L’ANGOLO: UN BEL PROBLEMA!
L’argomento “angolo” è uno dei più complessi e più delicati di tutta la geometria elementare.
Quali sono le motivazioni?
Il linguaggio comune porta a crearci un’idea distorta di angolo.
Il termine angolo non individua un unico concetto, ma un campo concettuale (collegamento
alle isometrie, a poligoni, a posizione reciproca tra rette, alla circonferenza, alla geometria
nello spazio, alle grandezze e alla misura).
Ci sono miscugli di termini e significati (esempio convesso – concavo: per figure ed angoli
non vanno di pari passo).
Ci sono varie possibili definizioni, ma nessuna esaurisce la molteplicità di esperienze che gli
alunni possono fare, riconducibili al concetto di angolo.
Cosa può fare un insegnante?
1)Deve rendersi conto di ciò che gli allievi sanno ed individuare gli eventuali misconcetti.
2)Deve rendersi conto se gli allievi hanno maturato sufficienti esperienze concrete in merito,
altrimenti deve provvedere.
3)Deve saper leggere in maniera critica il libro di testo, poiché, al di là delle varie impostazioni,
spesso i nodi cruciali vengono taciuti o sorvolati. Altre volte, invece, le definizioni sono errate;
l’insegnante può integrare quanto scritto nel testo.
La “ricognizione “ iniziale sperimentata e argomentata da vari nuclei di ricerca in didattica della
matematica ha messo in luce che gli studenti:
pensano all’angolo come ad una punta. In questa prima fase occorrerà rendersi conto
che figure del tipo
non sono angoli, cioè i lati devono essere semirette.
PROBLEMA
1)Materiale: angoli di diversa ampiezza ritagliati in carta da lucidi, ai quali sia stato tagliato il
vertice, righello. Per esempio:
Degli angoli sono stati “decapitati”. Incolla la parte a sul quaderno e completa, disegnando il
vertice. Verifica l’esattezza del lavoro, incollando la parte b.
Questa attività serve a verificare se i ragazzi hanno interiorizzato il fatto che i lati dell’angolo sono
due semirette.
fanno fatica a considerarli figure illimitate (se la definizione data è DEF 1 Si dice
angolo ciascuna parte di piano limitata da due semirette aventi l’origine in comune).
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Spesso anche noi insegnanti consideriamo, nei poligoni, una “parte” di angolo;
difficilmente prolunghiamo i lati di un triangolo, se vogliamo, per esempio, fissare
l’attenzione sul fatto che un angolo del triangolo è retto.
ESERCIZIO
1)A quale degli angoli del triangolo ABC appartengono i punti A, H?
A tutti.
spesso la limitatezza dei lati nel disegno li induce a commettere errori per ciò che
riguarda l’ampiezza degli angoli. Questa difficoltà si lega al concetto di congruenza tra
angoli e al confronto.
PROBLEMA
Materiale: angoli diversi sia per ampiezza sia per lunghezza dei lati, ritagliati in carta da lucido.
1)Ordina gli angoli dal più ampio al meno ampio.
Questa attività serve a verificare se i ragazzi tengono conto dell’ampiezza degli angoli senza farsi
condizionare dalla lunghezza dei lati.
Materiale: carta trasparente.
2)Confronta i seguenti angoli e stabilisci quali sono congruenti.
L’insegnante può sottolineare che tutti gli angoli congruenti hanno una caratteristica comune:
l’ampiezza (classe di equivalenza) e si può così introdurre l’unità di misura: l’angolo grado e i suoi
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sottomultipli e presentare lo strumento goniometro. Esso, a seconda del modello, può presentare
una doppia scala, quella sessagesimale e quella centesimale.
L’uso del goniometro permette di rinforzare l’idea che l’ampiezza di un angolo non dipende dalla
lunghezza dei suoi lati.
ESERCIZIO
4) Utilizza il goniometro per mettere in ordine decrescente di ampiezza i seguenti angoli:
fanno fatica a trattare i casi particolari: angoli concavi, angolo nullo, piatto, giro. Mi
permetto di aggiungere che i libri di testo non specificano se gli angoli nulli, piatti, giri sono
concavi o convessi. L’angolo della DEF 1, in quanto figura piana, può essere classificato in
concavo e convesso. Ricordo che:
DEF 2Una figura è convessa se, comunque si prendano due punti appartenenti ad essa,
il segmento che li ha come estremi è contenuto nella figura. Una figura non convessa si
dice concava.
