Quando una matrice si può invertire

Quando una matrice si può invertire
La matrice identità di ordine n (In) svolge, nell’insieme delle matrici quadrate di
ordine n a coefficienti reali (Mn(R)), e rispetto al prodotto righe per colonne, un ruolo
analogo a quello svolto, rispetto alla usuale moltiplicazione, dal numero 1 nel campo
dei numeri reali: In è il cosiddetto elemento neutro, ossia il prodotto per esso lascia
invariata ogni matrice. In simboli:
per ogni A  M n ( R )
AI n  I n A  A.
(1)
Ci si può chiedere se sia possibile effettuare, in Mn(R), un’operazione analoga al
passaggio al reciproco (o inverso) di un numero reale diverso da zero. In altri termini,
il problema è questo: per quali matrici A  M n ( R ) esiste una matrice inversa A-1 tale
che
A  A1  A1  A  I n
ed, eventualmente, come la si può calcolare?
Proviamo a dare la risposta per matrici quadrate di ordine n piccolo.
 Se n = 1, la matrice identità è I1 = (1), la matrice da considerare è A = (a). La
matrice inversa di quest’ultima esiste, evidentemente, se e solo se a  0, ed in tal
caso A1  (a 1 ) . Infatti:
(a)  (a 1 )  (a 1 )  (a)  (aa 1 )  (1).
 Per n = 2, la risposta è meno immediata, e richiede un calcolo. Data la generica
matrice quadrata reale di ordine 2,
a12 
a
A   11

 a 21 a22 
si tratta di determinare, se esiste, una matrice incognita
x
X   11
 x 21
x12 
x22 
tale che sia verificata la (1), ossia tale che
A X  X  A  I2 .
Risolviamo l’equazione matriciale
A  X  I2
La esplicitiamo prima nella forma:
 a11 a12   x11
a
 x
a
22   21
 21
x12   1 0 

,
x22   0 1 
poi sviluppiamo il prodotto righe per colonne a primo membro:
 a11 x11  a12 x21 a11 x12  a12 x22   1 0 
a x  a x
  0 1
a
x

a
x


21 12
22 22 
 21 11 22 21
Uguagliando i coefficienti corrispondenti delle due matrici, si ottiene un sistema di
equazioni lineari:
a11 x11  a12 x21
a x  a x
 11 12 12 22

a21 x11  a22 x21
a21 x12  a22 x22
1
0
0
1
I calcoli mostrano che l’unica soluzione è data da
x11 
a22
;
a11a22  a12 a21
x12 
a12
a11a22  a12 a21
x21 
a21
;
a11a22  a12 a21
x22 
a11
a11a22  a12 a21
ed esiste solo per le matrici A per cui a11a22  a12 a21  0.
Si può verificare che l’equazione XA  I 2 ha la stessa soluzione. Pertanto
a22

a a a a
A1   11 22 12 21
a21

a a a a
 11 22 12 21
 In generale, per n  2 ,
a12

a11a22  a12 a21 

a11

a11a22  a12 a21 
- la matrice A quadrata reale di ordine n è invertibile se e solo se il suo determinante
det(A) è diverso da zero;
- in tal caso
 ( 1)i  j Aji
A 
 det( A)

1

,

1i , jn
dove Aji denota il determinante della matrice ottenuta eliminando da A la j-esima riga
e la i-esima colonna.
Esempio
a) Determiniamo la matrice inversa di
 1 0 1 
A  2 1 1 


 0 2 3 


Anzitutto occorre calcolare
1 0 1
det( A)  2 1 1  9  0.
0 2 3
La matrice è dunque invertibile, e la sua matrice inversa è
 5
 9

2
1
A  
 3
 4

 9
2
9
1
3
2
9
1 
9 

1
 .
3
1 

9 
b) La matrice
 1 2 1 
B   0 3 1 


1 5 0 


non è invece invertibile, perché det(B) = 0.