capitolo 0 matematica - Facoltà di Economia Marco Biagi

0.1
Introduzione
Questo capitolo tratta argomenti che dovrebbero fare parte del patrimonio di conoscenze di base e che
dovrebbero essere date per acquisite quando si inizia un corso universitario di Matematica. L’esperienza didattica
di questi anni dimostra però il contrario; anzi molti studenti dimostrano di comprendere argomenti avanzati e
strumenti sofisticati ma trovano difficoltà quando la loro applicazione prevede l’utilizzo di strumenti che
teoricamente dovrebbero avere acquisito nei cicli scolastici precedenti. Non è possibile recuperare in modo
esaustivo le conoscenze che vanno dalla teoria degli insiemi alla Trigonometria, dal calcolo letterale ai logaritmi;
quello che si cercherà di fare è descrivere quegli aspetti che risultano maggiormente utili nello sviluppo del corso.
È importante che lo studente possa esercitarsi ed acquisire una indispensabile dimestichezza sui singoli temi; oltre
agli esercizi che sono riportati nel testo lo studente è invitato a fare riferimento ai testi indicati nella bibliografia.
0.2
Insiemi
Un insieme è una collezione di elementi. Un insieme, indicato con una lettera maiuscola dell’alfabeto,
viene rappresentato racchiudendo gli elementi che lo compongono tra due parentesi “graffe”. Gli elementi di un
insieme possono essere indicati in modo estensivo o attraverso l’indicazione della proprietà che li caratterizza.
A  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 indica l’insieme delle 10 cifre decimali.
B  x; x pari indica l’insieme dei numeri che sono pari.
Per indicare che un elemento appartiene ad insieme si usa il simbolo “  ”, mentre si utilizza il simbolo “  ”per
indicare il contrario. Facendo riferimento ai due insiemi introdotti si ha ad esempio 6  A e 37  B . La
cardinalità1 di un insieme A è espressa dal numero degli elementi (diversi) che lo compongono. L’insieme A ha
cardinalità uguale a 10, mentre card B   . L’insieme vuoto, che non contiene alcun elemento, viene indicato
2
con il simbolo
Pillole.
Oltre ai simboli introdotti ce ne sono altri che potranno essere utilizzati:

contenuto (ad esempio la scrittura A  B indica che ogni elemento di A è anche elemento di B ; in
questo caso si dice che l’insieme A è un sottoinsieme dell’insieme B );

contenuto in senso stretto (ad esempio la scrittura A  B indica che ogni elemento di A è anche
elemento di B e B contiene almeno un elemento che non appartiene all’insieme A , in questo caso si dice che
l’insieme A è un sottoinsieme proprio dell’insieme;
contenente (ad esempio la scrittura A  B indica che l’insieme A contiene l’insieme B , ovvero che

ogni elemento di B è anche elemento di A );

contenente in senso stretto (ad esempio la scrittura A  B indica che l’insieme A contiene l’insieme
B in senso stretto, ovvero che ogni elemento di B è anche elemento di A e l’insieme A contiene almeno un
elemento che non appartiene all’insieme B );
U
insieme universale

per ogni
esiste

non esiste

; (oppure :)
tale che

implica, segue che

deriva, discende da

se e solo se (in inglese iff, if and only if)
0.3
Operazione tra insiemi
Tra gli insiemi possono essere definite alcune operazioni. Le principali sono:
1. unione,
2. intersezione,
3. differenza, differenza simmetrica
4. prodotto cartesiano.
1
La definizione formale fa riferimento agli insiemi idempotenti, ma per gli scopi di questo capitolo la spiegazione data
può essere sufficiente.
2
Il simbolo è costituito da un cerchio sbarrato obliquamente e non va confuso con la lettera greca  .
1
L’unione di due insiemi A e B , indicata con il simbolo  , è data da un terzo insieme C che contiene
gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B :

A  B  C  x; x  A e / o x  B.
Ad esempio se A  x  R; x dispari  e B  x  R; x pari la loro unione è data dall’insieme dei numeri
interi Z  A  B . Si consideri nuovamente come insieme A l’insieme delle cifre decimali e sia
l’insieme
unione
è
rappresentato
da
B  2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,
A  B  C  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20; si noti che gli elementi 2, 4, 6, 8, appartenenti sia ad A
sia a B, sono riportati nell’insieme unione una sola volta.

L’intersezione di due insiemi A e B , indicata con il simbolo  , è data da un terzo insieme C che
contiene gli elementi che appartengono sia all’insieme A sia all’insieme B :
A  B  C  x; x  A e x  B. Si consideri nuovamente come insieme A l’insieme delle cifre decimali
B  2,4,6,8,10,12,14,16,18,20, l’insieme intersezione è rappresentato da
A  B  C  2,4,6,8 . Due insiemi A e B si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune, ovvero se la
e
sia
ancora
loro intersezione è costituita dall’insieme vuoto .

La differenza tra due insiemi A e B , indicata con “ \ ” oppure con “-“, genera un terzo insieme C che
contiene gli elementi dell’insieme A che non appartengono a B : A \ B  x; x  A e x  B.

