Lezione del 29/11/01 – ora 16.30-18.30
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMA
Anno Accademico 2001-2002
Facoltà di Architettura
Corso di Fisica Tecnica
Professore:
Angelo Farina
Argomento della lezione:
ESERCIZI SUI VAPORI SATURI
Data e Ora della Lezione:
29/11/2001 - 16.30-18.30
Trascrittore:
Laura Quarantelli
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Lezione del 29/11/01 – ora 16.30-18.30
ESERCIZIO 1
Uno “scatolone” adiabatico realizzato con un involucro perfettamente isolante è
diviso al suo interno in due parti A e B separate da una parete mobile (Fig.1). Il
contenitore essendo un sistema chiuso ha un volume complessivo V costante ma le
singole parti hanno caratteristiche differenti: in A è contenuto vapore saturo d’acqua
di massa Ma =1 Kg a pressione Pa =9.8 bar e titolo Xa = 0.1. In B invece la massa
del vapore saturo d’acqua è Mb = 2 Kg, la pressione Pb =0.98 bar e titolo Xb =0.5.
B
A
Fig. 1
Le due parti della scatola sono singolarmente in equilibrio, ma se viene tolto il
setto che suddivide le due parti il sistema non è più in equilibrio in quanto le due
parti sono a diversa pressione e diversa temperatura.
Improvvisamente dunque, tolto il setto, i due gas si misceleranno e alla fine il
sistema tornerà in un nuovo stato di equilibrio.
Lo scopo del nostro lavoro è trovare il valore della massa, del volume e del titolo
allo stato finale.
E’ necessario a tal fine considerare le equazioni di conservazione della massa,
dell’energia e del volume.
Si consideri il diagramma P V del vapore saturo (Fig. 2): in esso sono segnati
gli stati A e B. La situazione di equilibrio finale dopo la miscelazione sarà intermedia
ma non è detto che essa cadrà nel punto medio del segmento di estremi A e B in
quanto il sistema non è governato solo da una semplice equazione.
E’ necessario pertanto procedere per tentativi utilizzando una tabella sul quale
segnare i valori a piccoli intervalli per trovare con più precisione il valore più
prossimo allo stato fisico finale.
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P
A
9.80
B
0.98
Va
Vb
Fig. 2
Utilizziamo dunque le equazioni a noi note:
-
Equazione di Conservazione della Massa in un sistema chiuso:
Mf = Ma + Mb = 1 Kg + 2 Kg = 3 Kg
-
Equazione di Conservazione del Volume:
Mf vf = Ma va + Mb vb
Vf
= Va
+ Vb
Dove Vf è il volume specifico finale, Va è il volume specifico in A e Vb è il
volume specifico in B. F , A e B sono i volumi rispettivamente finale, di A e di B.
Il volume iniziale è dato da:
Va = vla + xa vda
e
vb = vlb + xb vdb
Quindi guardando la tabella del volume del liquido in A sostituisco i valori:
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Va = 0.001126 + 0.1 . 0.1969 = 0.0208 m3 / kg
Vb = 0.001043 + 0.5 . 1.724 = 0.863 m3 / kg
Il volume specifico finale sarà dato da
Ma va + Mb vb
Vf =
Mf
Il punto F corrispondente allo stato finale andrà a collocarsi dunque sulla retta
del diagramma corrispondente a vf = 0,5823 m3/kg che soddisfa l’equazione di
bilancio energetico.
P
Pa
A
F
Pf
B
Pb
Va
Vf
Vb
V
Fig. 3
-
Equazione di Conservazione dell’Energia:
Uf Mf = ua Ma + ub Mb
Da cui si ricava l’energia di A e B grazie alla formula
U = ul + x ( r – p .vd)
Dove ul è l’energia specifica del liquido, x è il titolo, r è il calore latente di
vaporizzazione, p è la pressione e vd il volume differenziale; ricavando i valori dalle
tabelle ottengo
Ua = ula + xa ( ra – pa vda)
= 759 + 0.1 (2018 – 980 . 0.1969) = 941 kj/kg
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Ub = ulb + xb (rb – pb vdb)
= 415 + ( 2259 – 98 . 1.724) . 0.5 = 1460 kj/kg
Ricavo dunque l’energia specifica finale dal Principio di Conservazione
dell’Energia:
Ma ua + Mb ub
Uf =
Mf
Ora è necessario procedere per tentativi per trovare i valori di pressione e titolo
per i quali il valore dell’energia specifica finale più si approssimano a 1287 kj/kg.
Procediamo organizzando i dati in una tabella:
Pf
xf
uf
284
196
147
118
0,94
0,65
0,49
0,40
2425
1820
1472
1260
Posso considerare 1260 il valore che più si approssima a 1287, quindi posso
concludere che la pressione finale Pf = 118 KPa e il titolo finale xf = 0,4.
ESERCIZIO 2
In una caldaia entra acqua a 60°C; la pressione all’interno del mio sistema aperto
è fissata a 40 bar. Quanto calore devo immettere nella caldaia per far uscire vapore
ad una temperatura di 300°C?
