Teorema di Gauss_Intro - Digilander

FLUSSO ELETTRICO – una introduzione al
Teorema di Gauss
Fino ad ora abbiamo studiato il caso del campo elettrico prodotto da una carica
puntiforme: non ci siamo preoccupati di sapere cosa accade se la carica elettrica
non è concentrata tutta in un punto ma è estesa lungo una particolare forma
geometrica. Ad esempio: se distribuisco una carica Q su di una sfera conduttrice di
raggio R, qual è il campo elettrico prodotto dalla sfera? E se distribuisco Q su di un
filo conduttore? E se invece pongo Q sopra una superficie conduttrice? Queste e
tante altre situazioni simili non possono essere affrontate usando direttamente
l’eq. di Coulomb perché la carica agente non è concentrata in un singolo punto ma
è invece estesa nello spazio.
Lo studio del campo elettrico prodotto da una carica elettrica distribuita secondo una particolare forma
geometrica fu portato avanti da illustri matematici fra i quali vale la pena ricordare Joseph-Louis Lagrange
(1736 – 1813) e Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) , i quali indipendentemente l’uno dall’altro
svilupparono all’uopo una nuova tecnica matematica: il calcolo del flusso elettrico.
CONCETTO DI FLUSSO
Consideriamo un campo uniforme E ed una superficie piana S perpendicolare
alle linee di campo (figura1a). Vogliamo costruire un’operazione matematica
che calcoli il numero di linee di campo elettrico che attraversano la superficie
S. Per fare questo calcolo definiamo flusso del campo E attraverso la
Figura 1a
superficie S () la quantità:
= ES
(1a)
-quando E è perpendicolare a S-
E’ evidente che se il vettore E è inclinato rispetto ad S solo la componente
perpendicolare di E (E) attraversa S (vedi figura 1b). Perciò posso
scrivere in generale:
 = ES = EcosS
(1b) -definizione generale di -
Il valore di  può essere positivo o negativo a secondo di come E
attraversa S. Una delle due superfici di S viene indicata
convenzionalmente come interna mentre l'altra come esterna: se E passa
dall'interno all'esterno allora  è considerato positivo, nel verso opposto è
considerato negativo.
Figura 1b
IL FLUSSO DIPENDE SOLO DAL NUMERO DI LINEE DI CAMPO CHE
ATTRAVERSANO LA SUPERFICIE S ( non dipende dall’orientamento o
dall’estensione o dalla forma della superficie S)
Si può dimostrare che  dipende soltanto dal numero di linee di campo che attraversa la superficie
S e che perciò non dipende né dalla forma né dall’orientamento né dall’estensione della superficie S. La
dimostrazione di questa fondamentale proprietà non è fattibile con la matematica della scuola superiore:
dovete aspettare di dare l’esame di Analisi II a Fisica o a Ingegneria. Per adesso vi illustrerò alcuni esempi che
dimostrano come il valore di  rimane invariato al variare di S purché le linee di campo attraversanti S
rimangano le stesse.
 Il piano inclinato
Guarda la figura 2: sia il piano A –perpendicolare ad E- che il piano
A’ –inclinato rispetto ad E di un angolo - sono attraversati dalle
stesse linee di campo. Voglio dimostrare che, nonostante le due
superfici siano diverse, il flusso di E è identico per entrambi le
superfici.
Diamo un’occhiata alla figura: A è un rettangolo di lati h e L
mentre A’ è un rettangolo di lati h’ ed L. Detto questo, calcoliamo i
flussi per A e per A’:
Figura 2
Applico l’eq. (1a) alla superficie A: A=ESA = EhL
Applico l’eq. (1b) alla superficie A’: A’=ESA’cos = Eh’Lcos = (sposto la posizione del cos) =
Eh’cosL . Ma dalla figura è evidente che h’cos = h  A’ = EhL = A C.V.D.
 Le superfici sferiche sempre più estese
Guarda la figura 3: rappresenta le linee di campo partenti da una
carica Q+ che attraversano tre diverse superfici sferiche, tutte e tre
centrate su Q+, alla distanza r , 2r , 3r. Voglio dimostrare che,
poiché le tre superfici sono attraversate dalle stesse linee di campo,
il loro flusso è identico anche se esse sono di diversa estensione.
