Esercizi condensatori
1.
In un condensatore a facce piane e parallele, di capacità C=8,86mmF è inserito un
dielettrico di costante dielettrica relativa er=8.
Calcolare la distanza fra le armature, sapendo che la superficie è S=100cm2.
2.
Due grandi lastre metalliche distano d=0,10 m e sono collegate ai poli di
una batteria. Una pallina carica, posta nel mezzo, subisce una forza elettrica F=3,0 .104
N. Le lastre vengono ora allontanate fino a che la distanza diventa d 1=0,15m,
rimanendo collegate alla stessa batteria.
a) Qual è la forza che agisce ora sulla pallina?
b) Se, mantenendo la nuova distanza, triplichiamo la d.d.p. fra le due lastre, quale sarà
la forza agente sulla pallina?
Soluzione:
Il campo elettico E fra le armature di un condensatore è costante e con
direzione perpendicolare alle armature. Se la d.d.p. fra le armature è DV si
ottiene DV=Ed dove d è la distanza fra le armature. Si ricava che E si misura anche
in V/m=N/C.
a) F=qE E=V/d
E1=V/d1
E1/E=(V/d1)/(V/d2)=d1/d E1=d1E/d
F1=qE1=qdE/d1=dF/d1 F1=(0,10/0,15).3,0.10-4=2,0.10-4 N
b) E2=3V/d1=3E1
F2=3F1 F2=3.2,0.10-4=6,0.10-4
3. Fra le armature di un condensatore piano è inserito un dielettrico. La capacità del
condensatore è C=4,0pF, mentre in assenza di dielettrico è C0=2,0pF.
Calcolare la costante dielettrica relativa del mezzo interposto.
Se la superficie delle armature è S=200cm2, calcolare la distanza tra le stesse.
Se la carica portata dalle armature è Q=4,0.10-8C, calcolare per ambedue i casi (con o senza
dielettrico):
a)la differenza di potenziale tra le armature;
b) l'intensità del campo nel punto A;
c) la forza elettrica agente su una carica q=10-8C positiva, posta nel punto A.
d) il lavoro elettrico necessario per spostare la carica q da A a B.
Soluzione:
C=e0erS/d C0=e0S/d er=C/C0
er=4,0/2,0=2,0
C0=e0S/d
d=e0S/C0
d=(8,86.10-12.200.10-4)/(2,0.10-12)=8,86.10-2 m
a) DV0=Q/C0=(4,0.10-8)/(2,0.10-12)=2.10-4 V
DV=DV0/2=1.104V (C=2C0)
b) E0=DV0/d=(2,0.104)/(8,86.10-2)=0,23.106 V/m
E=E0/2=0,11.106 V/m (DV=DV0/2)
c) Il campo fra le armature è uniforme:
F0=qE0=10-8.0,23.106=0,23.10-2 N
F=qE=F0/2
F=0,11.10-2N
d) VA=VB (equidistanti dalle armature)
L=q(VA-VB)
L=0
4. Una sferetta di dimensioni trascurabili, di massa m=2,0 .10-10g e carica negativa q=10-10C, si
trova in equilibrio nel punto A fra le armature di un condensatore piano, carico.
Sapendo che S=20cm2, d=10mm, er=1, calcolare:
a) la forza elettrica agente sulla carica;
b) l'intensità del campo elettrico nel punto A;
c) la differenza di potenziale fra le armature;
d) la densità di carica sulle armature del condensatore;
e) la capacità del condensatore.
Se fra le armature del condensatore, mantenute allo stesso potenziale, si interpone un
dielettrico di costante dielettrica relativa er=4,0, la sferetta è ancora in equilibrio?
Soluzione
a) F=P=mg
F=2,0.10-13.9,8=19,6.10-13N (direzione di P e diretta verso l'alto)
b) E=F/q
E=(19,6.10-13)/10-10=19,6.10-3 N/C (direzione di F, verso opposto)
c) DV=Ed
DV=19,6.10-3.10-2=19,6.10-5 V (il campo è uniforme)
Applicando il teorema di Coulomb al caso del campo generato da una piastra carica abbiamo trovato
(vedi Problema 11.6.1) che E=s/2e0er.
