COMPITO A
a) Dati i punti A(4) e B(-5) appartenenti alla retta r su cui è fissato un sistema di ascisse,
determinare su r un punto C in modo che risulti
2 AC + 3 BC = 14 ( dove AC e BC sono distanze orientate)
Soluzione
___________B____________________________0____________________A
C(x)
2(x-4)+3(x+5)=14
b)In un riferimento cartesiano Oxy sono dati i punti
O(0;0) A(2;4) B(8;0)
C( 6;-4)
Quali delle seguenti affermazioni, relative al
quadrilatero OABC , sono esatte?
Le diagonali si incontrano nel loro punto medio
E’un rettangolo
È un parallelogramma ma non è un rettangolo
Non è un parallelogramma
La misura dell’area è uguale a 32
Motivare le risposte
Vero
poiché M(4,0)
Falso
Le diagonali non hanno uguale lunghezza
=
Vero
poiché le diagonali si incontrano nel loro punto medio.
Falso
Vero L’area si può calcolare come somma dei due triangoli OAB e OCB, ciascuno dei quali ha l’area
pari a
c) Un triangolo ABC ha per vertici i punti A(1,1) e B(4,3), mentre il baricentro G ha coordinate
(2,3).
Determinare il terzo vertice C
Verificare che il triangolo è isoscele e calcolarne
l’area
Soluzione
Posto G(x,y) imponiamo che
C(1,5)
Osserviamo che i tre punti B, G ed M, punto medio di AC, hanno la stessa ordinata y =3 ( M ha coordinate
(1,3))
Il triangolo è isoscele sulla base AC in quanto le rette AC e BG sono evidentemente perpendicolari tra loro e
quindi il segmento BM è sia mediana che altezza.
L’area del triangolo è uguale a
=
d) Determinare le coordinate di un punto P sapendo che:
l'ascissa è doppia dell'ordinata
il triangolo OPQ è rettangolo ( dove Q è il punto di coordinate
(3;0)
Soluzione
.Poiché il testo non precisa dove si deve trovare l’angolo retto ,
prendiamo in esame 3 casi
Primo caso : angolo retto in P
Posto P(2y,y) imponiamo che tra i lati del triangolo valga la
relazione pitagorica
y2+4y2+(3-2y)2+y2=9
L’equazione ammette due soluzioni
y = 0 che corrisponde all’origine e quindi ad un triangolo degenere
che corrisponde al punto P(
)
Secondo caso: angolo retto in Q
P deve avere ascissa 3, quindi ordinata 3/2.
Terzo caso : angolo retto in O
In questo caso P dovrebbe coincidere con O e il triangolo sarebbe degenere.
Trigonometria
a) In una semicirconferenza di diametro AB = 2r , si
considerino le due corde AP e AQ che formano col
diametro angoli di ampiezza 50° e 30° , rispettivamente.
Determinare il perimetro e l’area del quadrilatero APQB.
Soluzione
AQ e BQ possono essere considerati cateti del triangolo rettangolo AQB
AP può essere considerato cateto del triangolo rettangolo APB
PQ è una corda cui corrisponde l’angolo alla circonferenza
di ampiezza 20°
= 2r sen 20°
Perimetro
L’area si può calcolare come somma delle aree dei due triangoli APQ e ABQ
Il secondo è semitriangolo equilatero di lato 2r quindi la sua area è
Il primo ha area
Area
b)Semplificare la seguente espressione
sen(2-)+ sen(
4
) cos(-)+ sen(3-)+cos( 5 ) cos(2-)+cos ( 3 )
3
2
6
COMPITO B
a )In un riferimento cartesiano Oxy sono dati i punti A(2;0) e
B(-1;3). Calcolare l’area del triangolo ABO
Determinare il punto Q che divide il segmento AB in due parti
tali che risulti AQ
QB
e verificare che il segmento OQ
2
corrisponde all’altezza del triangolo AOB, relativa al lato AB
Soluzione
Area =
=3
Poiché il segmento AQ deve essere uguale alla terza parte del segmento AB, la sua proiezione sull’asse x
deve essere uguale alla terza parte del segmento AH, proiezione di AB sullo stesso asse x.