L’angolo nullo è dunque una figura convessa, così come l’angolo piatto e l’angolo giro
(consideriamo appartenenti all’angolo anche i punti dei lati).
I libri di testo, però, spesso riportano una definizione che viene utilizzata come criterio per
stabilire la convessità o concavità di un angolo.
DEF 3 Un angolo si dice convesso se non contiene il prolungamento del lati; si dice
concavo se contiene il prolungamento dei lati.
L’insegnante deve essere consapevole che essa presenta degli inconvenienti. Secondo
questa definizione l’angolo nullo è convesso, mentre l’angolo piatto e giro risultano concavi.
Il docente deve fare delle scelte per non confondere gli allievi ed essere coerente (es:”Non
utilizziamo la def 3 per gli angoli piatti e giri”).
Esercizio
a)Stabilisci quali dei seguenti angoli sono concavi, quali sono convessi.
Eviterei di inserire l’angolo piatto e l’angolo giro, per quanto detto sopra.
La classificazione degli angoli la cui ampiezza è compresa strettamente tra 0° e 180° in angoli
acuti, retti, ottusi non è solitamente problematica.
ESERCIZIO
1) Individua gli angoli acuti e ottusi.
3
Si può utilizzare la squadra o un angolo retto ottenuto piegando in quattro un foglio (le due
piegature devono essere perpendicolari).
2)La somma di due angoli acuti è un angolo acuto?
Occorre abituare gli alunni a stabilire se l’affermazione è vera in generale. Non basta fornire
qualche esempio sul quale tutto funziona, anzi occorre scoprire se esistono esempi per i
quali l’affermazione è falsa.
Oltre a queste difficoltà mi sembra opportuno evidenziare l’importanza di :
sapere indicare in maniera corretta un angolo, utilizzando tre lettere (utile anche con
Cabri) o solo il vertice, quando non ci sono dubbi.
ESERCIZIO
Scrivi in simboli matematici che due angoli corrispondenti formati dalle rette r e s sono
congruenti.
Error!
La difficoltà riguarda la scelta dei punti sulle opportune semirette e il fatto che in questo caso non
si può indicare un angolo con una sola lettera.
saper comprendere ed utilizzare in contesti problematici le definizioni di angoli
consecutivi e adiacenti
Quando due angoli si dicono consecutivi? Ecco una definizione tratta da un libro di testo.
DEF 5: due angoli si dicono consecutivi quando hanno un lato e il vertice in comune.
Domanda: gli angoli ac e bc sono consecutivi?
Stando alla def 5 la risposta è affermativa, ma i due angoli non sono consecutivi. Bisogna
specificare DEF 5 bis: due angoli si dicono consecutivi quando hanno solo un lato e il vertice in
comune. L’insegnante deve offrire opportuni controesempi: se una delle tre condizioni (vertice in
comune, lato in comune, solo vertice e lato in comune) non è rispettata gli angoli non sono
consecutivi.
ESERCIZIO
Stabilisci quali dei seguenti angoli sono consecutivi.
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Quando si corregge l’esercizio occorre motivare quale delle condizioni non è rispettata o si può
chiedere subito agli allievi di motivare la risposta.
Il concetto di angoli adiacenti è abbastanza ostico; anche se si dà la DEF 6 Due angoli si
dicono adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni stanno sulla stessa retta non sempre gli
allievi sanno eseguire correttamente questo
ESERCIZIO
Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.
a)Due angoli consecutivi sono anche adiacenti.
b)Due angoli adiacenti sono anche consecutivi.
La motivazione dell’errore può essere duplice: o fanno confusione tra i due concetti o fanno fatica
a considerare che l’affermazione deve essere vera per due qualunque angoli consecutivi.
Un altro utile esercizio è:
Disegna due angoli consecutivi.
E’ chiaro che se l’alunno producesse due angoli adiacenti non avrebbe sbagliato, ma è preferibile
sollecitarlo a rappresentare un caso generico.
ESERCIZIO
Stabilisci quali angoli sono adiacenti.
saper comprendere ed utilizzare in contesti problematici le definizioni di angoli
complementari, supplementari.