La differenza simmetrica tra due insiemi A e B , indicata con “  ” genera un terzo insieme C che
contiene gli elementi che appartengono o all’insieme A o all’insieme B ma non ad entrambi:
AB  x; x  A  B e x  A  B.

Il complementare dell’insieme A , rispetto all’insieme (universale) U , di cui A è un sottoinsieme, è dato
dall’insieme A  C X A  X  A .
'

Il prodotto cartesiano tra due insiemi A e B , indicato con il simbolo “  ”, è l’insieme costituito dalle
coppie ordinate di elementi di cui il primo appartiene ad A ed il secondo a B ; viene espresso da:
A  B  (a, b); a  A e b  B. Se A  B allora il prodotto cartesiano viene scritto come A 2 .
È possibile rappresentare graficamente gli insiemi e le operazioni tra insiemi attraverso i diagrammi di Venn.
A
B
Fig. 1. Insieme Unione A  B
2
A
B
Fig. 2. Insieme Intersezione A  B
A
B
Fig. 3. Insieme Differenza A / B  A  B
A
B
Fig. 4. Insieme Differenza Simmetrica A B  A  B  A  B
0.4
Gli insiemi numerici
L’insieme dei numeri naturali 3è definito dagli assiomi di Peano ed è costituito dal numero 1, dal numero 2 che si
ottiene aggiungendo 1 ad 1, dal numero 3 che si ottiene aggiungendo 1 al numero 2 e così via:   1, 2, 3,.
È possibile introdurre le operazioni elementari di somma e prodotto (e anche la relazione d’ordine di  ).
L’insieme dei numeri interi (o relativi) consente di definire l’operazione di somma, prodotto e differenza per
qualunque coppia di numeri naturali: Z  0,  1,  2,  3,. Risulta Z  N .
L’insieme dei numeri razionali è costituito da elementi che sono il risultato della divisione di due numeri interi:
r


Q  q; q  , r  Z , s  Z , s  0 . È possibile introdurre le operazioni elementari di somma, differenza,
s


prodotto e divisione. Risulta Q  Z  N .
Se si moltiplicano tra loro due numeri razionali si ottiene un numero razionale, ma non è vero il viceversa: se il
prodotto di due numeri è un numero razionale non è detto che i fattori siano numeri razionali.4
3
Le testimonianze storiche dell’utilizzo dei numeri naturali risalgono al 2000 a.C.
3
L’unione dei numeri razionali ed irrazionali viene denominato insieme dei numeri reali e viene indicato con R .
Risulta R  Q  Z  N .
L’insieme R è continuo.5 Dato il numero reale x , si definisce l’operatore valore assoluto di x , indicato con x ,
nel seguente modo:
 x se x  0

x   0 se x  0
 x se x  0

Il valore assoluto gode di alcune proprietà tra le quali:
  x x x

x  y  x y  x  y
dove anche y è un numero reale
x  y  x  y 
Tra i sottoinsiemi di R è importante definire gli intervalli.
La scrittura a, b indica l’intervallo chiuso e limitato (ovvero    a, b   ) di estremi a e b ed è costituito
dall’insieme dei numeri reali che sono compresi tra a e b , estremi inclusi, ovvero a, b  x  R; a  x  b ;
La scrittura a, b indica l’intervallo aperto di estremi a e b ed è costituito dall’insieme dei numeri reali che
sono compresi in senso stretto tra a e b , ovvero a, b  x  R; a  x  b 6;
La scrittura a, b indica l’intervallo superiormente aperto di estremi a e b ed è costituito dall’insieme dei
numeri reali che sono compresi tra a ( ) e b , a compreso; ovvero a, b  x  R; a  x  b . Se
b   si ha la semiretta di origine a 7.
La scrittura a, b indica l’intervallo inferiormente aperto di estremi a e b ed è costituito dall’insieme dei
numeri reali che sono compresi tra a e b (  ) , b compreso; ovvero a, b  x  R; a  x  b . Se
a   si ha la semiretta di origine b 8.

