Predicati e quantificatori

Appunti di logica matematica
A cura del Prof. Salvatore Messina
Logica matematica
Premessa
La matematica ha il compito di fornire gli strumenti necessari per aiutare gli studenti ad
acquisire abilità e capacità, a costruire cioè il loro sapere matematico.
Nella vita di tutti i giorni abbiamo bisogno di comunicare con gli altri attraverso le parole
che se opportunamente collegate danno luogo a delle proposizioni, e le proposizioni collegate tra
loro danno vita ad un discorso e quindi al nostro pensiero.
Sappiamo però, che sia nel parlare che nello scrivere dobbiamo rispettare alcune regole.
Le regole della grammatica per esempio, la parola : “cassssa” non è corretta dal punto di
vista ortografico, ossia non è ammessa nella lingua italiana.
Le regole della semantica mi permettono di dare un significato alla parola ammessa nella
lingua italiana. Per esempio, se scriviamo : “zirpare” a questa parola non corrisponde nessun
significato.
Le regole della sintassi ci permettono di costruire frasi corrette mettendo insieme più parole.
Per esempio, la frase : “il cubo ama la Francia” è sintatticamente corretta, ma
semanticamente non è lecita nel nostro linguaggio perché non ha un significato comprensibile.
Riassumendo :
possiamo dire allora che nel nostro linguaggio abbiamo :
 L’alfabeto costituito dalle 21 lettere;
 Un insieme di altri caratteri (punteggiature varie, parentesi etc.);
 Parole che si costruiscono con i caratteri;
 Frasi o proposizioni che si costruiscono mettendo insieme alcune parole;
 Grammatica
 l’insieme delle regole per la costruzione di parole ammesse (morfologia);
 l’insieme delle regole per la costruzione di frasi formalmente corrette
(sintassi);
 Semantica che studia il significato delle parole e delle frasi.
Osserviamo che nella nostra lingua ci sono parole con significato ambiguo per esempio “porta”
ha il significato di porta di casa oppure di porta come voce del verbo portare.
Noi in matematica non utilizzeremo le parole che hanno tali ambiguità, anzi ogni termine avrà il suo
significato specifico. Il linguaggio matematico che adotteremo sarà limitato ma rigoroso.
Le proposizioni
Nello studio della matematica occorre fissare alcuni principi di ragionamento logico che ci
permettono di formare le proposizioni.
Diamo una definizione di proposizione.
Una proposizione o enunciato è una frase alla quale possiamo attribuire il valore di vero o falso.
Es. 5 è un numero dispari. 8 è un numero primo. Roma è la capitale d’Italia.
Controesempio. Come ti chiami? Io sono un bravissimo giocatore di calcio. Pensa a studiare.
Analizzando gli esempi fatti possiamo dire che la logica delle proposizioni è basata su due principi :
 Il principio del terzo escluso (tertium non datur) che afferma :
una proposizione o è vera o è falsa.
 Il principio di non contraddizione (principium contradictionis) che afferma :
una proposizione non può essere contemporaneamente sia vera che falsa.
Data 02/06/2017
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Predicati e quantificatori
Consideriamo la proposizione semplice:
A: ” 7 è un numero primo “
“ 7 “ è l’argomento di cui si parla e
“ è un numero primo “ è il predicato che si riferisce alla proprietà di cui gode l’argomento.
Consideriamo quest’altra proposizione:
B: “ 10 è un numero primo “
“ 10 “ è l’argomento che è cambiato rispetto al precedente
mentre il predicato è rimasto lo stesso.
Per evitare di scrivere ogni volta l’argomento particolare utilizzeremo la variabile x al suo posto, in
modo da generalizzare il concetto di proposizione. Per esempio scriveremo :
P(x) : “ x è un numero primo “
Tale proposizione prende il nome di predicato aperto ad un posto in cui l’argomento è variabile.
Quando si assegnerà un valore alla x otterremo una proposizione chiusa che avrà il suo valore di
verità.
Per esempio :
per x=2
P(2) : “ 2 è un numero primo “ è vera;
per x=4
P(4) : “ 4 è un numero primo “ è falsa.
Consideriamo ora la proposizione semplice :
A : “ 5 è divisore di 10 “
in cui sono presenti due argomenti che sono il “ 5 “ e il “ 10 “
e un predicato che è “ è divisore di “.
Con la stessa osservazione fatta precedentemente si può dire che se agli argomenti viene sostituito
rispettivamente la variabile x e la variabile y, avremo la seguente proposizione aperta :
P(x,y) : “ x è divisore di y “
tale proposizione prende il nome di predicato aperto a due posti.
