TEORIA DEI SISTEMI
Indice
1. Il Segnale Sinusoidale
o Rappresentazioni
o Definizione di Ampiezza, Frequenza, Pulsazione e Fase
2. Studio di un Segnale Qualunque
o Sviluppo in Serie di Fourier di un Segnale Periodico
o Trasformata di Fourier e di Laplace di un Segnale Qualunque
o Diagrammi di Bode di un Segnale Qualunque
o Frequenza di Taglio Inferiore
o Frequenza di Taglio Superiore
o Banda di un Segnale
3. Funzione di Trasferimento di un Circuito
4. Risposta a Regime ad un Ingresso Sinusoidale
o Determinazione di Frequenza, Pulsazione, Ampiezza e Fase del Segnale in Uscita
o Diagramma di Bode della F.d.T. e Guadagno di un Circuito
o Frequenza di Taglio Inferiore
o Frequenza di Taglio Superiore
o Banda Passante di un Circuito
o Filtri
5. Risposta all’Impulso
o Poli e Zeri
o Stabilità di un Circuito
1 Segnale Sinusoidale
Rappresentazione Cartesiana
Figura 1
Definizione
Si consideri un vettore di lunghezza A (fig.10) che ruota in senso antiorario e che descrive un
angolo φ(t).
Un segnale sinusoidale può essere visto come la proiezione di tale vettore sull’asse delle
ordinate (asse y) al variare del tempo (fig.1).
Rappresentazione Analitica
La sua rappresentazione analitica può essere espressa da una relazione del tipo:
yt A sin t
(1)
dove:
- A è l’Ampiezza della sinusoide, cioè il suo valore massimo.
- φ(t) è detta Fase Istantanea (o Attuale) della sinusoide, coincide con l’angolo descritto dal
vettore rotante nell’istante generico t e si misura preferibilmente in radianti.
- φ(0) = φ è detta Fase Iniziale o semplicemente Fase della sinusoide e coincide con l’angolo
descritto dal vettore rotante nell’istante iniziale t = 0sec.
In genere però si preferisce utilizzare la seguente e più completa relazione:
yt A sin t
(2)
dove:
- A è l’Ampiezza della sinusoide, cioè il suo valore massimo.
- ω è detta Pulsazione Angolare e coincide con la velocità del vettore rotante e si misura in
rad/s. Essa indica il numero di radianti che il vettore rotante percorre in un secondo.
- φ = φ(0) è detta Fase Iniziale o semplicemente Fase della sinusoide e coincide con l’angolo
descritto dal vettore rotante nell’istante iniziale t = 0sec.
Parametri Fondamentali
Abbiamo già visto Ampiezza, Fase e Pulsazione, altri importanti parametri sono:
- Il Periodo T, cioè la durata della singola forma d’onda di base (quella cioè che si ripete
indefinitamente nel tempo).
- La Frequenza f, cioè il numero di volte che il segnale si ripete in un secondo o, osservando
il vettore rotante, il numero di rotazioni che esso compie in un secondo. Essa si misura in
Hertz (Hz = sec-1).
La frequenza f ed il periodo T sono tra loro legati da una semplice relazione che può essere
ricavata dalle loro stesse definizioni con una proporzione:
T:1=1:f
(3)
Se in un intervallo di tempo pari a T il segnale si ripete una sola volta, in un secondo quante
volte si ripete?
Risolvendo la proporzione (3) rispetto ad f si ottiene:
f
1
T
(4)
Anche la relazione tra pulsazione e frequenza si ricava tenendo conto delle loro definizioni,
infatti poiché una rotazione completa è pari a 2 rad:
2 f
(5)
Analogamente si può definire il segnale cosinusoidale che oltretutto ha la stessa forma d’onda,
solo un po’ sfasata.
2. Studio di un Segnale Qualunque
Le teorie matematiche attuali ci permettono di vedere un segnale come somma di sinusoidi, o di
impulsi, gradini, onde quadre, onde triangolari, sigmoidi, funzioni esponenziali, ecc.
Noi siamo interessati alle sinusoidi e questo perché alcuni dispositivi elettrici (condensatori e
induttanze) sono in grado di individuarle all’interno di un segnale e trattarle in modo differente.
Ad esempio la corrente che attraversa un condensatore cresce al crescere della frequenza della
tensione applicata ai suoi capi, mentre la corrente che attraversa un’induttanza diminuisce al
crescere della frequenza della tensione applicata ai suoi capi.
E’ perciò possibile realizzare circuiti (contenenti condensatori e/o induttanze) capaci di
individuare le sinusoidi che compongono un segnale ed elaborarle in modo diverso l’una rispetto
all’altra. Si pensi ad esempio ai filtri.