2
2
Se si moltiplicano tra loro due numeri reali si ottiene un numero reale, ma non è sempre vero il viceversa: se il
prodotto di due numeri è un numero reale non è detto che i fattori siano numeri reali. Si pensi al caso x  x  1.
Il numero x non può essere reale in quanto il quadrato di un numero reale non può essere negativo. Si deve
dunque introdurre un insieme C , più ampio di R , chiamato insieme dei numeri complessi. Si definisce unità
immaginaria, indicata con i , l’elemento il cui quadrato è uguale a  1 , ovvero i  1 ; si definiscono numeri
immaginari i numeri del tipo b i dove b è un numero reale. Vengono denominati complessi i numeri del tipo:
2
z  a  b  i dove a, b R .
Un numero complesso è individuato dalla coppia di numeri reali (a, b) .9 Il numero complesso z  a  b  i
viene denominato complesso coniugato di z .
Si pensi al caso x  x  2 . Se x fosse un numero razionale allora potrebbe essere espresso come il rapporto di due
numeri interi primi tra loro (ovvero senza divisori comuni) x  r / s . Risulta quindi x  x  r 2 / s2  2 da cui r 2  2s 2 ; ne
segue che r 2 è pari e così anche r risulta pari e può essere espresso come r  2t . Sostituendo si ha:
(2t ) 2  4t 2  2 s 2 ovvero 2t 2  s 2 ; ne segue che anche s 2 è pari per cui s risulta pari come r . Ciò contraddice l’ipotesi
che s ed r siano primi tra loro. Il numero x non è un numero razionale! Il numero x viene denominato irrazionale.
5
Dato un qualunque numero reale positivo   0 , esistono due numeri reali a e b tali che   b  a .
4
6
Se a  0 e b   l’intervallo aperto contiene i numeri reali positivi e viene indicato con R  . Se a   e b  0
l’intervallo aperto contiene i numeri reali negativi e viene indicato con R  .
7
Se a  0 e b   la semiretta di origine 0 contiene i numeri reali non negativi (ovvero R   0 ) e viene indicato con
R.
88
Se a   e b  0 la semiretta di origine 0 contiene i numeri reali non positivi (ovvero R   0 ) e viene indicato
con R  .
9
Le coppie (a,0) individuano i numeri reali.
4
Nell’insieme C possono essere introdotte le operazioni algebriche di somma, differenza, prodotto e divisione tra
due numeri complessi z  a  b i , v  c  d i .


Somma: z  v  (a  b i )  (c  d i )  (a  c)  (b  d ) i .
Differenza: z  v  (a  b i)  (c  d i)  (a  c)  (b  d ) i

Prodotto: z  v  (a  b i)  (c  d i)  ac  ad i  cb i  b d i  ac  ad i  cb i  bd 
2
 (ac  bd )  (ad  cb) i .
z a  b i a  b i c  d i ac  ad i  cb i  b d i 2 ac  ad i  cb i  b d






