Testo

PROVA SCRITTA DEL 01/04/2004 – TESTO A
Corso di “Analisi Numerica” (A.A. 2003-2004)
(C.L. Ingegneria Meccanica n.o.)
ESERCIZIO 1
Dato il sistema lineare AX=B con:
2 0  


A  0 3 2 


1  3 
1
 
B  0
 
1
  ,   0
a) Fornire una condizione sufficiente su  tale che il metodo di Gauss-Seidel applicato
al sistema soprascritto risulti convergente, la condizione trovata assicura la convergenza per il metodo di Jacobi? Specificare se si individua un unico valore di .
b) Costruire in funzione di  la matrice di iterazione di Jacobi e fornire una condizione
necessaria e sufficiente su  affinché il metodo di Jacobi sia convergente; commentare il risultato ottenuto confrontandolo con il valore ricavato nel punto a).
c) Per , valutare la velocità asintotica di convergenza del metodo di Jacobi, e
stimare il numero minimo di iterazioni necessarie ad ottenere una soluzione con un
errore minore di 10-6 , partendo dalla soluzione iniziale X(0)=[0,0,0] T .
d) In base a quanto ricavato nei punti precedenti commentare cosa accade per ;
per tale valore si può dare una stima a priori dell’errore commesso dopo un fissato
numero di iterazioni?
ESERCIZIO 2
Data la seguente tabella per una funzione f(x):
xi
fi
0.0
0.000000
/8
/4
/8
/2
0.150279
0.555360
1.088420
1.570796
a) Mediante una formula delle parabole valutare I ( f ) 
 /2

0
f ( x) dx , fornendo una
stima dell’errore commesso; dai valori approssimati calcolati è possibile fornire una
approssimazione migliore?
b) Sapendo che f ( x)  x sin( x) e che il valore esatto dell’integrale è uguale ad uno,
commentare i risultati ottenuti al punto precedente.
c) Utilizzando una formula dei trapezi quale passo si deve scegliere affinché l’errore
di troncamento risulti confrontabile con l’errore di troncamento stimato al punto a)?
(Se non si è risolto il punto a) calcolare il passo di discretizzazione affinché l’errore
commesso sia minore di 10-4). Confrontare i passi di discretizzazione e commentare
il risultato ottenuto.
SUGGERIMENTO:
0  f ' ( x)  1.39
  / 2  f ' ' ( x)  2
 3.24  f ' ' ' ( x)  0  4  f iv ( x)   / 2
PROVA SCRITTA DEL 01/04/2004 – TESTO B
Corso di “Analisi Numerica” (A.A. 2003-2004)
(C.L. Ingegneria Meccanica n.o.)
ESERCIZIO 1
Dato il sistema lineare AX=B con:
0

2


A  0
4
1


1   1 3 
1
 
B  1
 
0
  ,   0
e) Fornire una condizione sufficiente su  tale che il metodo di Gauss-Seidel applicato
al sistema soprascritto risulti convergente, la condizione trovata assicura la convergenza per il metodo di Jacobi? Specificare se si individua un unico valore di .
f) Costruire in funzione di  la matrice di iterazione di Jacobi e fornire una condizione
necessaria e sufficiente su  affinché il metodo di Jacobi sia convergente; commentare il risultato ottenuto confrontandolo con il valore ricavato nel punto a).
g) Per , valutare la velocità asintotica di convergenza del metodo di Jacobi, e
stimare il numero minimo di iterazioni necessarie ad ottenere una soluzione con un
errore minore di 10-6, partendo dalla soluzione iniziale X(0)=[0,0,0] T .
h) In base a quanto ricavato nei punti precedenti commentare cosa accade per ;
per tale valore si può dare una stima a priori dell’errore commesso dopo un fissato
numero di iterazioni?
ESERCIZIO 2
Data la seguente tabella per una funzione f(x):
xi
fi
0.0
0.000000
/8
/4
/8
/2
0.362807
0.555360
0.450838
0.000000
d) Mediante una formula delle parabole valutare I ( f ) 
 /2

0
f ( x) dx , fornendo una
stima dell’errore commesso; dai valori approssimati calcolati è possibile fornire una
approssimazione migliore?
e) Sapendo che f ( x)  x cos( x) e che il valore esatto dell’integrale è uguale /2-1,
commentare i risultati ottenuti al punto precedente.
f) Utilizzando una formula dei trapezi, quale passo si deve scegliere affinché l’errore
di troncamento risulti confrontabile con l’errore di troncamento stimato al punto a)?
(Se non si è risolto il punto a) calcolare il passo di discretizzazione affinché l’errore
commesso sia minore di 10-4). Confrontare i passi di discretizzazione e commentare
il risultato ottenuto.
SUGGERIMENTO:
  / 2  f ' ( x)  1
 2.30  f ' ' ( x)  0
 3  f ' ' ' ( x)   / 2
0  f iv ( x)  4.20
PROVA SCRITTA (TEORIA) DEL 01/04/2004
Corso di “Analisi Numerica” (A.A. 2003-2004)
(C.L. Ingegneria Meccanica n.o.)
TEORIA 1
Specificare le ipotesi di applicabilità del metodo di Newton-Raphson per
l’approssimazione degli zeri di una equazione non lineare f(x)=0 con x. Scrivere
l’algoritmo. Dare la definizione di errore di troncamento, convergenza ed ordine di
convergenza di un generico metodo iterativo.
TEORIA 2
Dato il problema di Cauchy:
 y ' ( x)  f ( x, y ( x))

y ( x0 )  y 0

descrivere il metodo di Eulero esplicito; cosa si intende per consistenza ed ordine per
un metodo numerico per la soluzione del problema di Cauchy? Dimostrare che il
metodo di Eulero è consistente, e ricavarne l’ordine di accuratezza.