5-costoit

EFFICIENZA E PRODUTTIVITA'
Davide Vannoni
(Università di Torino, HERMES )
Centro di Ricerca sui Trasporti Pubblici
Locali e sui Servizi Regolamentati
EFFICIENZA TECNICA
y
.B
.C
.A
x
A = punto di inefficienza
B e C = punti efficienti
PRODUTTIVITA' = y/x
y
.B
D .
.C
.A
x
Produttività è massima in D (scala ottima)
I punti C e B hanno produttività inferiore a D ma sono efficienti
2
Variazioni di produttività possono essere dovute quindi a:
- variazioni nell'efficienza tecnica (da A a B, C, D)
- variazioni nella 'scala produttiva' (da B e C a D)
- cambiamento tecnologico
- nelle applicazioni empiriche anche le variazioni dei prezzi sono
importanti
nuova frontiera
y
D'
.
D
x
La produttività si muove anche perchè la frontiera si muove nel tempo.
Da D a D' non è variata l'efficienza ma vi è stato progresso tecnologico (e
anche cambiamento nella scala)
EFFICIENZA ALLOCATIVA
Data la tecnologia e i prezzi, si stanno massimizzando i profitti
(minimizzando i costi?)
 = p y · y - px · x
_
Curva di isoprofitto: y =  /py + px /py · x
3
y
E
D
max/py
x
Pme
Pma
.
D
Pme
E
Pma
x
Nel punto di efficienza allocativa E viene soddisfatta la condizione di
eguaglianza tra produttività marginale (inclinazione della frontiera) e
pendenza della curva di isoprofitto:
dy/dx = px/py
In E vi sono profitti positivi in quanto la produttività media supera la
produttività marginale
y/x > dy/dx = px/py quindi
p y y > px x
4
Nel breve periodo efficienza tecnica (punto D) e efficienza allocativa
(punto E) non coincidono necessariamente. Nel lungo periodo invece il
prezzo py scende fino a quando
dy/dx = px/py = y/x
isoprofitto di lungo periodo
y
E
BP/py
D
x
LP=0 e py 
LP=0 e px/py = y/x quindi py y
=
px x
ricavi totali = costi totali
Nel lungo periodo efficienza tecnica e efficienza allocativa coincidono .
5
4 METODI PER ANALIZZARE L'EFFICIENZA E LA
PRODUTTIVITA'
1. STIMA DI FUNZIONE DI PRODUZIONE
(O FUNZIONE DI COSTO, O FUNZIONE DI RICAVO, O
FUNZIONE DI PROFITTO O DOMANDA CONDIZIONATA DEL
FATTORE PRODUTTIVO)
2. INDICI DI PRODUTTIVITA' TOTALE DEI FATTORI (TFP):
LASPEYRES, PAASCHE, FISCHER, TORNQVIST
3. DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (DEA)
INPUT ORIENTATION, OUTPUT ORIENTATION, CRS, VRS
4. STIMA DI FRONTIERE DI PRODUZIONE STOCASTICHE
(O DI COSTO, ETC.)
METODO
Parametrico
Ipotesi di efficienza
Stima funzione di
costo o di produzione
Non parametrico Indici TFP
Possibilità di inefficienza
Stima di frontiere di costo o
di produzione
Data Envelopment Analysis
1 e 4: Metodi Parametrici
Dalla stima si ottengono dei parametri per economie di scala,
cambiamento tecnologico......occorre però specificare la forma funzionale
2 e 3: Metodi Non Parametrici
Non stimando delle funzioni di produzione non si ottengono dei parametri
ma degli indicatori di produttività/inefficienza
1 e 2 si basano sulla ipotesi che tutte le imprese siano efficienti (sulla
frontiera)
3 e 4: solo alcune imprese sono efficienti, mentre altre hanno diversi gradi
di inefficienza
6
STIMA DI FUNZIONE DI PRODUZIONE
E’ possibile stimare funzioni di produzione o, avvalendosi della “dualità”
funzioni di costo.