v cdi cdi cdi
c2  d 2
c2  d 2
ac  bd bc  ad
 2

i
c  d 2 c2  d 2

Divisione10:
Si definisce modulo del numero complesso z  a  b  i il numero reale non negativo espresso da:
z  a2  b2 .
0.5
Relazioni. Corrispondenze e Funzioni.
In questo paragrafo vengono introdotte sinteticamente (verranno poi approfondite nel Capitolo 2) le definizioni
formali di relazione, corrispondenza e funzione.
Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme R del loro
prodotto cartesiano:
R  X  Y  ( x, y) : x  X , y Y 
(0.1)
Se la coppia (x, y) appartiene alla relazione R , allora y è una immagine di x tramite R e x è una controimmagine
di y.
La definizione è così generale che può capitare che un elemento di X possa non avere alcuna immagine, come
averne una o più di una; analogamente, un elemento di Y può non avere alcuna controimmagine, come averne una
o più di una.
n Esempio 2.1 – Siano X = {1,2,3} e Y = {1,2,3,4} due insiemi. Il prodotto cartesiano dei due insiemi sarà
formato da C3,1  C 4,1  3  4  12 coppie:
X  Y = (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4)
Sia data la relazione tra X e Y definita da R = {(2,1);(2,3);(3,4)} che è riportata graficamente nella figura 6.
X
Y
1
1
2
3
2
3
4
Fig. 5. Rappresentazione grafica della Relazione tra X e Y
10
Si noti che z  z  a 2  b 2 .
5
Si possono fare alcune osservazioni; l’elemento 1 di X non compare come primo elemento delle coppie di R ,
quindi 1 non ha nessuna immagine in Y; inoltre l’elemento 2 di Y non compare come secondo elemento delle
coppie di R , quindi non ha alcuna controimmagine in X. Si noti infine che l’elemento 2 di X ha due immagini in
Y.
N
Gli elementi che formano le coppie di R si dicono associati o in relazione fra loro.
L’insieme costituito dai primi elementi delle coppie che definiscono R viene denominato dominio della relazione
e viene indicato con D R . Risulta11: D R  X .
L’insieme costituito dai secondi elementi delle coppie che definiscono R viene denominato codominio della
relazione e viene indicato con il simbolo C R . Risulta: C R  Y . Nell’Esempio 2.1, D R  2,3  X e
C R  1,3,4  Y .
Una relazione R tra due insiemi non vuoti X e Y è una funzione e viene indicata con f se soddisfa le seguenti
proprietà:
• ogni x di X ha almeno un’immagine in Y, cioè x  X y Y tale che ( x, y )  R ;
• ogni x di X ha al più un’immagine in Y, ovvero se x  X tale che ( x, y1 )  R e ( x, y2 )  R , allora y1 =
y2.
In sostanza la definizione di funzione comporta che comunque si prenda un elemento x  X (e si ricordi che
vanno considerati tutti) a esso viene associato un solo12 y Y .
Una funzione f può essere indicata con la scrittura:
f:XY
la quale simbolicamente rappresenta il fatto che la funzione prende elementi di X e li porta in Y. Una funzione è
comunemente indicata nel modo seguente:
y = f(x)
che segnala il fatto che y è l’immagine di x attraverso f. La variabile x viene denominata variabile indipendente e
assume valori nel dominio X della funzione; y viene denominata variabile dipendente e i valori che assume
formano il codominio della funzione.
I due insiemi X e Y sono generici, ma in questo capitolo verranno considerati come sottoinsiemi propri o
impropri dell’insieme dei numeri reali: X, Y 3 IR; verranno considerate, cioè, le funzioni reali di una variabile
reale. Nella figura 7 è riportata la funzione F = {(1,1);(2,1);(3,4)}
X
Y
1
1
2
3
2
3
4
Fig. 6. Rappresentazione grafica della Funzione tra X e Y
11
Se DR  X la funzione viene chiamata corrispondenza e viene indicata con C.
12
Attenzione a non fraintendere. La definizione non afferma che a ogni x viene associato sempre lo stesso y , bensì che a un x viene associato un solo
y!
6
Si osservi che nelle coppie che definiscono la funzione, vengono considerati tutti gli elementi di X. Nell’esempio
considerato gli elementi 2e 3 di Y non compaiono come secondo elemento delle coppie di F , quindi non hanno
alcuna controimmagine in X. Si noti infine che l’elemento 1 di Y ha due controimmagini in X.
0. 6
Sistemi di coordinate.
La trasformazione delle strutture geometriche13 in strutture analitiche avviene attraverso l’introduzione dei sistemi
di coordinate.
 Il sistema delle coordinate ascisse.
Si consideri una retta e su di essa un punto chiamato origine convenzionalmente indicato con la lettera O . Il
punto O divide la retta in due semirette. Si sceglie come positivo uno dei due versi rispetto ai quali ci si può
muovere partendo da O ; viene chiamata semiretta positiva quella che ha origine in O e contiene i punti che si
muovono nel verso positivo prescelto. Tradizionalmente viene assunto come positivo il verso seguito dai punti che
partendo da O si muovono verso destra (cfr Fig.5).
u
Fig. 4. Insieme Differenza Simmetrica A B  A  B  A  B
O
Fig. 7. Coordinate ascisse.
Viene infine scelta una unità di misura, u , per calcolare le distanze tra i punti sulla retta. Scelti questi 3 elementi
(origine, verso positivo, unità di misura) si dice che è stato definito un sistema di coordinate ascisse e la retta
viene denominata asse. Ad ogni punto sulla retta è possibile associare un numero reale che rappresenta la sua
distanza da O (se il punto appartiene alla semiretta positiva x è positivo se il punto appartiene alla semiretta
negativa x risulta negativo, se infine il punto coincide con l’origine O il numero reale x risulta uguale a 0);
viceversa ad ogni numero reale x viene associato un punto sulla retta la cui distanza dall’origine O è pari a x
volte l’unità di misura u . Il punto sulla semiretta positiva che dista 1 unità di misura dall’origine si dice che ha
ascissa 1, il punto sulla semiretta negativa che ha una distanza dall’origine pari a 2 volte l’unità di misura ha
ascissa  2 e così via.
-2
-1
0
+1