Sviluppo in Serie di Fourier di un Segnale Periodico
Si consideri un segnale periodico, secondo Fourier esso può essere scritto come somma di
segnali sinusoidali a differenti frequenze (fig.2), tale somma prende il nome di Sviluppo in Serie di
Fourier.
Segnale Periodico
Segnali Sinusoidali
che lo compongono
Figura 2
Per rappresentare tutte le sinusoidi necessarie per ottenere un certo segnale periodico si fa uso
dei Diagrammi di Bode delle Ampiezze (fig.3) e delle Fasi.
f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f
Figura 3
Il diagramma di fig.3 rappresenta le ampiezze di tutte le sinusoidi necessarie per ottenere un
certo segnale periodico, ciascuna posta in corrispondenza della frequenza ad essa relativa.
Vediamo quali sono le loro caratteristiche:
Ogni segnale sinusoidale viene chiamato Armonica.
Le armoniche hanno tutte frequenze multiple del segnale periodico da cui derivano.
L’armonica avente la stessa frequenza del segnale da cui derivano viene chiamata
Armonica Fondamentale o semplicemente Fondamentale.
Al crescere della frequenza, l’ampiezza delle armoniche diminuisce rapidamente.
In genere le armoniche a frequenza superiore a 10f (cioè 10 volte la frequenza del segnale
da cui derivano) possono essere trascurate senza che il segnale si modifichi in modo
significativo.
L’armonica a frequenza 0Hz ha ampiezza coincidente con il valore medio del segnale
periodico da cui deriva.
Ecco alcuni esempi di segnali periodici e relative componenti armoniche:
t
t
f
f
Figura 4
t
Armonica Assente
f
Trasformata di Fourier e di Laplace di un Segnale Qualunque
Si consideri adesso un segnale non periodico, secondo Fourier (e secondo Laplace, anche se in
modo un po’ differente) anch’esso può essere scritto come somma di segnali sinusoidali di
differenti frequenze, in questo caso però ne servono infiniti ed hanno frequenze anche infinitamente
vicine l’una alle altre.
Ampiezza
f
Fase
f
Figura 5
In figura 5 sono mostrati i Diagrammi di Bode delle Ampiezze e delle Fasi. Osserviamo quello
delle ampiezze, ciò che notiamo subito è che esso consiste di una linea continua che rappresenta le
ampiezze delle infinite sinusoidi costituenti il nostro segnale ed aventi frequenze molto molto vicine
tra loro.
Concetto di Frequenza (Qualche Chiarimento)
Il termine ‘frequenza’ ha un ben preciso significato e cioè:
La frequenza è il numero di volte che un segnale periodico si ripete in un secondo.
Spesso però ci capita di sentire frasi del tipo:
Il segnale che stiamo considerando è costituito dalla somma di un certo numero di
frequenze.
La frequenza 100Hz non è contenuta nel nostro segnale.
Ecc.
Queste frasi non si comprendono se si usa la definizione indicata sopra, e questo perché in esse il
termine frequenza viene utilizzato in senso improprio.
Esse dovrebbero essere più correttamente scritte così:
Il segnale che stiamo considerando è costituito dalla somma di un certo numero di segnali
sinusoidali aventi certe frequenze.
Il segnale sinusoidale avente frequenza pari a 100Hz non è contenuto nel nostro segnale.
Ecc.
Vengono in genere indicate nel primo modo semplicemente per semplicità, anche se ciò può
risultare ambiguo.
Perciò quando si parla di una frequenza contenuta in un segnale in realtà si sta parlando di
uno dei segnali sinusoidali che costituiscono il nostro segnale, il segnale sinusoidale avente
quella determinata frequenza.
Figura 6
In fig.6 è mostrato il tipico Diagramma di Bode delle Ampiezze di un segnale, in esso è possibile
vedere che:
Esiste un intervallo di frequenze in corrispondenza del quale la Trasformata non varia o
varia molto poco. Le componenti sinusoidali aventi tali frequenze hanno tutte le stesse
ampiezze o comunque molto simili.
A sinistra ed a destra di tale intervallo la Trasformata diminuisce rapidamente quando ci
si allontana. Le componenti sinusoidali aventi tali frequenze hanno ampiezze che
diminuiscono rapidamente man mano che ci si allontana.
Vediamo adesso alcuni importanti parametri che si possono estrarre da esso.
Frequenza di Taglio Inferiore
La Frequenza di Taglio Inferiore è la frequenza in corrispondenza della quale la Trasformata
del segnale diviene costante. Essa si indica con FL (Low Frequency, cioè Bassa Frequenza).
Le componenti sinusoidali aventi frequenza inferiore ad FL hanno un’ampiezza che diminuisce
rapidamente man mano che ci si allontana da FL.
Frequenza di Taglio Superiore
La Frequenza di Taglio Superiore è la frequenza in corrispondenza della quale la Trasformata
del segnale inizia a decrescere. Essa si indica con FH (High Frequency, cioè Alta Frequenza).
