Quando una matrice si può invertire La matrice identità di ordine n (In) svolge, nell’insieme delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti reali (Mn(R)), e rispetto al prodotto righe per colonne, un ruolo analogo a quello svolto, rispetto alla usuale moltiplicazione, dal numero 1 nel campo dei numeri reali: In è il cosiddetto elemento neutro, ossia il prodotto per esso lascia invariata ogni matrice. In simboli: per ogni A M n ( R ) AI n I n A A. (1) Ci si può chiedere se sia possibile effettuare, in Mn(R), un’operazione analoga al passaggio al reciproco (o inverso) di un numero reale diverso da zero. In altri termini, il problema è questo: per quali matrici A M n ( R ) esiste una matrice inversa A-1 tale che A A1 A1 A I n ed, eventualmente, come la si può calcolare? Proviamo a dare la risposta per matrici quadrate di ordine n piccolo. Se n = 1, la matrice identità è I1 = (1), la matrice da considerare è A = (a). La matrice inversa di quest’ultima esiste, evidentemente, se e solo se a 0, ed in tal caso A1 (a 1 ) . Infatti: (a) (a 1 ) (a 1 ) (a) (aa 1 ) (1). Per n = 2, la risposta è meno immediata, e richiede un calcolo. Data la generica matrice quadrata reale di ordine 2, a12 a A 11 a 21 a22 si tratta di determinare, se esiste, una matrice incognita x X 11 x 21 x12 x22 tale che sia verificata la (1), ossia tale che A X X A I2 . Risolviamo l’equazione matriciale A X I2 La esplicitiamo prima nella forma: a11 a12 x11 a x a 22 21 21 x12 1 0 , x22 0 1 poi sviluppiamo il prodotto righe per colonne a primo membro: a11 x11 a12 x21 a11 x12 a12 x22 1 0 a x a x 0 1 a x a x 21 12 22 22 21 11 22 21 Uguagliando i coefficienti corrispondenti delle due matrici, si ottiene un sistema di equazioni lineari: a11 x11 a12 x21 a x a x 11 12 12 22 a21 x11 a22 x21 a21 x12 a22 x22 1 0 0 1 I calcoli mostrano che l’unica soluzione è data da x11 a22 ; a11a22 a12 a21 x12 a12 a11a22 a12 a21 x21 a21 ; a11a22 a12 a21 x22 a11 a11a22 a12 a21 ed esiste solo per le matrici A per cui a11a22 a12 a21 0. Si può verificare che l’equazione XA I 2 ha la stessa soluzione. Pertanto a22 a a a a A1 11 22 12 21 a21 a a a a 11 22 12 21 In generale, per n 2 , a12 a11a22 a12 a21 a11 a11a22 a12 a21 - la matrice A quadrata reale di ordine n è invertibile se e solo se il suo determinante det(A) è diverso da zero; - in tal caso ( 1)i j Aji A det( A) 1 , 1i , jn dove Aji denota il determinante della matrice ottenuta eliminando da A la j-esima riga e la i-esima colonna. Esempio a) Determiniamo la matrice inversa di 1 0 1 A 2 1 1 0 2 3 Anzitutto occorre calcolare 1 0 1 det( A) 2 1 1 9 0. 0 2 3 La matrice è dunque invertibile, e la sua matrice inversa è 5 9 2 1 A 3 4 9 2 9 1 3 2 9 1 9 1 . 3 1 9 b) La matrice 1 2 1 B 0 3 1 1 5 0 non è invece invertibile, perché det(B) = 0.