+2
+3
x
La distanza geometrica14 tra due punti P e R appartenenti alla retta e aventi ascisse rispettivamente uguali a x P e
x R è espressa da x P  x R , mentre la distanza relativa tra gli stessi punti è espressa da x P  x R ; la distanza
geometrica è data da un numero reale non negativo mentre quella relativa può assumere anche valori negativi. Il
punto medio del segmento di estremi P e R ha ascissa x M 
xP  xR
. Si supponga ad esempio che x P  1 e
2
x R  3 , la distanza geometrica tra P e R è pari a +2 mentre quella relativa è pari a  2 ; il punto medio ha ascissa
x M  2 . Si supponga che x P  1 e x R  3 ,; in questo caso sia la distanza geometrica tra P e R che quella
relativa sono pari a +4; il punto medio ha ascissa x M  1 . Sull’asse delle x è possibile introdurre il concetto di
intorno di un punto P di ascissa x P . Sia  un numero reale e positivo, si definisce intorno circolare del punto P
di raggio  l’insieme dei punti che hanno da P una distanza minore o uguale a  , ovvero
I ( P,  )  x  R; x  xP   ,
13
ricordando
le
proprietà
del
valore
assoluto
si
può
scrivere
Si assumono familiari i concetti geometrici di punto, retta e piano.
14
Esistono numerose definizioni di distanze. In generale dati due numeri reali x e y la loro distanza è indicata con
d ( x, y ) e gode delle 3 proprietà:
1. d ( x, y)  0, in particolare d ( x, y)  0  x  y
2. d ( x, y)  d ( y, x)
3. d ( x, y)  d ( x, t )  d (t , y)
t reale.
7
I ( P, )  x  R; x P    x  x P  
. Sia B un sottoinsieme della retta reale e sia x P l’ascissa di un punto
P  B , si dice che P è un punto interno di B se esiste un intorno completo di P interamente contenuto in B ,
ovvero se è possibile trovare un numero reale e positivo  in corrispondenza al quale
I ( P, )  x  R; x  x P   B . Si dice che P è un punto esterno all’insieme B se il punto P è interno
15
all’insieme complementare di B . Infine P è un punto di frontiera dell’insieme B se non è né interno né esterno
all’insieme B . Sia B un sottoinsieme della retta reale e sia x P l’ascissa di un punto P della retta reale, si dice
che P è un punto di accumulazione per l’insieme B se e solo se in ogni intorno di P si trovano punti
dell’insieme B che sono diversi dal punto P 16. I punti dell’insieme B che non sono di accumulazione vengono
denominati punti isolati. L’insieme dei numeri naturali N è costituito da punti isolati e in N esiste un unico
punto di accumulazione  . Nell’insieme dei numeri reali ogni numero reale è di accumulazione per R .
 Il sistema delle coordinate cartesiane nel piano.
Si considerino nel piano due rette non parallele che si intersecano in un punto O. Su ciascuna retta si introduca un
sistema di coordinate ascisse avente come origine il punto O. Se le rette sono perpendicolari si ottiene un sistema
di riferimento cartesiano ortogonale (e monometrico se le unità di misura sui due assi sono uguali); le due rette
vengono denominate assi. Ad ogni punto del piano P può essere associata una coppia ordinata di punti P1 , P2 
il primo dei quali è la proiezione di P sul primo asse mentre il secondo punto P2 rappresenta la proiezione di P
sul secondo asse. Alla coppia
P1 , P2 
può essere associata una coppia di numeri reali
x P , y P 
che
rappresentano, rispettivamente, la distanza relativa di P1 e di P2 dall’origine O. In sintesi al punto P del piano
corrisponde la coppia di numeri reali x P , y P ; la coppia definisce le coordinate di P e i suoi elementi vengono
denominati rispettivamente ascissa ed ordinata di P . I due assi del sistema di riferimento cartesiano vengono
chiamati, rispettivamente, asse delle ascisse ed asse delle ordinate ed etichettati rispettivamente con le lettere x
ed y . Il procedimento può essere invertito; ovvero ad ogni coppia di numeri reali x P , y P  è associato un unico
punto nel piano P del quale l’ascissa è x p e l’ordinata è y p . Si osservi che i punti sull’asse x hanno ordinata
nulla mentre i punti sull’asse y hanno ascissa nulla. Il punto O ha coordinate 0, 0 .
y
u2
P
P2
yP
O
xP
P1
u1
x
Fig. 8. Coordinate cartesiane ortogonali
I due assi dividono il piano in quattro quadranti che vengono solitamente indicati con i numeri romani a partire da
quello di Nord-ovest e seguendo il verso antiorario. Nella Fig. 9 sono stati indicati i segni assunti dalle coordinate
dei punti interni ai diversi quadranti.
15
La definizione data fa riferimento ad un intorno completo (o chiuso), se deve risultare x  x P allora l’intorno si dice
sinistro; infine l’intorno si dice destro se deve risultare x  x P .
16
Si osservi che il punto P non appartiene necessariamente all’insieme B. Si osservi anche che per introdurre il concetto
di punto di accumulazione per un insieme quest’ultimo deve avere necessariamente cardinalità  .
8
y
II
,  
I
,  
x
O
III
,  
IV
,  
Fig. 9. I quattro quadranti nel sistema di Coordinate Cartesiane Ortogonali
La distanza geometrica tra due punti P e R del piano, nel quale è stato introdotto un sistema di riferimento
cartesiano ortogonale e monometrico, può essere espressa in funzione delle coordinate dei due punti. Si supponga
che i due punti, P e R , abbiano coordinate x P , y P  e x R , y R  e sia Q il punto di coordinate x R , y P  . Il
triangolo P Q R è rettangolo. Il cateto P Q ha la stessa misura del segmento P1 Q1 sull’asse x , la cui misura
(geometrica) è espressa da x Q  x P ovvero da x R  x P ; analogamente il cateto Q R ha la stessa misura
(geometrica) del segmento Q2 R2 sull’asse y, la cui misura (geometrica) è espressa da y R  y Q ovvero da
y R  y P . La misura (geometrica) dell’ipotenusa P R può essere calcolata utilizzando il Teorema di Pitagora
ottenendo:
PR 
xR  xP 2   y R  y P 2
.
La situazione è rappresentata nella Fig. 10.
R2




