Calcolo Combinatorio
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author: Giulio De Meo CALCOLO COMBINATORIO Il Calcolo Combinatorio stabilisce il numero di possibili raggruppamenti che si possono formare con n elementi distinti di natura qualsiasi. Disposizioni Semplici di n oggetti presi a k a k ( con k ≤ n ) : D n , k = n · (n ─ 1)· (n ─ 2)· ··· · (n ─ k+1) Disposizioni con Ripetizione di n oggetti presi a k a k ( con k ≤ n ) : D’n , k = n k Permutazioni Semplici = Fattoriale del numero n di oggetti: Pn = Dn , n = n · (n ─ 1)· (n ─ 2)· ··· · 1 = n ! Permutazioni con ripetizione di n oggetti a k a k : Formula del Binomio di Newton: n (a+b) n n an + = 0 n a n─1 1 n a b + n─2 b2 + ··· + 2 bn n Combinazioni Semplici di n oggetti presi a k a k ( con k ≤ n ) : C n,k = D n,k K! Combinazioni con Ripetizione di n oggetti presi a k a k ( con k ≤ n ) : C’ n,k = ( n+k-1 )! k! ( n-1)! 1 author: Giulio De Meo MATRICI Matrice An,m A= ( n x m) n righe m colonne AT = Matrice TRASPOSTA di A AT (m x n) a11 a12 a13 ..... a1m a 11 a 21 a 31 ..... a n1 a21 a22 a23 ..... a2m A T = a 12 a 22 a 32 ..... a n2 a n1 a n2 a n3 ..... a a 1m a 2m a 3m ..... a nm nm Prodotto di Matrici: C ( n x q ) = A ( n x m ) · B ( m x q ) ............................................ ............................................ ... b 1k ..... .... b 2k .... ... . ..... ...... ...... ..... a i1 a i2 .... · a im ..................................................................... ..... = C11 ..... ..... C1q ..... ...... ...... ..... ...... C i,k ..... .... ..... .... ..... ..................................................................... ...................................................................... ...... b m k .... l’elemento della matrice prodotto C i,k cioè di riga i-esima e colonna k-esima, è dato dalla somma del prodotto della riga i-esima di A per la colonna k-esima di B: C i,k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k + .......... + a i m m bmk = ∑ a ij · b j j=1 k DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA Il Determinante di una matrice quadrata (2 x 2) è dato dal prodotto: a11 a12 a21 a22 A= D = a11 a22 ─ a21 a12 Se la matrice è di 3° grado ( 3x3) si può applicare la Regola di Sarrus: si ricopiano le prime due colonne della matrice a lato di quella iniziale e si effettua la somma dei prodotti incrociati come segue: D= a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 D = ( a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + ─ a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a13 a21 a32 ) ─ ( a12 a21 a33 + a11 a23 a32 + a13 a22 a31 ) ; 2 author: Giulio De Meo Se una matrice ha determinante nullo è detta singolare o degenere; se D è diverso da zero è detta non singolare o regolare. Per calcolare il determinante di una matrice quadrata di ordine qualsiasi si procede come segue: scelto un elemento a i,k della matrice quadrata A(n,n) e soppressa da A la riga i-esima e la colonna k-esima si ottiene una matrice quadrata di ordine (n-1) il cui determinante si chiama Minore Complementare M i,k dell’elemento a i,k . Si definisce Complemento Algebrico ( o cofattore) dell’elemento a i,k , il Minore Complementare di a i,k preceduto dal segno + / ─ , a seconda che sia pari o dispari la somma ( i + k). C i,k = ( -1 ) ( i + k ) · M i,k Data una matrice quadrata di ordine n, il Determinante di A è dato dalla somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi riga o colonna di A, per i rispettivi complementi algebrici. Ad esempio, scelta la colonna k si ha n D = ∑ a i,k ( -1 ) ( i + k ) · M i,k i=1 RANGO DI UNA MATRICE Si definisce Minore di Ordine K di una matrice A (n x m) , il determinante di una qualsiasi matrice di ordine k estratta dalla matrice A. Si definisce RANGO ( o Caratteristica ) della matrica A (n x m) , l’ordine massimo dei suoi minori non nulli. Cioè, data una matrice (n x m ), se almeno un minore di ordine k è non nullo , mentre tutti i minori di ordine (k+1) sono nulli, il numero naturale k è il Rango della matrice. MATRICE INVERSA DI UNA MATRICE QUADRATA Matrice IDENTICA ( 3 x 3 ) I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Calcolo della Matrice Inversa: per prima cosa si calcola il determinante D(A) e la Trasposta AT della matrice A. L’elemento bi , k della matrice inversa A-1 è il Complemento Algebrico C i , k dell’elemento a k,i della matrice Trasposta , diviso per il determinante D(A). Data una matrice quadrata A , si chiama Matrice Inversa di A, la matrice quadrata A-1 che moltiplicata a destra e a sinistra per A dia per prodotto la matrice Identica I : A · A-1 = A-1 · A = I a11 a12 a21 a22 AT = A= A ─1 = b11 b12 a11 a21 a12 a22 1 C11 C12 D(A) C21 C22 = b21 b22 3