Assegnando valori alla x e alla y otterremo una proposizione chiusa che avrà il suo valore di verità.
Per esempio :
per x=2 e y=10
P(2,10) : “ 2 è divisore di 10 “ è vera;
per x=8 e y=20
P(8,20) : “ 8 è divisore di 20 “ è falsa.
Facendo riferimento al primo esempio portato, riscontriamo che nell’insieme dei numeri naturali N
esistono alcuni numeri primi per cui se scriviamo :
P(x) : “ Qualche x è un numero primo “
oppure
Q(x) : “ Ogni x è un numero primo “
la prima proposizione è vera e la seconda risulta falsa.
L’osservazione che facciamo che sia P(x) che Q(x) sono diventate delle proposizioni chiuse
utilizzando le locuzioni “Qualche” e “Ogni” . Tali locuzioni prendono il nome di quantificatori
esistenziali il primo ed universale il secondo e si indicheranno con i simboli  e .
Facciamo qualche esempio di utilizzo di tali quantificatori nell’insieme N dei numeri naturali e
P(x) : “ x è un numero dispari “.
Esempio 1 : “ Per ogni x in N, x è un numero dispari “
in simboli si scrive così :  x  N , P(x)
Esempio 2 : “ Esiste almeno un x in N, per cui x è un numero dispari “
in simboli si scrive così :  x  N , P(x)
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Attività in classe.
1. Facendo uso dei quantificatori codifica le seguenti proposizioni :
a. Ogni uomo è alto
b. Tutti i bipedi sono mammiferi
c. Alcuni bambini hanno gli occhiali
d. Certi bipedi volano
e. Qualcuno dipinse la “Gioconda”
2. Dato il seguente insieme di definizione A  0,2,4,6,8,10 , quali delle seguenti proposizioni
sono vere e quali false ?
a. P(x) : “  x / (x>0)  (x<10) “
b. P(x) : “ x multiplo di 2 e minore di 10 “
c. P(x) : “  x / x minore o uguale a 10 “
d. P(x) : “  x / (x>0)  (x<10) “
3. Metti
xZ:
a.
b.
c.
d.
al posto dei puntini il quantificatore che rende vera ogni proposizione aperta con
P( x) :"........... / x 2  0"
P( x) :".........../ x  2  0"
P( x) :"........... / x 2  25"
P( x) :"........... / x 2  4  0"
4. Introdurre al posto dei puntini uno dei quantificatori “Ogni”, “Qualche” e “Nessun” affinché
ogni proposizione risulti vera nell’insieme dei numeri naturali e scrivere le proposizioni così
ottenute in simboli:
a. “………….numero ha il successivo”
b. “………….numero è primo”
c. “………….numero è decimale periodico”
d. “………….numero è negativo”
e. “………….numero è minore di 10”
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Logica e ragionamento
Consideriamo i tre ragionamenti :
R1 : “ Se studio mi diplomo. Studio. Quindi mi diplomo. ”
R2 : “ Se studio mi diplomo. Non mi diplomo. Quindi non studio. ”
R3 : “ Se studio mi diplomo. Se mi diplomo mi iscrivo all’università.
Se studio mi iscrivo all’università. “
Sono corretti ?
Se dalle premesse, supposte vere, siamo in grado di dedurre conseguenze vere allora possiamo dire
che sono corretti. Le tavole di verità ci consentono di verificare quanto abbiamo espresso ma, esiste
anche la possibilità di seguire certe regole di deduzione che trovano grande applicazione nelle
dimostrazioni matematiche.
Modus Ponens
Riprendiamo il ragionamento R1 : “ Se studio mi diplomo. Studio. Quindi mi diplomo. ”
nella quale le proposizioni semplici sono :
A : “ studio “
B : “ mi diplomo “
possiamo schematizzare il ragionamento in :
premesse
Se studio mi diplomo
Studio
conclusione Mi diplomo
che in simboli si scrive :
AB
A
B
e si legge così : se l’implicazione AB è vera ed è vera A, allora è vera anche B.
Analizziamo il ragionamento mediante la tavola di verità dell’implicazione :
A B AB
V V
V
V F
F
F V
V
F F
V
le due premesse AB e A sono entrambe vere nella prima riga nella quale anche la conclusione B
risulta vera. Quindi il ragionamento è valido.