Scelta della particolare forma funzionale:
Esempio: Cobb-Douglas
y = A x1b1 x2b2
ln y = bo + b1 ln x1 + b2 lnx2 + e
Rendimenti di scala non variano con y e dipendono da b1+b2
Elasticità di sostituzione costante e pari a 1:
Il residuo è una misura di PRODUTTIVITA'.
E' possibile ricercare le determinanti della produttività ottenendo i residui
'e' e stimare una funzione del tipo
e = f (tipo impresa, localizzazione, ricerca e sviluppo, etc.)
Si può stimare anche il cambiamento tecnologico introducendo un trend di
tempo t (t=1 per il primo anno, 2 per il secondo, etc.)
ln yt = bo + b1 ln x1t + b2 lnx2t + b3 t + et
b3 indica il cambiamento percentuale annuo di y dovuto a progresso
tecnico
7
UN ESEMPIO DI STIMA DI UNA FUNZIONE DI COSTO
Da una funzione di produzione Cobb- Douglas
Q= A · x1a1 · x2a2· x3a3
Soggetta al vincolo
CT = P1x1+P2x2+P3x3
Si ricava la seguente funzione di costo
CT = k· Q1/r· P1a1/r · P2a2/r· P3a3/r
dove
k= r [A·a1a1·a2a2·a3a3]-1/r
a1+a2+a3=r indica la presenza di rendimenti di scala costanti (r=1),
crescenti (r>1) o decrescenti (r<1)
Il fatto che a1/r+a2/r+a3/r=1 implica che se tutti i prezzi degli input
venissero raddoppiati il costo totale verrebbe esattamente raddoppiato
(omogeneità di primo grado rispetto ai prezzi degli input).
8
Proprietà della funzione di costo (da imporre prima di effettuare la stima o
da verificare ex post per valutare la bontà della stima):
- Non negatività (costi non possono essere negativi)
- Non decrescente rispetto ai prezzi degli input
- Non decrescente rispetto a Q
- Omogeneità di primo grado rispetto ai prezzi degli input
- Concava rispetto ai prezzi degli input (domanda del fattore inclinata
negativamente)
- Lemma di Shepard: dCT\dP1 = x1
Esprimendo l’equazione in logaritmi è possibile, conoscendo i dati sui
prezzi e sulle quantità, stimare la funzione di costo:
ln CT = ln k + (1/r) ln Q + (a1/r) ln P1 + (a2/r) ln P2 + (a3/r) ln P3 +e
E' possibile stimare la seguente relazione
ln CT = β0 + βQ ln Q + β1 ln P1 + β2 ln P2 + β3 ln P3 +e
imponendo come restrizione che β1+β2+β3 = 1
9
oppure si possono dividere tutte le variabili (escluso Q per P3) imponendo
quindi direttamente nella stima che β3 = 1- β1-β2
ln CT = β0 + βQ ln Q + β1 ln P1 + β2 ln P2 + (1- β1-β2) ln P3 +e
ln CT - ln P3= β0 + βQ ln Q + β1 (ln P1-ln P3)+ β2 (ln P2-ln P3) +e
ln (CT/P3)= β0 + βQ ln Q + β1 ln (P1/P3)+ β2 ln (P2/P3) +e
In entrambe le ipotesi i rendimenti di scala e le elasticità di costo dei
singoli fattori si ricavano nel seguente modo:
βQ = elasticità del costo rispetto a Q: dlnCT/dlnQ = εQ
Rendimento di scala E = 1/ εQ
r = 1/ βQ
a1= β1 / βQ
a2= β2 / βQ
a3= β3 / βQ= (1- β1-β2) / βQ
10
Applicazione con i dati sulle imprese elettriche di Nerlove
(dati disponibili nel testo di Berndt).
Funzione di costo stimata per 145 imprese elettriche nel 1995:
1 output (KWH di elettricità) e tre inputs (lavoro, combustibile e capitale)
ln (CT/P3)= β0 + βQ ln Q + β1 ln (P1/P3)+ β2 ln (P2/P3) +e
Risultati:
ln(CT/P3)= -4.69 + 0.721 ln Q + 0.593 ln (P1/P3)+ -0.007 ln (P2/P3)
r=1.39, a1=0.822, a2=-0.0097, a3=0.574
Nel caso in cui si stimi la seguente relazione
