Eesercizio 1 Un corpo di massa m=1mg e carica q=+10-6C, e` vincolato a muoversi sull’asse x. All’istante t=0 ha velocita’ v0=3m/s e si trova a distanza x0=1m dal centro di due piani isolanti uniformemente carichi di segno opposto (=10-6C/m2), perpendicolari all’asse x e posti a distanza L=20cm uno dall’altro. +q v0 x x0 L + - Trovato il campo elettrico in tutto lo spazio (si puo` sfruttare la legge di Gauss), calcolare: a) in quanto tempo il corpo raggiunge il piano positivo. Quindi, il corpo passa il piano senza perdita di energia; trovare: b) in quanto tempo raggiunge il piano negativo. Quindi, il corpo passa anche il secondo piano senza perdita di energia. Trovare: c) qual è la velocità del corpo a destra del piano negativo. Soluzione dell’esercizio 1 Il campo elettrico è nullo a sinistra del piano positivo e a destra del piano negativo. Tra i due piani il campo vale 10 6 V E 1.13 105 12 0 8.85 10 m ed è diretto perpendicolarmente ai piani, con verso da sinistra a destra. Il corpo non risente di forza elettrica a sinistra del piano positivo e a destra del piano negativo. Tra i due piani risente di una forza costante, diretta verso destra. a) Il tempo impiegato per raggiungere il piano positivo è semplicemente t x0 L 2 1 0.1 0.3s v0 3 b) Il tempo per raggiungere il piano negativo si trova osservando che il moto è ora uniformemente accelerato, con accelerazione F qE 106 1.13 105 a 1.13 105 m / s 2 6 m m 10 Applicando la formula del moto accelerato: L v0 t 1 2 at 2 E risolvendo per t: 3 2 0.2 3 v 2 L v0 t 0 5 5 5 a a 1.13 10 1.13 10 1.13 10 a 2 2 7.05 10 10 3.54 10 6 2.65 10 5 1.85 10 3 s c) Per trovare la velocità finale possiamo applicare il teorema dell’energia cinetica: K f Ki W Ove W e` il lavoro compiuto dalla forza elettrica 1 2 1 2 mv f mv0 qEL 2 2 Da cui 2qEL 2 10 6 1.13 105 0.2 2 v f v0 3 213m / s m 106 2 Esercizio 2 Quattro fili indefiniti, percorsi nello stesso verso dalla stessa corrente I=10A, sono posti sugli spigoli di un parallelepipedo a sezione quadrata, di lato a=1cm. 1 a 2 1 3 4 C D 3 4 3 Con riferimento ad una sezione, trovare intensità, direzione e verso del campo magnetico a) nel punto C, centro della sezione; b) nel punto D, centro del segmento tra i fili 3 e 4. Trovata l’espressione approssimata del campo magnetico in funzione della distanza r tra il punto C e un punto della sezione a distanza molto maggiore di a, trovare c) il campo magnetico per r=100 a. Soluzione dell’esercizio 2 Il campo risultante è la somma dei campi generati dai quattro fili. a) Nel punto C tutti i 4 campi sono uguali in modulo, ma la loro somma è, vettorialmente, zero, in quanto ogni coppia di fili opposti dà un contributo uguale e contrario (regola della mano destra). b) Nel punto D il campo totale si riduce alla somma dei campi dovuti ai fili 1 e 2, poiché gli altri due fili danno contributi uguali e contrari. I I B B1 B2 0 vˆ1 0 vˆ2 2 r1 2 r2 Il vettore r1 congiunge il filo 1 al punto D, il versore v1 è perpendicolare a questo vettore, con verso determinato dalla regola della mano destra. Similmente sono definiti r2 e v2. 