Le componenti sinusoidali aventi frequenza superiore ad FH hanno un’ampiezza che diminuisce
rapidamente man mano che ci si allontana da FH.
Banda di un Segnale
La Banda di un segnale è l’ampiezza dell’intervallo di frequenze all’intervallo del quale la
Trasformata del segnale si mantiene costante.
Poiché al di fuori della Banda l’ampiezza delle componenti sinusoidali diminuisce rapidamente,
un segnale che approssima bene il segnale di partenza si può ottenere prendendo solamente le
frequenze contenute nella Banda del segnale e tagliando via tutte le altre.
La formula necessaria per ottenere il valore della Banda di un segnale è la seguente:
B = FH – FL
(6)
3. Funzione di Trasferimento Studio di un Circuito
(a) Dominio del Tempo
(b) Dominio della Frequenza
Figura 7
Si consideri il circuito di fig.7a, esso applicando il segnale d’ingresso i(t) produce in uscita il
segnale u(t). Ciascuno di tali segnali può essere una corrente o una tensione.
Il circuito di fig.7a si dice nel Dominio del Tempo poiché i segnali d’ingresso e d’uscita si
trovano nella forma dipendente dal tempo.
Facendo la Trasformata di Laplace dei segnali si ottiene:
I(s) = L(i(t))
U(s) = L(u(t))
(7)
(8)
Dove I(s) e U(s) indicano le Trasformate di Laplace rispettivamente dell’ingresso e dell’uscita.
Inoltre:
s = + j
(9)
è un numero complesso indicante una frequenza complessa.
In fig.7b è mostrato lo stesso circuito ma nel Dominio della Frequenza, così detto poiché i
segnali d’ingresso e d’uscita sono indicati come Trasformate di Laplace e quindi come funzione
della frequenza complessa s.
Detto questo è possibile definire la Funzione di Trasferimento del circuito:
Gs
U s
I s
(10)
La Funzione di Trasferimento di un circuito è definita dal rapporto tra la Trasformata di
Laplace del segnale d’uscita e la Trasformata di Laplace del segnale d’ingresso.
Tramite tale funzione è possibile conoscere ogni caratteristica del circuito stesso. Essa perciò
può essere vista come la sintesi matematica del circuito da cui è derivata.
4. Risposta a Regime ad un Ingresso Sinusoidale
Vediamo adesso come è possibile facendo uso della Funzione di Trasferimento di un circuito
poter prevedere il suo comportamento a regime.
Determinazione di Pulsazione, Ampiezza e Fase del Segnale in Uscita
Si consideri il circuito di fig.7 e si supponga di porre in ingresso un segnale sinusoidale avente:
Ampiezza AI
Pulsazione
Fase I
Il segnale che si avrà in uscita a regime sarà anch’esso sinusoidale ed avrà:
Ampiezza AU AI G j , cioè la sua ampiezza sarà pari all’ampiezza del segnale in
ingresso moltiplicata per il modulo della Funzione di Trasferimento calcolato per s = j.
Pulsazione coincidente con quella del segnale d’ingresso.
Fase U I G j , cioè la sua fase sarà pari alla fase del segnale in ingresso a ci
va sommata la fase della Funzione di Trasferimento calcolata per s = j.
Perciò, riassumendo:
it AI sin t I
ut AU sin t U AI G j sin t I G j
(11)
Diagramma di Bode e Guadagno di un Circuito
Da quanto detto sopra si deduce che:
Il Diagramma di Bode delle Ampiezze della Funzione di Trasferimento ci dice qual è il
Guadagno per il quale dev’essere moltiplicata l’ampiezza del segnale sinusoidale
d’ingresso al variare della sua frequenza.
Il Diagramma di Bode delle Fasi della Funzione di Trasferimento ci dice qual è lo
sfasamento che subisce il segnale sinusoidale d’ingresso al variare della sua frequenza.
Figura 8
In fig.8 è mostrato un tipico Diagramma di Bode delle Ampiezze di una Funzione di
Trasferimento. Esso può sembrare simile al Diagramma di Bode delle Ampiezze di un segnale ma il
suo significato è profondamente diverso.
Frequenza di Taglio Inferiore
La Frequenza di Taglio Inferiore è la frequenza in corrispondenza della quale la Trasformata
della F.d.T. diviene costante. Essa si indica con FL (Low Frequency, cioè Bassa Frequenza).
I segnali sinusoidali aventi frequenze inferiori ad FL vengono moltiplicati per un guadagno che
diminuisce rapidamente man mano che ci si allontana da FL. In pratica è come se venissero tagliati
via dal circuito.
Frequenza di Taglio Superiore
La Frequenza di Taglio Superiore è la frequenza in corrispondenza della quale la Trasformata
della F.d.T. inizia a decrescere. Essa si indica con FH (High Frequency, cioè Alta Frequenza).
