Calcolo Combinatorio

author: Giulio De Meo
CALCOLO COMBINATORIO
Il Calcolo Combinatorio stabilisce il numero di possibili raggruppamenti che si
possono formare con n elementi distinti di natura qualsiasi.
Disposizioni Semplici di n oggetti presi a k a k ( con k ≤ n ) :
D n , k = n · (n ─ 1)· (n ─ 2)· ··· · (n ─ k+1)
Disposizioni con Ripetizione di n oggetti presi a k a k ( con k ≤ n ) :
D’n , k = n
k
Permutazioni Semplici = Fattoriale del numero n di oggetti:
Pn = Dn , n =
n · (n ─ 1)· (n ─ 2)· ··· · 1 = n !
Permutazioni con ripetizione di n oggetti a k a k :
Formula del Binomio di Newton:
n
(a+b)
n
n
an +
=
0
n
a
n─1
1
n
a
b +
n─2
b2 + ··· +
2
bn
n
Combinazioni Semplici di n oggetti presi a k a k ( con k ≤ n ) :
C n,k = D n,k
K!
Combinazioni con Ripetizione di n oggetti presi a k a k ( con k ≤ n ) :
C’
n,k
=
( n+k-1 )!
k! ( n-1)!
1
author: Giulio De Meo
MATRICI
Matrice An,m
A=
( n x m) n righe
m colonne
AT = Matrice TRASPOSTA di A
AT (m x n)
a11
a12
a13
.....
a1m
a 11
a 21
a 31
.....
a n1
a21
a22
a23
.....
a2m
A T = a 12
a 22
a 32
.....
a n2
a n1
a n2
a n3
.....
a
a 1m
a 2m
a 3m
.....
a
nm
nm
Prodotto di Matrici: C ( n x q ) = A ( n x m ) · B ( m x q )
............................................
............................................
...
b 1k
.....
....
b 2k
....
... .
.....
......
......
.....
a i1
a i2
....
·
a im
.....................................................................
.....
=
C11
.....
.....
C1q
.....
......
......
.....
......
C i,k
.....
....
.....
....
.....
.....................................................................
......................................................................
......
b m k ....
l’elemento della matrice prodotto C i,k cioè di riga i-esima e colonna k-esima, è dato dalla somma del
prodotto della riga i-esima di A per la colonna k-esima di B:
C i,k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k + .......... + a i m
m
bmk = ∑
a ij · b j
j=1
k
DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA
Il Determinante di una matrice
quadrata (2 x 2) è dato dal prodotto:
a11
a12
a21
a22
A=
D = a11 a22 ─ a21 a12
Se la matrice è di 3° grado ( 3x3) si può applicare la Regola di Sarrus: si ricopiano le prime due colonne
della matrice a lato di quella iniziale e si effettua la somma dei prodotti incrociati come segue:
D=
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a 31
a 32
a 33
a 31
a 32
D = ( a11 a22 a33
+
a12 a23 a31
+
─
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a 31
a 32
a 33
a 31
a 32
a13 a21 a32 ) ─ ( a12 a21 a33
+
a11 a23 a32
+
a13 a22 a31 ) ;
2
author: Giulio De Meo
Se una matrice ha determinante nullo è detta singolare o degenere; se D è diverso da zero è detta non
singolare o regolare.
Per calcolare il determinante di una matrice quadrata di ordine qualsiasi si procede come segue:
scelto un elemento a i,k della matrice quadrata A(n,n) e soppressa da A la riga i-esima e la colonna k-esima
si ottiene una matrice quadrata di ordine (n-1) il cui determinante si chiama Minore Complementare M i,k
dell’elemento a i,k .
Si definisce Complemento Algebrico ( o cofattore) dell’elemento a i,k , il Minore Complementare di a i,k
preceduto dal segno + / ─ , a seconda che sia pari o dispari la somma ( i + k).
C i,k = ( -1 ) ( i + k ) · M i,k
Data una matrice quadrata di ordine n, il Determinante di A è dato dalla somma dei prodotti degli elementi
di una qualsiasi riga o colonna di A, per i rispettivi complementi algebrici.
Ad esempio, scelta la colonna k si ha
n
D = ∑ a i,k ( -1 ) ( i + k ) · M i,k
i=1
RANGO DI UNA MATRICE
Si definisce Minore di Ordine K di una matrice A (n x m) , il determinante di una qualsiasi matrice di
ordine k estratta dalla matrice A.
Si definisce RANGO ( o Caratteristica ) della matrica A (n x m) , l’ordine massimo dei suoi minori non
nulli. Cioè, data una matrice (n x m ), se almeno un minore di ordine k è non nullo , mentre tutti i minori di
ordine (k+1) sono nulli, il numero naturale k è il Rango della matrice.
MATRICE INVERSA DI UNA MATRICE QUADRATA
Matrice IDENTICA ( 3 x 3 )
I =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Calcolo della Matrice Inversa:
per prima cosa si calcola il
determinante D(A) e la
Trasposta AT della matrice A.
L’elemento bi , k della matrice
inversa A-1 è il Complemento
Algebrico C i , k dell’elemento
a k,i
della matrice Trasposta ,
diviso per il determinante D(A).
Data una matrice quadrata A , si chiama Matrice Inversa di
A, la matrice quadrata A-1 che moltiplicata a destra e a sinistra
per A dia per prodotto la matrice Identica I :
A · A-1 = A-1 · A = I
a11
a12
a21
a22
AT =
A=
A ─1 =
b11
b12
a11
a21
a12
a22
1
C11
C12
D(A)
C21
C22
=
b21
b22
3