 yR




R
P2  Q2
P

 yP

P1
Q
R1  Q1
x
P
xR



Fig. 10. Distanza tra due punti.
Il punto medio M del segmento PR è il punto equidistante dagli estremi del segmento. Le coordinate
xM , yM  di M possono essere calcolate in funzione delle coordinate xP , y P  e xR , y R  dei punti P e R
nel seguente modo:
9
xM 
xP  xR
2
yM 
yP  yR
2
Nel piano è possibile introdurre il concetto di intorno di un punto P di coordinate ( x P , y P ) . Sia
reale e positivo, si definisce intorno circolare del punto P di raggio
coordinate ( x R , y R ) che
hanno
da
P
una
distanza
minore
 un numero
 l’insieme dei punti
o
uguale
a
,
R
di
ovvero

2
2
I ( P, )  
R; ( x R  x P )  ( y R  y P )   ,


0. 7
L’equazione della retta
Si considerino 2 punti A e B (non coincidenti) nel piano euclideo. L’insieme dei punti P, allineati con A e B,
costituisce un ente geometrico denominato retta. Se nel piano introduciamo un sistema di coordinate cartesiane
ortogonali, è possibile associare all’ente geometrico retta un ente algebrico chiamato equazione della retta.
Si indichino con x A , y A  , xB , y B  e x, y  le coordinate cartesiane rispettivamente di A, B e P; affinchè il
punto P sia allineato con A e B occorre che i due triangoli ACB e ARP (si veda la Figura 11) siano simili, i lati
corrispondenti risultano quindi proporzionali, ovvero:
RP CB

AR AC
Si ha (si veda sempre la Figura 11):
RP  A2 P2  OP2  OA2  y  y A
AR  A1 P1  OP1  OA1  x  x A
CB  A2 B2  OB2  OA2  y B  y A
AC  A1 B1  OB1  OA1  xB  x A
y
B
B2
P
P2
A2
A
R
O
A1
P1
C
B1
x
Fig. 11. La retta
Sostituendo nella relazione geometrica ai lati le rispettive espressioni algebriche si ottiene:
y  y A yB  y A

x  x A xB  x A
(0.2)
ax  by  c  0
(0.3)
Che rappresenta l’equazione della retta individuata dai due punti A x A , y A  e B xB , y B  .
La (0.2) può essere scritta in forma non frazionaria nel seguente modo:
10
dove si è posto:
 a  yB  y A
 b  ( x B  x A )
 c  y A xB  y B x A
L’equazione (0.3) viene denominata equazione implicita (o generale) della retta. La (0.3) è soddisfatta solamente
dalle coordinate dei punti P che appartengono alla retta. Si supponga, ad esempio, che i due punti A e B abbiano
coordinate rispettivamente 2, 3 e 4, 7  ; i coefficienti “a”, “b”, “c” assumono i valori:
 a  yB  y A  7  3  4
 b  ( x B  x A )  (4  2)  2
 c  y A x B  y B x A  3  4  7  2  2
L’equazione della retta r assume l’espressione:
4x  2 y  2  0
c
e rappresenta una retta parallela all’asse delle ascisse17.
b
c
Se b  0 e a  0 l’equazione diventa x   e rappresenta una retta parallela all’asse delle ordinate18.
a
Se c  0 l’equazione diventa ax  by  0 e rappresenta una retta passante per l’origine degli assi19.
La distanza geometrica d di un punto S ( x S , y S ) da una retta r di equazione ax  by  c  0 è espressa da:
Se a  0 e b  0 l’equazione diventa y  
d
axS  byS  c
a2  b2
Si consideri il punto S (1, 3) ; la sua distanza dalla retta r di equazione 4x  2 y  2  0 è pari a:
d
ax S  by S  c
a2  b2

4  (1)  2  3  2
4 2   22

12
20

6
5
0.8
Le (sezioni) coniche
Su questo tema si possono scrivere libri interi ma il questo paragrafo verranno riportati solo i risultati principali e
si rinvia, per ogni opportuno approfondimento, ai testi citati in Bibliografia. Le curve che verranno presentate
sono chiamate coniche in quanto possono essere ottenute come sezione di un cono nello spazio a 3 dimensioni con
un piano. Nella figura che segue sono rappresentate le diverse situazioni che si possono presentare.