ln CT = β0 + βQ ln Q + β1 ln P1 + β2 ln P2 + β3 ln P3 +e
imponendo come restrizione che β1+β2+β3 = 1
si ottengono gli stessi risultati
ln CT = -4.69 + 0.72 ln Q + 0.593 ln P1 – 0.007 ln P2 + 0.414 ln P3
Dalla funzione di costo Cobb-Douglas è possibile ottenere una indicazione
delle economie di scala (rendimenti crescenti) che vale per tutte le imprese
del campione. Altre forme funzionali più flessibili (quadratica,
translogaritmica) ammettono invece la possibilità che le economie di scala
possano variare a seconda del tipo di impresa.
L’ispezione dei residui suggerisce che nel campione di Nerlove la funzione
di costo derivante da una tecnologia Cobb Douglas non è la più
appropriata.
11
Risultati per 5 sottocampioni di imprese raggruppati secondo la
dimensione:
Imprese da 1-29: valore mediano di Q pari a 3.76
ln(CT/P3)= -3.34 + 0.40 ln Q + 0.615 ln (P1/P3)+ -0.008 ln (P2/P3)
rendimenti di scala r=2.5
Imprese da 30-58 : valore mediano di Q pari a 5.28
ln(CT/P3)= -6.49 + 0.658 ln Q + 0.093 ln (P1/P3)+ 0.378 ln (P2/P3)
rendimenti di scala r=1.52
Imprese da 59-87 : valore mediano di Q pari a 7.01
ln(CT/P3)= -7.33 + 0.938 ln Q + 0.40 ln (P1/P3)+ 0.25 ln (P2/P3)
rendimenti di scala r=1.07
Imprese da 88-116 : valore mediano di Q pari a 7.71
ln(CT/P3)= -6.546 + 0.912 ln Q + 0.507 ln (P1/P3)+ 0.09 ln (P2/P3)
rendimenti di scala r=1.10
Imprese da 117-145 : valore mediano di Q pari a 8.67
ln(CT/P3)= -6.71 + 1.044 ln Q + 0.603 ln (P1/P3)+ -0.289 ln (P2/P3)
rendimenti di scala r=0.96
I rendimenti di scala fortemente crescenti per le imprese piccole sono
controbilanciati da rendimenti di scala più ridotti per le imprese mediograndi e risultati di scala decrescenti per le imprese più grandi.
12
Stima di una funzione di costo di tipo quadratico:
ln(CT/P3)=β0+βQ ln Q +βQQ(ln Q)2 + β1 ln (P1/P3) + β2 ln (P2/P3) +e
Questo modello permette che i rendimenti di scala varino in base alla
dimensione dell’impresa:
r =AC/MC= 1/(dlnCT/dlnQ)= 1/(βQ +2 βQQ ln Q)
Risultati della stima:
ln(CT/P3)=-3.76+0.153lnQ+0.05(lnQ)2+0.48ln(P1/P3)+0.07ln(P2/P3)
I rendimenti di scala per le diverse dimensioni di impresa sono i
seguenti:
Imprese piccole: 1.88
Imprese medio-piccole: 1.46
Imprese medie: 1.16
Imprese medio-grandi:1.07
Imprese grandi: 0.97
Questi risultati confermano che per lo studio della tecnologia delle imprese
elettriche in questione il modello quadratico è una specificazione più
appropriata del modello Cobb-Douglas.
13
1)
CT
40
20
q1=10
q2=50
60
q
Una forma funzionale maggiormente flessibile è la Translogaritmica o
Translog (include le interazioni tra output e prezzi oltre alle interazioni tra
i prezzi dei fattori):
Nel caso di un prodotto (Y è l'output e Pr è il prezzo dell'input r):
1
ln CT   0   y ln Y   yy (ln Y ) 2    yr ln Y ln Pr
2
r
1
   r ln Pr    rl ln Pr ln Pl  
2 r l
r
Tale forma funzionale ammette che le economie di scala varino in
relazione alle diverse quantità prodotte e ai diversi prezzi degli input
Ad esempio:
d ln CT / d ln Y   y +  yy ln Y
14
+
  ln Pr
yr
r
Nel caso di una impresa multi-prodotto:
ln CT   0   i ln Yi 
i
   r ln Pr 
r
1
 ij ln Yi ln Y j    ir ln Yi ln Pr

