Fisica Sperimentale II – Ottica e Optometria –
I compitino – 4 Novembre 2008.
1 - Il sistema in Figura 1 consiste di un disco di raggio R = 1m uniformemente carico con carica
totale Q = + 1 mC e di una carica q= + Q che e’ posta sull’asse del disco passante per il suo centro
ed a una distanza a dal centro. Calcolare il lavoro L1 , in modulo, necessario per portare la carica q
da x = + a ad x = - 2a con a = 1 mm
2 –Calcolare il campo elettrico E2 nel punto P di coordinate r=+R, x = 1 km in presenza sia della
carica Q sul disco e sia della carica q posizionata nel punto di coordinate x=+a, r=0 (con a = 1 cm).
3 –Calcolare le seguenti grandezze relative al campo elettrico E3 nel centro del disco, di coordinate
x=0, r=0, nell’ipotesi di avere le stesse distribuzioni di carica di cui al punto 1 e 2 ma con q = -Q e
con la carica q posizionata nel punto A di coordinate x = + a, r = + a (con a = R = 1m) e cioe’:
3.1 La componente secondo l’asse x E3x del campo elettrico e
3.2 angolo del campo elettrico rispetto alla normale al disco,
P
R
.
-2a
a
.
x
A
Fig.1
4 – E’ dato (Fig.2) un tubo cilindrico costituito da uno strato metallico di raggio esterno R2 = 1 cm,
raggio interno R1 = 0.5 cm ed altezza H = 10 m. Sul cilindro e’ depositata una carica Q = +1
Coulomb. Una carica puntiforme q = +1 C e’ portata dal centro O del cilindro di coordinata z= 0
ad un punto P di coordinate z3 =2 cm, R3 = 2 cm. Calcolare
4.1 la ddp VOP fra il punto O e il punto P. ed
4.2 il relativo modulo del lavoro fatto LOP.
P
R3
R1
R2
r
O
z
Fig.2
N.B. Per tutte le risposte fare, ove opportuno, le approssimazioni numeriche dettate dalla analisi
degli ordini di grandezze relativi alle varie dimensioni lineari in gioco.
Fisica Sperimentale II – Ottica e Optometria –
I compitino – 4 Novembre 2008.
Risoluzione
1 – Per andare da x = +a ad x = -a i lavori fatti nei due tratti sono uguali e contrari. Rimane il lavoro
nel tratto x = -a, x = -2a .
In tale caso il lavoro e’ dato da L1 = E * a * q con E campo di un piano indefinito in quanto per le
dimensioni lineari in gioco si puo’ approssimare il campo del disco con quello di un piano
Q
0.001
0.318mC / m 2
indefinito con densita’ di carica . Nel nostro caso e’ : 2
2
R
1
0.000318
qa
0.001x0.001 18.0 Joule.
L1 = E * q * a =
2 0
2 x8.85 x10 12
2 – Date le distanze in questione del punto P dal sistema disco+carica q le due cariche: quella del
disco e la carica q sono viste come una unica carica di valore 2Q posta a distanza di 1 km
k 2Q 8.99 x10 9 x 2 x0.001
Quindi |E2| = 2
18.0Volt / m diretto secondo l’asse x
x
1000 2
Cioe’ E2 ≈ 18.0 i.
3.1 - In tale caso il campo elettrico e’ = alla somma vettoriale dei campi prodotti dal disco che al
centro e’, per ovvie questioni di simmetria, normale alla superficie del disco e quello della carica q
(che ricordiamo e’ negativa) diretto a + 45 gradi rispetto alla normale al disco. Quindi la
componente normale al disco E3x e’ dato da :
kq
8.99 x10 9 x0.001
E3x=
2 cos 45 0 1.79 x10 7
cos 45 0 21.1 x 10+6 Volt/m
2
2 0 2a
2 x1
3.2 Sulla base delle considerazioni del punto 3.1 l’angolo sara’ dato da:
E 3r
= arctg
con E3r originante solo dalla carica q dato che la carica del disco non produce
E3 x
kq
sin( 45 0 ) .
(sicuramente nell’origine) componente del campo elettrico secondo r. Quindi E3r =
2
2a
9
1 kq
1
8.99 x10 x0.001
sin( 45 0 ) ] = arctg
= arctg [
x
sin 45 0 =arctg 0.15 =8.58 0.
2
6
E 3 x 2a
21.0 x10
2 x12
= 56.0 0.
4 – Date le dimensioni lineari in gioco si puo’ assumere ragionevolmente che il campo elettrostatico
al di fuori del tubo sia radiale ovunque (soprattutto in corrispondenza della parte centrale del tubo) e
qunidi che sia solo funzione di r. Ovviamente all’interno del tubo, un conduttore, (per r< R2) sara’
E = 0. In tale ragionevole ipotesi applicando il teorema di Gauss si ha che:
Q
E (r) =
allora e’
2 0 rH
VOP =
R3
Edr
0
R3
=
Q
2 rH dr
R2
0
=
Q
20 H
log
R3
1
2
log =
=
12
1
R2 2 8.85 * 10 * 10
= 1.25 * 109 Volts
4.2 – LOP = qVOP = 10-6 * 1.25 10+9 = 1.25 kJoule.