Oppure si potrebbe considerare la tavola di verità della proposizione :
AB)A]B .
A B AB (AB)A AB)A]B
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
che è una tautologia. Quindi il ragionamento è corretto.
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Modus Tollens
Riprendiamo il ragionamento R2 : “ Se studio mi diplomo. Non mi diplomo. Quindi non studio. ”
nella quale le proposizioni semplici sono :
A : “ studio “
B : “ mi diplomo “
possiamo schematizzare il ragionamento in :
premesse
Se studio mi diplomo
Non mi diplomo
conclusione Non studio
che in simboli si scrive :
AB
B
A
e si legge così : se l’implicazione AB è vera ed è falsa la B, allora è falsa anche la A.
Analizziamo il ragionamento mediante la tavola di verità dell’implicazione :
A
V
V
F
F
B AB
V
V
F
F
V
V
F
V
A
F
F
V
V
B
F
V
F
V
le due premesse AB e B sono entrambe vere nell’ultima riga nella quale anche la conclusione
A risulta vera. Quindi il ragionamento è valido.
Oppure si potrebbe considerare la tavola di verità della proposizione :
AB) B ] A .
A B AB
B
(AB) B
A
AB) B ] A
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
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F
V
V
che è una tautologia. Quindi il ragionamento è corretto.
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Sillogismo
Riprendiamo il ragionamento R3 : “ Se studio mi diplomo. Se mi diplomo mi iscrivo all’università.
Se studio mi iscrivo all’università. “
nella quale le proposizioni semplici sono :
A : “ studio “
B : “ mi diplomo “
C : “ mi iscrivo all’università “
possiamo schematizzare il ragionamento in :
premesse
Se studio mi diplomo
Se mi diplomo mi iscrivo all’università
conclusione Se studio mi iscrivo all’università
che in simboli si scrive :
AB
B C
A C
e si legge così : se l’implicazione AB è vera ed è vera l’implicazione BC, allora è vera anche
l’implicazione AC .
Analizziamo il ragionamento : il sillogismo non è altro che la proprietà transitiva
dell’implicazione. Quindi il ragionamento è valido.
Oppure si potrebbe considerare la tavola di verità della proposizione :
AB)(BC)](AC) .
A B C AB BC (AB) (BC) AC AB)(BC)](AC)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
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F
V
F
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F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
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V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
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V
V
V
V
V
V
V
V
che è una tautologia. Quindi il ragionamento è corretto.
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Attività in classe.
Nei seguenti ragionamenti individua premesse e conclusione, quindi schematizza ogni
ragionamento e specifica la regola utilizzata.
a. Se compero le arance allora farò la spremuta. Compero le arance, quindi farò la
spremuta.
b. Se il triangolo è isoscele allora ha almeno due lati congruenti. Il triangolo non ha i
lati congruenti, quindi non è isoscele.
c. Se un numero termina con zero è divisibile per 10. Il numero termina con zero. Di
conseguenza è divisibile per 10.
d. Se studi sei promosso. Se sei promosso vai in vacanza. Quindi se studi vai in
vacanza.
e. Se un numero è divisibile per 6 allora è divisibile per 2. Un numero non è divisibile
per 2. Quindi non è divisibile per 6.
f. Se piove non esco di casa. Piove quindi non esco di casa.
g. Se la televisione trasmette un film comico resto in casa. Non resto in casa, quindi la
televisione non trasmette un film comico.
h. Se aumenta il traffico aumenta l’inquinamento. Se aumenta l’inquinamento la città è
invivibile. Se aumenta il traffico la città è invivibile.
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Induzione e Deduzione
In matematica i teoremi sono delle proposizioni composte che hanno bisogno di una dimostrazione
per essere sicuri che siano vere. A volte si dimostrano con un processo di induzione e a volte con un
processo di deduzione.
Alcuni teoremi di tipo caratteristico vengono dimostrati per induzione.
Per esempio :
“ La somma dei primi n numeri naturali è uguale al semiprodotto di n per il suo successivo “
che equivale a scrivere :
1  2  3  ....... n 
dimostrazione :
si verifica se è vera per n=1
1
n  n  1 n 2  n

2
2
1  1  1 2
 1
2
2
si suppone vera per n-1 e si dimostra che è vera per n
1  2  3  ....... n  1 
aggiungiamo n ad entrambi i termini dell’uguaglianza
1  2  3  ....... n  1  n 
è vera;
n  1  n
2
n  1 n  n
2
n 2  n  2n n 2  n
1  2  3  ....... n 

2
2
Altri teoremi verranno dimostrati utilizzando il processo di deduzione che consiste nel ricavare una
nuova affermazione a partire da premesse della quale si sa che sono vere.
