonte. Ne segue che
l’osservatore si trova all’equatore.
Problema 9.
a) L’area coperta dalla Luna vale  R2= 0.21 gradi quadrati = 5.1 ∙ 10-6 dell’area totale del cielo.
Assumendo una distribuzione uniforme delle stelle visibili a occhio nudo troviamo, in media, una stella
ogni 6.88 gradi quadrati con una probabilità di circa 3.1 ∙ 10-2 che una stella visibile a occhio nudo sia
occultata dalla Luna. b) la fase della Luna è inessenziale per la risposta.
Problema 10.
All’equatore il Sole tramonta perpendicolarmente all’orizzonte. La Terra impiega circa 23h e 56m per
compiere una rotazione completa (360°) intorno al proprio asse. Il tempo necessario per una
rotazione di 31’ è quindi: t = 23h 56m ∙ 31’ / 360° = 2m 4s (che si può arrotondare a 2m).
Problema 11.
Occorre calcolare a partire da quale latitudine il Sole risulta circumpolare. La declinazione del Sole nel
corso dell’anno varia da -23° 27’ a + 23° 27’. Affinché un astro risulti circumpolare deve valere la
relazione 𝛅 > 90° – , risolvendo otteniamo:  > 90° – 𝛅 = 90° - 23° 27’ = 66° 33’. Due fattori
estendono verso Sud il limite del “Sole di Mezzanotte”. Il disco solare ha un raggio di circa 16’ e la
rifrazione all’orizzonte ha un valore di  35’. Questi due fattori portano il limite a  >  65° 42’
Problema 12.
Poiché l’anno 2012 è stato bisestile tra il 26 Gennaio 2012 e il 26 Gennaio 2013 sono trascorsi 731
giorni. Inoltre 2h 30m corrispondono a 0.1042 giorni e quindi il 26 Gennaio 2014 alle ore 14:30 UT il
giorno giuliano varrà: JD = 2456684.1042
Problema 13.
Il periodo siderale (P) della cometa si ricava dalla III legge di Keplero e vale P = 6.604 anni. Il periodo
siderale della Terra (E) è di 365.25636 giorni. Il periodo sinodico (S) è il tempo che impiega un corpo,
osservato dalla Terra, per tornare nella stessa posizione rispetto al Sole. Per un pianeta esterno vale la
relazione: 1/S = (1/E) – (1/P). Tuttavia la cometa ha un moto retrogrado, ovvero ruota intorno al Sole
in direzione opposta a quella della Terra; in questo caso si dimostra che la precedente relazione si
modifica in: 1/S = (1/E) + (1/P) e quindi: 1/S = 1 + 0.15142 da cui S = 0.8685 = 317.22 g
Problema 14.
Applichiamo la terza legge di Keplero nella forma generalizzata assumendo trascurabile la massa della
ISS. P2 = 4 2 (RMercurio + h)3 / G ∙ MMercurio = 39.48 ∙ 2.32 ∙ 1019 /6.67 ∙ 10-11 ∙ 3.30 ∙ 1023 = 41.6 ∙ 106 s;
da cui P = 6451 s = 107.5 m. Il periodo sarebbe quindi più lungo anche se l’orbita è più corta, questo
perché Mercurio ha una massa molto minore di quella della Terra.
Problema 15.
Il 21 marzo il Sole si trova in prossimità del Punto  e quindi la sua declinazione è circa zero. In questo
periodo dell’anno la lunghezza del giorno è pari a quella della notte a tutte le latitudini e il Sole
tramonta, per un osservatore posto al centro di un dato fuso orario, alle 18, ovvero alle ore 19 se è in
vigore l’ora legale. Poiché la Luna si trovava in direzione esattamente opposta al Sole (sorgeva
quando il Sole tramontava) la sua fase era di conseguenza molto prossima a piena. E’ importante la
longitudine di CT perché essendo prossima a 15° fa si che la differenza dell’ora locale rispetto all’ora
solare del meridiano centrale è piccola. E’ importante che la Luna sorga dal mare, se l’osservatore
avesse avuto davanti a se delle montagne avrebbe visto la Luna sorgere (anche parecchio) più tardi.
Problema 16.
La latitudine di un luogo è pari all’altezza del Polo Celeste (Nord in questo caso). Il Polo Celeste si
trova a 90° dall’equatore celeste, la cui altezza è data dalla media dell’altezza del Sole ai solstizi. Si
avrà quindi hequatore celeste = 55° 13’ e quindi  = 180° - 90° - 55° 13’ = 34° 47’. L’obliquità dell’eclittica
è data dalla differenza tra l’altezza del Sole al meridiano (massima o minima) e l’altezza dell’equatore
celeste al meridiano. Considerando l’altezza massima si avrà:  = 79° 7 ‘ – 55° 13’ = 23° 54’. Notiamo
quindi che il valore dell’obliquità è diminuito.