Fra le armature del condensatore il campo E si ottiene con la somma dei campi generati dalle due
armature E=2.s/2e0er=s/e0er
d) s=e0E s=8,86.10-12.19,6.10-5=18.10-4 C/m2
e) C=e0S/d C=8,86.10-12.20.10-4/10-2=17,8.10-13 F < 1,8 pF
Se fra le armature del condensatore interponiamo un dielettrico di costante er e manteniamo costante
sia DV sia d, l'intensità del campo E non cambia e la sferetta rimane in equilibrio.
5. La differenza di potenziale fra le armature di un condensatore piano, nel vuoto, è V=200V,
la superficie delle armature S=100cm2 e la distanza fra le stesse d=4,0mm. (er=1)
Calcolare:
a) la capacità del condensatore;
b) la carica Q portata dalle armature;
c) la densità di carica sulle armature;
d) l'energia potenziale elettrica posseduta da una sferetta con carica positiva
q=10-8C, posta nel punto A alla distanza h=3,0mm dall'armatura messa a terra;
e) l'energia cinetica massima che acquisterebbe la sferetta carica q se la lasciassimo libera
nel punto A.
Soluzione
a) C=e0S/d
C=8,86.10-12.10-2/(4.10-3)=2,2.10-11 F
b) Q=CV Q=2,2.10-11.2.102=4,4.10-9 C
c) s=Q/S s=4,4.10-7 C/m2
Si poteva anche calcolare da s=e0E=e0V/d:
s=8,86.10-12.2.102/(4.10-3)=4,4.10-7C/m2
d) EP=qDV=qEh=qVh/d
EP=10-8.2.102.3.10-3/(4.10-3)=1,5.10-6 J
e) EC=EP
EC=1,5.10-6 J
6. Calcolare la capacità di un condensatore piano (S=7,9cm2, d=1,0.10-3m) se il dielettrico
inserito fra le armature ha costante dielettrica er=3. Se fra le armature c'è una
differenza di potenziale V=2000V, quanta energia si ottiene scaricando il condensatore?
Soluzione
C=e0erS/d
C=8,86.10-12.3.7,9.10-4/10-3=210.10-13F=21pF
C=Q/V
L=QV/2=CVV/2=CV2/2
L=21.10-12.4.106/2=42.10-6 J
7. Fra le armature di un condensatore piano posto nel vuoto è applicata una differenza di
potenziale V=100V. La distanza fra le armature è d=6,0mm. (fig.11.26)
Calcolare:
a)l'intensità del campo elettrico nei punti A, B e C;
b) il potenziale elettrico nei punti A, B e C;
c) il lavoro necessario per spostare una carica q=10-8C positiva da A a B, da B a C, da A a C;
d) la densità di carica s sulle armature;
e) la forza elettrica agente sulla carica q se la poniamo nei punti A, B, C.
Rispondere nuovamente alle domande precedenti nel caso in cui fra le armature sia posto un
dielettrico di costante er=4.
Soluzione
a) Il campo è uniforme: EA=EB=EC=V/d EA=EB=EC=100/(6.10-3)=0,17.105 V/m
a') E'A=E'B=E'C=V/d=0,17.105 V/m (con dielettrico)
b) VA=Ed1=0,17.105.2.10-3=0,34.102 V VB=Ed2=0,17.105.4.10-3=0,68.102 V
b') V'A=VA V'B=V'C=VA=VB (con dielettrico)
c) LAB=q(VA-VB) LAB=10-8.102.(0,68-0,34)=0,34.10-6 J LAC=LAB poichè VB=VC LBC=0
c') L'AB=L'AC=LAB=LAC
L'BC=0 (con dielettrico)
d) s=e0E s=8,86.10-12.0,17.105=1,5.10-7 C/m2
d') s'=e0erE=ers
s'=6,0.10-7 C/m2 (con dielettrico)
e) FA=FB=FC=qE FA=10-8.0,17.105=0,17.10-3 N
e') F'A=F'B=F'C=FA=FB=FC (con dielettrico)