Pertanto gli schemi di ragionamento : Modus Ponens, Modus Tollens e Sillogismo che abbiamo
esaminato in precedenza sono delle regole di deduzione.
Teorema, dimostrazione, regole di deduzione
Consideriamo la seguente proposizione :
“ Se n è un numero divisibile per 4 allora n è un numero pari “
individuiamo l’ipotesi H : “ n è un numero divisibile per 4 “
la tesi T : “ n è un numero pari “
per cui : HT.
Se dalla verità di H deduciamo con un ragionamento logico la verità di T, allora possiamo dire di
aver dimostrato la verità dell’implicazione HT cui assegniamo il nome di teorema.
Definiamo teorema una proposizione che si presenta nella forma
HT
Essa è formata da :
 un’ipotesi H costituita da tutto ciò che si suppone vero;
 una tesi T che indica l’affermazione che si deve dimostrare;
 una dimostrazione organizzata secondo un insieme di passaggi logici che mostrano
come da H discenda T.
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La dimostrazione diretta di un teorema è una catena di proposizioni vere secondo lo schema
seguente :
H
H  A1
A1  A2
A2  A3
............
An  T
_______
T
Vogliamo ora fare un esempio di dimostrazione diretta del seguente teorema :
“ Se n è un numero divisibile per 4 allora n è un numero pari “
premettiamo che un numero pari o dispari verrà scritto nel seguente modo :
n=2k
con
kN
per il numero pari;
n=2k+1 con
kN
per il numero dispari.
Ipotesi H : “ n è divisibile per 4 “
Tesi
T : “ n è un numero pari “
devo dimostrare che HT.
Per ipotesi
n:4  q
qN r  0
n  4q
n  2  2q  poniamo 2q  k  N
n  2k
cioè n è un numero pari.
La dimostrazione indiretta o per assurdo di un teorema si basa su un procedimento che consiste
nell’individuare un’affermazione che sia in contraddizione con una delle seguenti proposizioni vere:
l’ipotesi, un teorema dimostrato in precedenza o un postulato.
Vogliamo dimostrare il seguente teorema :
“ Se n2 è un numero pari allora n è un numero pari “
che ha per ipotesi H : “n2 è un numero pari”
e per tesi
T : “n è un numero pari”
bisogna dimostrare che HT.
Con la dimostrazione per assurdo utilizzo la proposizione logicamente equivalente T  H .
Supponiamo per assurdo che T : “n è un numero non pari” è vera
n  2k  1 con k  N eleviamo ambo i membri al quadrato
n 2  4k 2  4k  1


n 2  2 2k 2  2k  1
poniamo 2k 2  2k  h
con h  N
n  2h  1
2
questo vuol dire che n2 è dispari in contrasto con l’ipotesi.
Quindi che n è un numero pari è vera.
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Attività in classe.
Dimostrare per induzione i seguenti teoremi :
1. “ La somma dei quadrati dei primi n numeri naturali è uguale ad un sesto del prodotto di
n con il successivo e con il successivo del doppio di n. “
nn  12n  1
6
2. “ La somma dei cubi dei primi n numeri naturali è uguale al quadrato della somma dei
primi n numeri naturali. “
12  22  32  .......  n 2 
n 2 n  1
4
3. “ La somma degli n reciproci dei prodotti di un numero naturale per il suo successivo è
uguale al rapporto tra il numero il numero n e il suo successivo. “
13  23  33  .......  n3  1  2  3  .......  n  
2
2
1
1
1
n

 ....... 

1 2 2  3
nn  1 n  1
Verificare le seguenti proprietà per induzione :
n
n  N
si ha : x  y   x n  y n .
1. x, y  R
2.
1  a n  1  n  a
con a  1 .
Verificare la seguente uguaglianza per induzione:
1  qn
q  q 2  q3  .......  q n  q 
con q  1 .
1 q
Dimostra per deduzione i seguenti teoremi:
1. Se un numero n  N divide a,b,c  N allora divide anche la loro somma.
2. Se a e b sono il divisore e il dividendo di una divisione e li moltiplichiamo per x>0
allora il quoziente rimane invariato e il resto è moltiplicato per x.
3. Se due numeri x e y, divisi per z danno lo stesso resto allora x-y è divisibile per z.
4. Se a e b sono il divisore e il dividendo di una divisione ed x li divide entrambi allora
divide anche il resto.