La circonferenza.
Sia C un punto del piano ed r  0 un numero reale. Si chiama circonferenza di centro C e raggio r il luogo
geometrico dei punti P che hanno distanza da C pari a r; ovvero PC  r .
L’ente algebrico corrispondente all’ente geometrico circonferenza si ottiene inserendo nel piano un sistema di
coordinate cartesiane ortogonali. Siano ( xC , yC ) le coordinate del centro della circonferenza e si indichino con
x, y  le coordinate del generico punto P sulla circonferenza. La definizione geometrica data di circonferenza si
traduce in:
PC 
x  xC 2   y  yC 2
r
Elevando al quadrato entrambi i membri e sviluppando i quadrati si ottiene l’equazione:
x 2  y 2  2xC x  2 yC y  xC2  yC2  r 2  0
Ovvero:
x 2  y 2  x   y    0
17
È infatti costituita da punti che hanno la stessa ordinata. Si noti che se
che dunque ha equazione y  0 .
(0.4)
c  0 la retta coincide con l’asse delle ascisse
È infatti costituita da punti che hanno la stessa ascissa. Si noti che se c  0 la retta coincide con l’asse delle ordinate
che dunque ha equazione x  0 .
19
Le coordinate (0,0) dell’origine O soddisfano infatti l’equazione omogenea.
18
11
Dove si è posto:
  2 xC
  xC2  yC2  r 2
  2 yC
L’equazione della circonferenza che ha centro C nell’origine O(0,0) degli assi assume la forma:
x2  y2  r 2
Si consideri, come centro della circonferenza, il punto C (1, 3) e, come raggio della circonferenza, r  5 .
L’equazione della circonferenza assume la forma:
x 2  y 2  2 x  6 y  15  0 ed il suo grafico è riportato nella Figura 12.
y
2.5
-5
-2.5
0
0
-2.5
2.5
5
x
C
-5
-7.5
-10
Fig. 12. Circonferenza
L’ellisse.
Si considerino due punti (denominati fuochi) F1 ed F2 nel piano la cui distanza sia pari a d  2c (positivo); sia
a un numero reale positivo tale che a  c  0 . Si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti P per i quali
risulta:
PF1  PF2  2a
Per trovare l’equazione dell’ellisse si introduca un sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano (si veda la
Figura 22) avente come asse delle ascisse la retta passante per F1 ed F2 e come origine il punto medio del
segmento (chiamato centro dell’ellisse) avente come estremi i due punti F1 ed F2 ; le coordinate dei due fuochi
diventano (c, 0) e (c, 0) .
y
B
P
C
A
F1
O
F2
x
D
Fig. 13. L’ellisse
12
La definizione geometrica si traduce algebricamente nell’equazione:
x  c2  y 2  x  c2  y 2
 2a
Eliminando i radicali si ottiene:




x2 a2  c2  a2 y2  a2 a2  c2

Ponendo b  a  c
2
2

2 20
si ottiene
x2 y2

1
a2 b2
(0.5)
Si considerino come fuochi i punti F1 (3,0) ed F2 (3,0) e sia a  5 ; si ha b 2  a 2  c 2  25  9  16 per cui
l’equazione dell’ellisse assume l’espressione:
x2 y2

1
25 16
La (0.5) rappresenta l’equazione dell’ellisse che interseca gli assi coordinati nei punti A(a, 0) , B (0, b) ,
C (  a, 0) e D(0,  b) . I punti A e C vengono denominati vertici dell’ellisse.
Nell’esempio considerato si ha:
A(5, 0) , B(0, 4) , C (5, 0) e D(0,  4)
Si noti che se a  b , ovvero se c  0 i due fuochi coincidono (con il centro dell’ellisse), di conseguenza l’ellisse
diventa una circonferenza con il centro nell’origine degli assi e con raggio r  a .

L’iperbole.
Si considerino due punti (denominati fuochi) F1 ed F2 nel piano la cui distanza sia pari a d  2c (positivo); sia
a un numero reale positivo tale che c  a  0 . Si chiama iperbole il luogo geometrico dei punti P per i quali
risulta:
PF1  PF2  2a
Analogamente a quanto fatto per l’ellisse, si introduca un sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano (si
veda la Figura 23) avente come asse delle ascisse la retta passante per F1 ed F2 e come origine il punto
(chiamato centro dell’iperbole) medio del segmento avente come estremi i due punti F1 ed F2 . Le coordinate dei
due fuochi diventano (c, 0) e (c, 0) .
y
P
F1
C
O
A
F2
x
Fig. 14. L’iperbole
Si ha (il procedimento è simile a quello utilizzato in precedenza per l’ellisse):
x  c2  y 2  x  c2  y 2
 2a
Da cui
20
Si ricordi che a>c per cui
a2  c2  0
13