2 5 a r1 r2 r a a 2 2 a 2 cos r 5 2 B2 1 r1 a B1 D r2 2 Il modulo del campo risultante vale: 4 B 0 I I 2 2 cos 0 2 2 r 2 a 5 2 5 2 10 7 8 10 3.20 10 4 T 2 5 10 La direzione e` data dal segmento che congiunge i fili 3 e 4, il verso e` da 3 a 4. In un punto molto distante da C, si puo` trascurare la distanza a tra i fili e immaginare che esista un unico filo che porta la somma (algebrica) delle quattro correnti. Il campo è approssimatamene dato da: B c) Per r=100 a, vale: B 0 4I 2 r 0 4I 4 10 2 10 7 8.00 10 6 T 2 2 r 100 10 Esercizio 3 Un solenoide indefinito di raggio R=10cm, ha n=10 spire/cm ed è percorso da una corrente I=10A. Trovare: a) il campo magnetico all’interno del solenoide (si puo` fare uso della legge di Ampère); b) la densità di energia magnetica dentro il solenoide; c) l’energia magnetica contenuta in uno spicchio del solenoide di ampiezza angolare =15° e lunghezza L=1m; d) quanto vale la densità di energia magnetica al di fuori del solenoide? Giustificare la risposta. L R Soluzione dell’esercizio 3 a) Il campo B all’interno del solenoide vale: B 0 nI 4 10 7 10 3 10 1.26 10 2 T b) La densità di energia è: um 1 2 0 B2 1 0 n 2 I 2 2 1 4 10 7 10 6 10 2 6.28 101 J / m 3 2 c) Poiché la densità di energia è costante, l’energia magnetica immagazzinata nello spicchio è semplicemente il prodotto tra la densità di energia e il volume: 1 U m u mV u m R 2 L 2 1 6.28 101 0.12 1 8.22 10 2 J 2 12 d) La densità di energia fuori dal solenoide è nulla, poiché qui il campo magnetico è nullo. Esercizio 4 Sia dato il seguente circuito, formato da tre resistenze, una fem variabile E1 ed una fem fissa E2. E1 1 R1 E2 A 2 R2 B R3 Siano I1, I2, I3 le correnti che scorrono rispettivamente in R1, R2, R3. Trovare l’espressione delle correnti mediante le leggi di Kirchhoff. Dati i seguenti valori dei parametri R1=5, R2=10, R3=20, E2=2V, trovare: a) il valore della corrente I1 quando E1=2.5V; b) il valore di E1 per cui la corrente I2 è nulla; c) il valore di E1 per cui la corrente I3 è nulla. Commentare il segno relativo tra E1 e E2; d) la ddp tra A e B quando E1=4V. Soluzione dell’esercizio 4 Applicando le leggi di Kirchhoff alle due maglie evidenziate nello schema. Poniamo il verso convenzionale delle correnti come segue: I1 e I2 da destra a sinistra, I3 da sinistra a destra. Troviamo il sistema: E1 E 2 I 1 R1 I 2 R2 E 2 I 1 R3 I 2 R2 R3 I 3 I1 I 2 Da cui, risolvendo per le correnti: E1 R2 R3 E 2 R3 I1 R1 R2 R2 R3 R3 R1 I2 E 2 R3 R1 E1 R3 R1 R2 R2 R3 R3 R1 I3 E1 R2 E 2 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R1 a) Per i valori assegnati dei parametri, otteniamo: I1 2.5 30 2 20 100mA 5 10 10 20 20 5 b) Dall’espressione di I2, troviamo il valore di E1 cercato: E1 E2 R1 R3 5 20 2 2.50V R3 20 c) E analogamente per I3: E1 E2 R1 5 2 1.00V R2 10 Il segno negativo significa che i poli di E1 vanno scambiati per avere nel ramo 3 una corrente contrapposta a quella generata da E2. d) La ddp tra A e B si trova applicando la legge di Kirchhoff al ramo 3: V A VB I 3 R3 E1 R2 E 2 R1 R3 R1 R2 R2 R3 R3 R1 10 4 5 2 20 2.86V 350