2 i j
i
r
1
  rl ln Pr ln Pl  
2 r l
dove Yi rappresenta l'output i, e Pr è il prezzo del fattore produttivo r.
ECONOMIE DI SCALA GLOBALI
CT
1
SE 

y
MC
 i i   cyi
i
i
In presenza di imprese multi-prodotto è possibile calcolare le economie di
varietà o di diversificazione oppure, se le produzioni sono collocate in
diversi stadi della catena produttiva, le economie di integrazione verticale:
ECONOMIE DI DIVERSIFICAZIONE
[C(Y1,0)+C(0,Y2)] > C (Y1,Y2)
si verificano economie di diversificazione qualora la somma dei costi della
produzione separata di due beni da parte di imprese indipendenti superano
i costi della loro produzione congiunta da parte di una impresa
diversificata.
ECONOMIE DI INTEGRAZIONE VERTICALE
[C(YG,0)+C(0,YD)] > C (YG,YD)
15
si verificano economie di integrazione verticale qualora la somma dei costi
della produzione separata di due beni caratterizzati da legami verticali (ad
esempio quantità generata e quantità distribuita di energia elettrica) da
parte di imprese indipendenti superano i costi della loro produzione
congiunta da parte di una impresa integrata verticalmente.
Questioni relative alle stime di funzioni di costo:
Obiettivi dei diversi studi:
- stima delle economie di scala: se C = f (Q, N, P): SE = 1/(εQ+εN)
- stima delle economie di densità: se C = f (Q, N, P): SD = 1/εQ
- stima dell’elasticità di sostituzione tra fattori produttivi
- stima delle economie di integrazione verticale
- stima delle economie di diversificazione (scope economies)
- stima dell’impatto sui costi di: regolamentazione, forme di
governance, cambiamenti proprietari, etc.
- breve periodo vs lungo periodo:
se C = f (Q, K, P): SESR = 1/εQ mentre SELR = (1- εK)/εQ
- stime di sistemi di equazioni costo+input-cost shares
Dal lemma di Shepard: dCT/dPr=Xr
dlnCT/dlnPr = (dCT/dPr) * (Pr/CT) = (Xr* Pr)/CT = Cost share Sr
16
Es. Translog :
ln CT   0    i ln Yi 
i
   r ln Pr 
r
1
 ij ln Yi ln Y j    ir ln Yi ln Pr

2 i j
i
r
1
  rl ln Pr ln Pl   1
2 r l
Sr  d ln CT / d ln Pr   r    ir ln Yi    rl ln Pl 2
i
l
Stima di [1] e [2] con il metodo SUR di Zellner.
- Scelta di forma funzionale (Cobb-Douglas, Quadratica, Translog,
Leontief, etc.) e di restrizioni da imporre o testare (omoteticità,
omogeneità rispetto y, omogeneità rispetto ai prezzi dei fattori)
17
NUMERI INDICE
Possono essere utilizzati sia per analizzare il cambiamento nel corso del
tempo sia per confronti orizzontali tra imprese ad un dato istante.
Caso generale: occorre separare effetto prezzo da effetto quantità nel caso
di un cambiamento di un valore (ad esempio il fatturato) dal periodo s al
periodo t
N
Vst 
P q
i 1
N
it
it
P q
i 1
is
is
s = periodo iniziale; t=periodo finale; N= numero prodotti
4 PRINCIPALI TIPOLOGIE DI INDICI (di quantità e di prezzo)
1. Laspeyres
2. Paasche
3. Fisher
4. Tornqvist
18
Indice Laspeyeres di quantità:
N
LQ 
P
qit
P
qis
i 1
N
i 1
is
is

N

i 1
qit
wis
qis
dove wis è la media ponderata utilizzando come pesi le quote di fatturato
dell'anno iniziale
wis 
Pis qis
N
P
is
i 1
qis
Indice Paasche di quantità:
N
PQ 
P q
i 1
N
it
P q
i 1
it
it
is