Se l’area della superficie posta a distanza r è indicata con A, allora
l’area della superficie a distanza 2r possiede un’area=4A mentre la
superficie a distanza 3r ha un’area=9A.
Figura 3
Poiché le tre superfici sferiche sono centrate in Q+, il campo E è
sempre ortogonale ad esse, cosicché posso usare l’eq. (1a):
r = E(r)A
2r = E(2r)4A
3r = E(3r)9A
(2a)
(2b)
(2c)
E(r) , E(2r) , E(3r) rappresentano rispettivamente il modulo del campo elettrico E alla distanza r , 2r e 3r.
Poiché il modulo di E è inversamente proporzionale al quadrato della distanza, abbiamo subito che:
E(2r) = E(r)/22 = E(r)/4
(3b)
2
E(3r) = E(r)/3 = E(r)/9
(3c)
[ per motivi di chiarezza, manca l’eq. (3a) ]
Sostituendo l’eq. (3b) e (3c) rispettivamente nelle eq. (2b) e (2c) otteniamo:
r = E(r)A
2r = E(r)/44A = E(r)A = r
3r = E(r)/99A = E(r)A = r
(4a)
(4b)
(4c)
Le equazioni sopra mostrano che il flusso è rimasto sempre lo stesso. C.V.D.
Adesso che ci siamo convinti che il flusso effettivamente è una misura della quantità di linee di campo che
attraversano una superficie S… vediamo a cosa serve tutto questo!
FLUSSO MASSIMO E CARICA ELETTRICA INTERNA
Poniamoci ora questa semplice domanda: ho la solita carica Q con vicino tre
diverse superfici, come in figura 4: quali delle tre raccoglie il valore di flusso più
alto? “Uhmmm… ci penso….” “Pensa, pensa…” “Uhmm… poiché il flusso
attraverso una superficie dipende soltanto dal numero di linee che la
attraversano… il flusso massimo è quello che passa per la superficie B!” “Hai
tirato a caso.” “Non è vero: la superficie B è quella che è attraversata dal
maggior numero di linee, perciò è quella che –in valore assoluto- ha il flusso più
alto.” “Bravo Hai capito il concetto. E adesso rispondimi: fra tutte le possibili
superfici, quali hanno il massimo flusso possibile?” “Uhmmm… poiché maggiore
è il numero di linee di campo maggiore è il flusso… la superficie che ha flusso
massimo… è quella che è attraversata da tutte le linee! E perciò il massimo
del flusso si ha attraverso una qualsiasi superficie che avvolga
completamente la carica Q!” “Bravo! 7+.”
Figura 5
Figura 4
La cosa dovrebbe essere alquanto ovvia: poiché il flusso attraverso una
superficie misura il numero di linee di campo che la attraversano, il massimo
del flusso si ha quando prendo una superficie che raccoglie il massimo numero
possibile di linee, cioè tutte quante: e questo avviene quando io avvolgo
completamente la carica Q. Per avvolgere completamente la carica Q una
superficie non deve presentare buchi: una superficie che non presenta buchi si
chiama superficie chiusa. In figura5 sono disegnate tre diverse superfici
chiuse che avvolgono la stessa carica: il flusso che le attraversa è uguale per
tutte e tre ed è il massimo flusso possibile. Nel caso di una superficie chiusa,
il flusso è positivo se il campo elettrico esce dalla superficie chiusa, negativo
se vi entra.
A questo punto interviene il lavoro di Lagrange, di Gauss e di altri eminenti matematici: essi dimostrarono che
il flusso attraversante una superficie chiusa è direttamente proporzionale alla carica elettrica
contenuta dentro la superficie (carica elettrica interna). Più esattamente, si ha1:
S = 4KQ
(4)
con S il flusso attraversante una certa superficie chiusa S e Q la carica interna ad S.
E cosa accade per una qualsiasi carica esterna alla superficie S? Si ha che il flusso del
suo campo elettrico è sempre nullo, come si può facilmente vedere dalla figura 6.
Infatti, considerando che…. (continua tu la dimostrazione!)
Figura 6
1
Come dimostrato negli appunti “Flusso del campo elettrico e legge di Gauss”