T1 = 60°C
T2= 300°C
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P
1
2
3
40
4
300°C
250°C
60°C
V
Fig.4
Il sistema è aperto e per ogni Kg di acqua che entra nella caldaia ne esce
altrettanta sotto forma di vapore. Il bilancio dell’energia è riassunto in questo modo:
Dh = q-l
Ma il lavoro all’interno del sistema è nullo in quanto non esistono dispositivi
meccanici interni alla caldaia che imprimono una forza, quindi
ENTALPIA FINALE - ENTALPIA INIZIALE = Q
L=0
q = h4 – h1
= (h4 – h3) + ( h3 – h2) + (h2 – h1)
= Cp ( T4 – T3) + r + Cl (T2-T1)
dove r è il calore latente di vaporizzazione e Cp è il calore specifico del vapore
h2 – h1 = Cl (T2-T1)= 4.187 (250-60) = 795 kj/kg
h3 – h2 = r = 1713 kj/kg
h4 – h3 = Cp (T4-T3)= 2.1 (300-250) =105 kj/kg
Q= 4.187 (250-60) + 1713 + 2.1 (300-250)
=795 + 1713 + 105 = 2614 kj/kg
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Qual è la potenza termica necessaria ad ottenere una portata di M= 4 kg/s ?
Q = M . q = 4 . 2614 = 10456 kj/s
ESERCIZIO 3
10 kg acqua
1kg vapore
Un contenitore adiabatico contiene 10 Kg di acqua e 1 Kg di vapore. Il
recipiente essendo un sistema chiuso è ermetico e ha volume costante. Nel
contenitore viene immessa una quantità di calore Q tale da innalzare la pressione
interna da 1 a 5 bar.
Calcolare le condizioni finali e la quantità di calore necessaria ad innalzare la
pressione interna.
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P
5
2
1
1
V
Utilizziamo dunque le equazioni note di Conservazione della Massa e del
Volume:
-
-Ml1 + Mv1 = Ml2 + Mv2
Vv1 + Vl1 = Vv2 + Vl2
Ml1 Vl1 + Mv1 Vv1 = Ml2 Vl2 + Mv2 Vv2
Dove Ml è la massa del liquido e Mv è la massa del vapore.
Possiamo semplificare la parte riguardante il liquido perché trascurabile:
Ml1 + Mv1 = Ml2 Mv2
Mv1 Vv1 = Mv2 Vv2
Mv1 + Vv1
1 . 1.1673
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Mv2 =
=
Vv2
= 4.5 kg
0.375
Ml2 = 6.5 kg
Mv1
X1 =
= 0.09
Ml1 + Mv1
Mv2
X2 =
= 0.41
Ml2 + Mv2
Qual è il calore necessario a scaldare il sistema?
DU=Q
DU = MTOT ( u2 – u1)
U2 = ul2 + x2 ud2 = ul2 + x2 ( r2 – p2 vd2)
= 640 + 0.41 (2107 – 5 . 102 . 0.374) =
= 1427 kj/kg
U1 = 607 kj/kg
DU = MTOT ( u2 – u1) = 11 ( 1427 – 607 ) = 9020 kj
ESERCIZIO 4
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In una tubazione passa del vapore umido, la pressione interna è di 39,7 bar
mentre la pressione esterna è di 1 bar. Trovare il titolo.
Per risolvere il problema si utilizza un metodo molto semplice: viene fatto un
forellino nella tubazione e viene posto accanto un termometro. Leggendo la
temperatura del termometro quando il sistema è stabile è possibile trovare il titolo.
manometro
p = 39.7 bar
1 bar
Il calore che il vapore perde uscendo dal foro ad altissima velocità è
praticamente nullo. Consideriamo dunque la trasformazione adiabatica a temperatura
costante e osserviamo il grafico:
P
39.7
1
250° C
2
1
100° C
V
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Essendo la trasformazione adiabatica, all’interno del sistema non avviene
scambio di calore; possiamo inoltre osservare che non avviene nemmeno lavoro
termico:
DH = Q - L
H2 = H1
h2 = h1 (in termini specifici)
La curva isoterma che passa per 1 bar è di 100°C, mentre la temperatura di
uscita la posso leggere sul termometro: 115°C. Dalle tabelle termodinamiche posso
trovare la temperatura
T1 = 250°C
H1 = hl1 + x1 r
H2 = hl2 + x2 r2 +
1
Cpv
(T2 – T1)
=4.187 . 100 + 2257 + 1.95 ( 115 – 100) = 2705 kj/kg
h1=h2
2705 - (4.187 . 250)
hl1
x1 =
1715
r1
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ESERCIZIO 5
In un contenitore a pareti rigide la pressione interna è di 1 kg/cm3 e il titolo è
0.644. Lo scopo del mio lavoro è trovare quanta energia serve al sistema per
trasformare il vapore umido in vapore secco (per far ‘saltare’ quindi il punto 1 del
diagramma sulla curva in corrispondenza del punto 2).
p = 1 kg/cm
3
x = 0.644
1
P
2
1
Siccome conosco la pressione posso ricavare dalle tabelle la temperatura nello
stato iniziale 1: t1= 99.1°C.
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Secondo il Principio di conservazione del Volume:
V1 = V2
M M
V1 = v2
V1 = V2 = Vl1 + x Vv1 = 0.001 + 0.644 . 1.724 = 1.11 m3/kg
Dalle tabelle limite o dal diagramma trovo anche p2 = 1.569 bar
In assenza di lavoro meccanico la variazione di energia è pari al calore applicato
al sistema:
Du = q = u2 – u1
U2 = ul2 + x2 ( r2 – vd2 p2 ) = 472 + 1 (2141 – 156.9 . 1.13) = 2436 kj/kg
U1 = ul1 + x1 ( r1 – vd1 p1 ) = 419 + 0.644 (2257 – 100 . 1.67 ) = 1745 kj/kg
U2 - U1 = 671 kj/kg
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