N

i 1
1
qis
·wit
qit
dove wit è la media armonica utilizzando come pesi le quote di fatturato
dell'anno finale
wit 
Pit qit
N
P q
i 1
it
it
L'indice di Laspeyeres utilizza i prezzi dell'anno s, L'indice di Paasche
utilizza i prezzi dell'anno t.
19
Indice di Fisher di quantità
FQ 
LQ PQ
Media geometrica dell'indice di Laspeyeres e dell'indice di Paasche
Indice di Tornqvist
 qit 
 

q
i 1  is 
N
TQ
wis  wit
2
Media geometrica ponderata utilizzando come pesi la media delle quote di
fatturato di anno iniziale e finale. Tiene conto quindi del mix di fatturato
dei due anni
L'indice di Fisher e quello di Tornqvist soddisfano molte delle proprietà
che un indice dovrebbe soddisfare
20
Esempio: con i dati della seguente tabella che fa riferimento alla società di
trasporto Billy's Bus Company (3 inputs e due outputs dal 1990 al 1994)
INPUTS
quantità
capitale
67
75
78
89
93
Anno
1990
1991
1992
1993
1994
lavoro
145
166
162
178
177
altro
39
39
43
42
51
lavoro
39
41
42
46
46
OUTPUTS
Anno
1990
1991
1992
1993
1994
quantità
metropolitano lunga distanza
471
293
472
290
477
278
533
277
567
289
prezzo
capitale
100
110
114
121
142
altro
100
97
103
119
122
prezzo
metropolitano lunga distanza
27
18
28
17
34
17
32
20
34
23
Indici di quantità dell'output (rispetto al 1990)
1990
1991
1992
1993
1994
Laspeyres
1
0.998
0.994
1.077
1.140
Paasche
1
0.999
0.998
1.079
1.139
Fisher
1
0.999
0.996
1.078
1.140
Tornqvist
1
0.999
0.996
1.083
1.147
533·34  277·23 24493

 1.083
477·34  278·23 22612
567·27  289·18 20511

 1.059
94:
533·27  277·18 19377
Paasche anno 93:
Laspeyeres
0.7283 0.7743
2
 278 
·