Richiamo le definizioni:
Due angoli si dicono complementari se la loro somma è un angolo retto; due angoli si
dicono supplementari se la loro somma è un angolo piatto.
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Da un libro di testo:
1)Disegna gli angoli complementari di quelli dati.
Sarà proprio possibile disegnarli tutti? Forse sarebbe meglio richiedere che siano consecutivi,
anche perché gli allievi devono capire che esistono angolo complementari non consecutivi!
Quando si trattano i triangoli e i quadrilateri ci si riferisce ad angoli che non sono mai
adiacenti o consecutivi.
E’ importante stimolare la riflessione degli alunni sul legame tra angoli adiacenti e
supplementari.
ESERCIZIO
Stabilisci le seguenti affermazioni sono vere o false:
a)Due angoli supplementari sono adiacenti.
b)Due angoli adiacenti sono supplementari.
La a) non è vera in generale, mentre lo è la b).
Si possono poi presentare alcuni problemi.
1)Due angoli adiacenti sono uno il triplo dell’altro. Calcola l’ampiezza dei due angoli.
Si può utilizzare il metodo grafico. Gli studenti spesso sono disorientati poiché non compare
alcuna ampiezza angolare e non affrontano il problema. Spesso i libri di testo in problemi simili
usano l’espressione “calcola la misura dei due angoli”. Ricordo che la misura è un numero.
2)La differenza di due angoli è di 40° e uno è il triplo dell’altro. Calcola le ampiezze dei due
angoli.
Non ci sono particolari difficoltà, se non quella di utilizzare correttamente il metodo grafico e
disegnare la differenza.
3)L’ampiezza di un angolo è il triplo di quella di un altro e la supera di 40°. Calcola
l’ampiezza dei due angoli.
Il problema è identico al precedente, ma il vocabolo “supera” spesso viene associato erroneamente
all’operazione di somma (in questo caso tra ampiezze) e non a quello di differenza.
saper operare correttamente con ampiezze angolari (riduzione a forma normale,
addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni per un numero naturale, divisione per un
numero naturale diverso da zero).
Alcuni alunni confondono il sistema sessagesimale con quello decimale, altri commettono errori
legati alle singole operazioni.
Da un libro di testo:
ESERCIZIO
“Se divido un angolo di 45° in due parti uguali trovo due angoli di 22°5’”.
La risposta corretta è 22°30’
“NO”.
Dal libro “Pitagora si diverte” -Mondadori
Il risveglio del matematico
Questa mattina sono stato svegliato dai rintocchi della mia pendola e ho notato che la retta
tracciata tra le 4 e le 10 divideva l’angolo formato dalle due lancette in due angoli uguali:
rassicurato dall’osservazione, ho deciso allora di restare a letto fino a mezzogiorno,
cominciando a leggere un giallo dalla prospettiva molto interessante.
Quante ore ho avuto a disposizione per tentare di scoprire l’assassino?
La risposta è quattro ed è l’unica soluzione, poiché in corrispondenza delle altre coppie di valori 911,7-1, 6-2,5-3 la pendola non suona i rintocchi.
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PROBLEMA
Andrea guarda giocare gli amici, Gianni, Ida, Mario dalla finestra della sua camera. Essi lanciano la
palla rasoterra contro il muro, proprio sotto la sua finestra. Andrea osserva come la palla rimbalza,
una volta in A, una volta in B, una volta in C.
A
muro
B
C
Andrea suggerisce ai suoi amici di disporre sul terreno dei birilli e di lanciare la palla contro il
muro, mirando al punto B, in modo che la palla, rimbalzando, ne faccia cadere qualcuno.
Nella figura qui sotto potete vedere come sono disposti i birilli, indicati con a, b, c, d, e f e le
posizioni da cui Gianni, Ida e Mario lanciano la palla. Ciascun bambino, a turno, lancia la palla
dal punto indicato e la fa rimbalzare sul muro nel punto B.
a
b
Gianni
f
d
Ida
Mario
muro
c
e
B
Quanti birilli cadranno e chi li farà cadere? Giustificate la vostra risposta.
Costruita la perpendicolare al muro in B e le simmetriche delle semirette date si scopre che
Gianni colpisce il birillo d, Ida il birillo b, Mario nessun birillo.
E per concludere…..
Quanti angoli riesci ad individuare?
DIPENDE...........dalla definizione di angolo considerata!
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