5. Se x e y sono numeri naturali pari allora x+y è pari.
6. Se x e y sono numeri naturali dispari allora x+y è pari.
7. Se x e y sono numeri naturali pari allora xy è pari.
8. Se x e y sono numeri naturali dispari allora xy è dispari.
9. Se x e y sono numeri naturali dispari allora xy è pari.
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Condizione Necessaria e Sufficiente
Precisiamo che se HT è un’implicazione vera, non sempre l’inversa TH risulta vera, ma nel
caso lo fosse, allora parliamo di teorema inverso del teorema diretto HT.
Se valgono entrambi i teoremi possiamo formularne uno nuovo che li raccolga in un’unica
proposizione :
HT
ossia H se e solo se T.
Riprendendo il concetto di teorema dato a pag.8 e prendendo in esame la tavola di verità
dell’implicazione materiale nei casi in cui essa è vera cioè:
H
V
F
F
T HT
V
V
V
V
F
V
Osserviamo subito che se H è vera anche T è vera, quindi per asserire la verità di T è sufficiente
sapere che H è vera.
L’enunciato del teorema può quindi essere letto in vari modi:
a. se H è vera allora anche T è vera;
b. condizione sufficiente perché sia vera T è che sia vera H.
Osserviamo invece che la verità di T è condizione necessaria ma non sufficiente per poter asserire la
verità di H.
Il teorema afferma perciò che :
“condizione necessaria perché H sia vera è che sia vera T”
La validità dell’implicazione HT può essere espressa in uno dei seguenti modi :
1. H è condizione sufficiente per T; infatti sapere che H è vera, è sufficiente per concludere che
anche T è vera;
2. T è condizione necessaria per H; infatti non può essere vera H senza che sia vera T.
Esempio :
se considero la proposizione :
“ se un numero è divisibile per 6, allora è pari ”
dove l’ipotesi è H : “ un numero è divisibile per 6 “;
mentre la tesi è T : “ il numero è pari “.
H è condizione sufficiente per T; infatti l’essere divisibile per 6 è una condizione sufficiente
perché sia pari.
T è condizione necessaria per H; infatti l’essere pari è necessario per essere divisibile per 6.
Ora supponiamo che valgono le due implicazioni :
HT e TH.
Osserviamo che :
 l’implicazione HT indica che T è condizione necessaria per H;
 l’implicazione TH indica che T è condizione sufficiente per H.
In questo caso diciamo che :
“ T è condizione necessaria e sufficiente per H ”
La dimostrazione del teorema viene realizzata in due tempi :
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

prima proviamo che T è condizione necessaria, mostrando la validità di HT;
poi proviamo che T è condizione sufficiente, mostrando la validità di TH.
Facciamo un esempio :
dimostriamo il teorema :
“n è un numero pari se e solo se n2 è un numero pari “
ipotesi H : “n è un numero pari”
tesi
T : “n2 è un numero pari”
C.N.
HT
n  2k con k  N eleviamo ambo i membri al quadrato
n 2  4k 2
 
n 2  2 2k 2
poniamo 2k 2  h
con h  N
n 2  2h
quindi n2 è un numero pari.
C.S.
TH
già dimostrata.
Attività in classe.
Riconoscere quali tra le seguenti sono condizioni necessarie, sufficienti oppure necessarie
e sufficienti :
1. “ Se un numero è pari allora è divisibile per 2 “; (c.n.s.)
2. “ Se un numero è dispari allora lo è anche il suo quadrato ”; (c.n.s.)
3. “ Se un triangolo è isoscele allora è equilatero “;(c.s.)
4. “ Se un triangolo è equilatero allora è isoscele “;(c.n.)
5. “ Se un numero è divisibile per 10 allora è divisibile per 2 “;(c.n.)
6. “ Se un numero è divisibile per 8 allora è multiplo di 4 “;(c.n.)
7. “ Se un numero naturale ha zero come ultima cifra allora è divisibile per 10 “;(c.n.s.)
8. “ Se x<10 allora x<100 “;(c.s.)
9. “ Se un triangolo è equilatero allora è equiangolo “;(c.n.s.)
10. “ Se un numero è pari allora è divisibile per 6 “;(c.s.)
11. “ Se un triangolo è isoscele allora ha due angoli congruenti”; (c.n.s.)
12. “ Se un numero è multiplo di 9 allora è multiplo di 3 “.(c.n.)
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