 290 
0.2487
Tornqvist 92
 477 

:
 472 
quote fatt. 1991
477·34
472·28
 0.7743
 0.7283 1992
477·34  278·17
472·28  290·17
21
 1.00794·0.9895  0.9974
L'indice TFP di produttività globale mette a confronto la variazione della
produzione (indice di quantità della produzione) con la variazione dei
fattori produttivi (indice di quantità degli input)
H
N
TFPLst 
P
qit
w
js
x jt
P
qis
w
js
x js
i 1
N
i 1
is
is
j 1
H
j 1
Con riferimento alla società Billy's l'indice TFP di Tornqvist evidenzia una
riduzione continua di produttività:
Cambiamento rispetto al periodo precedente
Indice output Indice Input
1991
0.9986
1.1007
1992
0.9974
1.0297
1993
1.0877
1.0896
1994
1.0586
1.0627
Cambiamento cumulato
1990
1.000
1.000
1991
0.9986
1.1007
1992
0.9960
1.1333
1993
1.0833
1.2348
1994
1.1468
1.3122
TFP
0.9073
0.9686
0.9983
0.9962
1.000
0.9073
0.8788
0.8773
0.8740
Che indicazioni emergono dal calcolo degli indici di produttività globale
TFP?
- efficienza?
- progresso tecnico?
- rendimenti di scala?
22
Caso di un input e un output
TFPst 
yt y s
xt xs
yt = t · ft (xt)
con 0≤t≤1 indicatore di inefficienza dell'impresa
TFPst 
t f t ( xt ) xt t f t ( x*)
·
 ·
s f s ( xs ) xs s f s ( x*)
var. di effic.
progresso tecnico
Questo se xt = xs =
Ad esempio xt =
x* , in caso contrario esiste anche effetto di scala
k · xs
t f t (k ·xs ) k ·xs
TFPst  ·
 s f s ( xs ) xs
Se la funzione di produzione è omogenea di grado ε
f (kx) = kε f(x)
t  1 f t ( xs )
TFPst  ·k
s
f s ( xs )
23
DATA ENVELOPMENT ANALYSIS
Non vi è più l'assunzione che tutte le imprese sono egualmente efficienti
Stima di frontiera non
programmazione matematica
parametrica
utilizzando
strumenti
Misure di efficienza input oriented (Farrel)
Ipotesi ulteriori di 2 input e rendimenti di scala costanti (posso esprimere
x1 e x2 in funzione di y come x2/y e x1/y)
x2/y
P.
Q .
A
.
R
O
A1
x1/y
Il punto P è inefficiente
Efficienza Tecnica: OQ/OP
Efficienza Allocativa: OR/OQ
Efficienza Totale è il prodotto (OQ/OP)· (OR/OQ) = OR/OP
24
di
Se la frontiera di produzione è conosciuta è facile calcolare tali indicatori,
in caso contrario la frontiera viene stimata dai dati reali delle imprese con
il metodo della programmazione lineare
s
x2/y
.
.
.
.
.
.
s'
x1/y
Esempio:
Dati su k input e M output per N imprese
xi = vettore colonna input per l'impresa i
yi= vettore colonna output per l'impresa i
Il problema da risolvere è il seguente per ogni impresa
Min θ, λ θ
s.t.
-yi +Y λ ≥ 0
θ xi - X λ ≥ 0
Y= Matrice MxN (output delle varie imprese)
X = Matrice KxN (input delle varie imprese)
θ = valore di efficienza dell'impresa θ ≤ 1
λ = Nx1 vettore di costanti
L'obiettivo è quello di contrarre per ogni impresa il vettore di input x il più
possibile. Si ottiene la proiezione del punto dell'impresa (X λ ,Y λ) che è
una combinazione lineare delle imprese osservate (le imprese sulla
frontiera hanno θ =1 e λ= 1).
25
Da ogni impresa si ottiene θ. Se θ=0.9 significa che l'impresa potrebbe
ridurre gli input del 10% senza ridurre l'output
NB. Vi sono versioni della DEA anche output oriented e con rendimenti di
scala variabili
FRONTIERE STOCASTICHE (parametriche)
La frontiera viene stimata utilizzando le tecniche econometriche.
Si ipotizza di conoscere la funzione di produzione (ad es. Cobb-Douglas) e
si stima la funzione utilizzando i dati a disposizione ma non si ipotizza
che tutte le imprese sono efficienti.
Esempio con 1 input e 1 output:
ln yi = bo + b1 ln xi + vi - ui
ui = variabile casuale di inefficienza tecnica per l'impresa i (ui≥ 0)
vi = errore standard
y
parte deterministica della funzione
di produzione = exp (bo+b1lnxi)
Ф
Ф
x
x
x
x = dati osservati
Ф = punti della frontiera stocastica
26
Ф può essere sopra la funzione di produzione deterministica se vi >0.
vi è una variabile casuale che può assumere valori positivi o negativi
(prende in esame errori di misurazione o l'effetto di altri fattori non
specificati nella funzione y da stimare.
Limiti nell'utilizzo di questo metodo
Occorre scegliere una funzione di distribuzione per l'inefficienza ui (ui≥ 0)
e ogni forma funzionale scelta (normale troncata, funzione gamma a due
parametri) è criticabile.
Una volta stimata la frontiera stocastica si ottiene un valore di efficienza
tecnica per ogni impresa e un valore medio di inefficienza tecnica del
campione di imprese osservato.
Si può poi condurre un'analisi econometrica sulle cause dell'inefficienza
tecnica delle imprese
exp (-ui) = f (tipo impresa, localizzazione, ricerca e sviluppo, etc.)
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
Berndt E. (1991) ‘Costs, Learning Curves and Scale Economies: From Simple to
Multiple Regression’, capitolo 3 in Berndt ‘The practice of Econometrics. Classic and
Contemporary’, Addison-Wesley Publishing Company.
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