questo esercizio

Una sfera conduttrice di raggio R1=10 cm e carica Q=1,0 C è circondata da due gusci sferici, anch'essi
conduttori, uno di raggio R2=50 cm e (inizialmente) carica Q/2 e uno di raggio R3=150 cm e carica 3Q/2. I gusci hanno spessore molto piccolo (sufficiente a rendere distinguibili le superfici interne ed
esterne dei gusci ma trascurabile in tutte le formule). I tre conduttori sono inizialmente isolati. Si
calcolino
a) Le differenze di potenziale V(R1)-V(R2), V(R2)-V(R3) e V(R3)-V(∞) e il modulo del campo elettrico in
un punto P a distanza d=200 cm dal centro del sistema.
b) L'energia elettrostatica immagazzinata nel sistema.
All'istante t=0, il guscio di raggio R2 viene connesso a terra tramite una resistenza. Per t-->∞, il sistema
raggiunge un nuovo equilibrio in cui V(R2)=V(∞). In questa nuova configurazione, si calcolino
c) Il nuovo valore del modulo del campo elettrico nel punto P a distanza r=200 cm dal centro del
sistema.
d) L'energia dissipata nella resistenza tra l'istante t=0 in cui il guscio di raggio R2 viene connesso a terra
e t=∞, ossia a equilibrio raggiunto.
R3
R2
P
R1
a) Teorema di Gauss per R1<r<R2
V(r)  
Q
r
2
dr 
Q
4r2E=Q/0
E=Q/r2
[con notazione =1/(40)]
V(R1)-V(R2)= Q(R2-R1)/R1R2 = 7,21010 V
r
Per R2<r<R3
E=3Q/2r2
V(R2)-V(R3) = 3Q(R3-R2)/2R2R3 = 1,81010 V
Per r>R3
E=0
e in P
E(d)=0
b) Possiamo considerare il sistema come due condensatori in serie, con cariche sulle superfici interne
delle armature Q e -Q per il primo condensatore, 3/2Q e -3Q/2 per il secondo:
W  i 12 Qi V i =Q2(R2-R1)/2R1R2 +9Q2(R3-R2)/8R2R3 = 4,91010 J
(l'energia può anche essere calcolata integrando la densità di energia nello spazio compreso tra ogni
coppia di armature)
c) Per t>0 la carica presente sul guscio di raggio R2 deve variare. Sia Q' tale carica nella nuova
configurazione di equilibrio in cui V(R2)=V(). Poiché adesso, applicando di nuovo Gauss,
V(R2)-V(R3) = Q+Q')(R3-R2)/R2R3
V(R3)-V()= Q+Q'-3Q/2)/R3
la condizione V(R2)-V()=[V(R2)-V(R3)]+[V(R3)-V()]=0 conduce a
Q'=[3 R2/2R3-1]Q=-Q/2
da cui, di nuovo con Gauss (la carica totale interna alla sfera di raggio d è ora Q-Q/2-3Q/2=-Q) si ricava
E(d)=-Q/d2 =-2,2109 V/m
d) Quando sul guscio di raggio R2 la carica vale Q', per V(R2,Q' ) si calcola subito
V(R2,Q')-V()=[V(R2)-V(R3)]+[V(R3)-V()]=
Q+Q')(R3-R2)/R2R3+Q+Q'-3Q/2)/ R3=V()+Q(R3-3R2/2)/R2R3+Q'/ R2
Il trasferimento di una carica infinitesima dQ' dal guscio di raggio R2 all'infinito dissipa un'energia
dWV(R2,Q')-V()]dQ' e quindi per l'energia dissipata nell'intero processo si trova
W  
Q/ 2
Q/2
V(R2 ,Q' )  V()dQ' =-Q2(R3-3R2/2)/R2R3+0 = -9,0.109 J
Alternativamente, con il valore di Q' ottenuto nel punto (c) si può calcolare l'energia elettrostatica del
sistema nella nuova configurazione stazionaria:
W'= Q2(R2-R1)/2R1R2+Q2(R3-R2)/8R2R3+Q2/2R3= 4,0.1010 J
e ottenere W per differenza rispetto allo stato iniziale.