Si può affermare pertanto che l’ascissa di Q è 1. In modo analogo si dimostra che la sua ordinata deve
essere la terza parte dell’ordinata di B.
Il punto richiesto pertanto è Q(1,1)
Allo stesso risultato si perviene analiticamente imponendo che:
→x=1
→y =1
Poiché, come si può verificare facilmente calcolandone la lunghezza dei lati, il triangolo OQA è
rettangolo e isoscele, con l’angolo retto in Q, possiamo affermare che il segmento OQ corrisponde
all’altezza del triangolo AOB, relativa al lato AB
b) In un riferimento cartesiano Oxy sono dati i punti A(2 ;2) e B(10 ;2)
Determinare un punto C in modo che il triangolo ABC sia equilatero e determinare le coordinate del
quarto vertice del rombo avente per lati consecutivi i segmenti AB e BC.
Calcolare l’area del rombo.
Soluzione
Il punto C deve stare sull’asse del segmento AB, quindi la sua ascissa è 6
Poiché la lunghezza del
segmento AB è 8
l’ altezza CH del triangolo ABC deve essere uguale a
Possiamo avere due soluzioni C(6
,14) e C’(-6
,-10)
I due punti sono simmetrici rispetto alla retta AB.
Anche per la costruzione del rombo possiamo avere due figure simmetriche
Primo caso
D deve avere la stessa ordinata di C e ascissa tale che |CD| =8
|xD - _xC |= 8
D(-2
→ -xD+ xC =8
,14) e ovviamente D’(-2
→
xD= xC-8
con xD< xC
= -2
,-10)
L’area è
c) In un riferimento cartesiano Oxy sono dati i punti A(0;4) B(4;0)
Determinare le coordinate dei punti L,M,N, rispettivamente punti medi dei segmenti AO, AB, BO.
Quali delle seguenti affermazioni sono esatte? ( motivare le risposte )
Il quadrilatero ALNM è un parallelogramma
L’area del quadrilatero ALNM è
1
dell’area del triangolo AOB
2
Il punto M è equidistante da A, da O e da B
Il punto M è equidistante dall’asse x e dall’asse y
Soluzione
Vero i lati opposti AL ed MN sono uguali e paralleli
Vero le aree sono rispettivamente 4 e 8 , ovvero il
triangolo è formato da 4 triangoli uguali a MNB, il
parallelogramma ne contiene invece 2
Vero Si possono calcolare le tre lunghezze ( tutte uguali a
) oppure osservare che il triangolo rettangolo
isoscele AOB può essere inscritto in una circonferenza di diametro AB di cui AM , BM e OM sono
raggi.
d)In un riferimento cartesiano Oxy sono dati i punti A(-2;3) B(2;-3) C(2;0) D(x;y)
Determinare il valore di x ed y in modo che i segmenti AC e BD abbiano lo stesso punto medio.
Qual è la natura del quadrilatero ABCD? Motivare la risposta.
Soluzione
Il punto medio di AC è M
Indicando con(x,y) le coordinate di D imponiamo
Il quadrilatero è un parallelogramma in
quanto le diagonali si incontrano nel loro
punto medio
2)Trigonometria
a)Un trapezio isoscele ABCD è inscritto in
una semicirconferenza di diametro AB
Sapendo che la diagonale AC è lunga a e che
l’angolo che essa forma con il segmento AB è
di 35°, determinare
l’ampiezza degli angoli interni del trapezio
il perimetro
l’area
Soluzione
Calcolo delle ampiezze degli angoli:
L’angolo in B, complementare dell’angolo in CA
B ha ampiezza 55° e questa è anche l’ampiezza
dell’angolo in A.
L’angolo in C, supplementare dell’angolo in B,
ha ampiezza 125° e questa è anche l’ampiezza
dell’angolo in D
Calcolo delle lunghezze dei lati:
considerando il triangolo rettangolo ACB
Applicando il teorema della corda
Perimetro 3,05 a
Area = Somma delle aree dei due triangoli DAC e CAB
b)Semplificare la seguente espressione
sen 2 (
2
)
+-
3
sen ( ) cos( ) cos( ) sen ( ) cos( ) cos( ) cos 2
2
6
+ sen
=