I segnali sinusoidali aventi frequenze superiori ad FH vengono moltiplicati per un guadagno che
diminuisce rapidamente man mano che ci si allontana da FH. In pratica è come se venissero tagliati
via dal circuito.
Banda Passante di un Circuito
La Banda Passante di un circuito è l’ampiezza dell’intervallo di frequenze all’intervallo del
quale la Funzione di Trasferimento del circuito si mantiene costante.
I segnali sinusoidali aventi frequenze comprese in quest’intervallo vengono moltiplicati per un
guadagno costante e maggiore che nelle altre zone.
La formula necessaria per ottenere il valore della Banda Passante di un circuito è la seguente:
BP = FH – FL
(12)
Riassumendo un circuito avente una F.d.T. come quella mostrata in fig.8 lascia passare
inalterate le componenti sinusoidali del segnale d’ingresso comprese nella Banda Passante e taglia
via quelle che si trovano al di fuori di tale intervallo.
E’ da questo ragionamento che nasce il concetto di Filtro.
Tipi di Filtro
Filtro Passa Basso
Un filtro passa basso lascia passare le frequenze al di sotto della cosiddetta frequenza di taglio
ed attenua (idealmente blocca) il passaggio di quelle al di sopra.
Figura 9
Filtro Passa Alto
Un filtro passa alto lascia passare le frequenze al di sopra della cosiddetta frequenza di taglio
ed attenua (idealmente blocca) il passaggio di quelle al di sotto.
Figura 10
Filtro Passa Banda
Un filtro passa banda lascia passare le frequenze comprese entro due frequenze di taglio ed
attenua (idealmente blocca) il passaggio delle altre.
Figura 11
Filtro Elimina Banda
Un filtro elimina banda attenua (idealmente blocca) le frequenze comprese entro due frequenze
di taglio e lascia passare le altre.
Figura 12
Ordine di un Filtro
Più ripida è la pendenza del tratto (o dei tratti) obliquo presente in un filtro e più efficacemente
verranno attenuate le frequenze indesiderate.
Figura 13
In fig.13 sono mostrate le pendenze per filtri passa basso di primo, secondo, terzo ordine e così
via, più alto è l’ordine di un filtro, maggiore è la pendenza del tratto obliquo e più efficace è
l’azione filtrante.
In particolare:
Un filtro del primo ordine ha un tratto obliquo di pendenza pari a 20dB/decade (cioè il
segnale è attenuato di dieci volte ogni volta che la frequenza cresce di dieci volte).
Un filtro del secondo ordine ha un tratto obliquo di pendenza pari a 40dB/decade (cioè il
segnale è attenuato di cento volte ogni volta che la frequenza cresce di dieci volte).
Un filtro del terzo ordine ha un tratto obliquo di pendenza pari a 60dB/decade (cioè il
segnale è attenuato di mille volte ogni volta che la frequenza cresce di dieci volte).
Ecc.
5. Risposta all’Impulso
Poli e Zeri
Si consideri una tipica Funzione di Trasferimento per un circuito:
F s k
ss z1 s z 2
2
s p1 s p2 4 s p3
(13)
Definizione di Zero
Si chiamano Zeri quei valori della frequenza complessa s per i quali si azzera il
numeratore della F.d.T.
Come si può vedere dall’eq.13 quando si pone in ingresso una sinusoide avente frequenza
coincidente con uno zero, il guadagno è nullo e perciò tale è anche l’ampiezza della sinusoide
in uscita.
Da qui il nome Zero, cioè zero trasmissione in uscita a quelle frequenze.
Uno zero tracciato in un Diagramma di Bode delle Ampiezze è una retta con pendenza di
20db/decade.
Definizione di Polo
Si chiamano invece Poli quei valori della frequenza complessa s per i quali si azzera il
denominatore della F.d.T.
Un polo tracciato in un Diagramma di Bode delle Ampiezze è una retta con pendenza di 20db/decade.
I Poli sono fondamentali per comprendere il tipo di stabilità presente nel circuito.
Poli con Re < 0
Poli con Re = 0
Poli con Re > 0
Stabilità
Tutti
No
No
Asintoticamente Stabile
Con Molteplicità 1
No
Semplicemente Stabile
Con Molteplicità 2 o più
Instabile
Almeno 1
Tabella 1
Stabilità di un Circuito
Asintotica Stabilità
Un circuito si dice asintoticamente stabile se applicando un impulso in ingresso, la sua
uscita si porta rapidamente a zero.
Semplice Stabilità
Un circuito si dice semplicemente stabile se applicando un impulso in ingresso, la sua
uscita si porta rapidamente ad un valore costante, oppure oscilla con ampiezza costante.
Instabilità
Un circuito si dice instabile se applicando un impulso in ingresso, la sua uscita tende
a .