x2 c2  a2  a2 y2  a2 c2  a2

Ponendo b  c
2
2

 a 2 21

si ottiene
x2 y2

1
a2 b2
(0.6)
La (0.6) è l’equazione dell’iperbole con i due fuochi sull’asse delle ascisse; l’iperbole interseca solamente l’asse
delle ascisse nei due punti A(a, 0) e C (  a, 0) che vengono denominati vertici.
Un caso particolare di iperbole è quello dell’iperbole equilatera che si presenta quando a  b ; la (0.6) diventa:
x2  y2  a2
L’equazione dell’iperbole equilatera assume un’espressione particolarmente significativa se si ruota l’iperbole di
45° in senso antiorario in modo che i fuochi si collochino sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante22; in
questo caso l’equazione dell’iperbole equilatera diventa:
xy  k
(0.7)
Dove la costante positiva k è uguale ad
a2
2
23.
Il grafico dell’iperbole equilatera con k  4 è riportato nella Figura
24.
y
5
F1
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-1
3
4
5
x
-2
F2
-3
-4
-5
Fig. 15. L’iperbole equilatera
 La parabola.
Si consideri una retta r (chiamata direttrice) ed un punto F (chiamato fuoco), non appartenente alla retta, la cui
distanza dalla retta sia pari a d=2c (c>0). Si chiama parabola il luogo geometrico dei punti P equidistanti dalla
direttrice e dal fuoco; indicando con R la proiezione ortogonale di P sulla direttrice (si veda la Figura 25) si ha:
PR  PF
Si introduca un sistema di coordinate cartesiane ortogonali in modo tale che la direttrice risulti parallela all’asse
delle ascisse (con equazione y  c ) ed inoltre il fuoco appartenga all’asse delle ordinate con coordinate (0, c).
L’origine degli assi appartiene alla parabola in quanto risulta equidistante dal fuoco e dalle direttrice. I punto O
viene chiamato vertice della parabola.
c2  a2  0
22
In questo caso F1 (c, c) e F2 (c,  c) .
21
Si ricordi che c>a per cui
Se si ruota l’iperbole di 45° in senso antiorario la costante k risulta negativa e i due rami dell’iperbole equilatera si
trovano nel secondo e nel quarto quadrante.
23
14
y
P
F
O
x
R
Fig. 16. La parabola con direttrice parallela all’asse x
Per determinare l’equazione della parabola si trasformi in termini algebrici la condizione geometrica che definisce
la parabola, osservando che le coordinate dei punti P ed R sono rispettivamente ( x, y ) e ( x,  c) . Si ha:
PF  ( x  0) 2  ( y  c) 2  ( x  x) 2  ( y  c) 2  PR
Elevando al quadrato e riducendo i termini simili si ottiene:
x 2  4cy
ovvero
y  a0 x 2
avendo posto a 0 
(0.8)
1
.
4c
Se il vertice non coincide con l’origine degli assi (ma la direttrice è sempre parallela all’asse delle ascisse) allora
l’equazione della parabola assume l’espressione:
(0.9)
y  a 0 x 2  a1 x  a 2
Se si assume che la direttrice sia parallela all’asse delle ordinate (con equazione x  c ) e che il fuoco sia
sull’asse delle ascisse con coordinate (c, 0) , per cui il vertice della parabola coincide ancora con l’origine degli
assi (come mostrato nella Figura 26):
y
P
R
O
F
x
Fig. 17. La parabola con direttrice parallela all’asse y
allora l’equazione della parabola assume la forma:
x  a0 y 2
(0.10)
15
avendo posto a 0 
1
.
4c
Se il vertice non coincide con l’origine degli assi (ma la direttrice è sempre parallela all’asse delle ordinate) allora
l’equazione della parabola assume l’espressione:
(0.11)
x  a 0 y 2  a1 y  a 2
Ad esempio, la parabola che ha il fuoco nel punto F (0,4) e la direttrice di equazione y  4 , ha equazione:
y
1 2
x
16
La parabola che ha il fuoco nel punto F (4,0) e la direttrice di equazione x  4 , ha equazione:
x
1 2
y .
16
0.6
Elementi di trigonometria.
Si considerino due semirette a e b aventi la stessa origine O. Il piano viene diviso in due parti chiamate angoli.
Gli angoli vengono di solito indicati con le lettere greche minuscole. Le due semirette vengono denominate lati
degli angoli ed il punto O vertice degli angoli. Scelto un verso positivo di rotazione, ad esempio quello antiorario,
e selezionata una delle due semirette come primo lato, l’angolo positivo è quello che viene percorso, partendo dal
primo lato, in senso antiorario.
b
O
+
a
b
O
-
a
Fig. 18. Gli Angoli
Se si considera una circonferenza di centro O e raggio r (arbitrario ma positivo), le due semirette a e b

intersecano la circonferenza in due punti A e B che rappresentano gli estremi di un arco AB che è orientato
positivamente o negativamente come l’angolo che lo determina.
16
b
B
α
O
a
A
Fig. 19. Angoli e radianti
Per misurare l’ampiezza di un angolo  esistono diversi sistemi. Qui vengono richiamati quello sessagesimale
(che ha come unità di misura il grado) e quello radiante (che ha come unità di misura il radiante). Il grado (che
viene rappresentato dal simbolo “°”)è la 360-esima parte di un angolo giro, definito come l’angolo generato dalla
rotazione positiva (ovvero in senso antiorario) di una semiretta a attorno alla sua origine fino a ritornare alla
posizione iniziale. Un angolo giro ha una misura, quindi, di 360°. Il radiante è la misura di un angolo al centro di
una circonferenza che intercetta sulla circonferenza un arco la cui misura (rettificata) è uguale al raggio r . La
misura dell’ampiezza di un angolo  , individuato dalle due semirette a e b , secondo il sistema radiante è dato

dal rapporto tra la lunghezza dell’arco AB e il raggio r della circonferenza.24
Se si osserva che un angolo giro individua un arco la cui misura è data dalla lunghezza della circonferenza si
ottiene la relazione tra la misura di un angolo  in gradi o in radianti; infatti:
360° =
2 r
rad  2 rad
r
Un angolo giro dunque ha un’ampiezza la cui misura è pari a 360 gradi o 2 radianti. Nella tabella che segue
sono riportate le misure, in gradi e in radianti, di alcuni angoli.
Gradi
Radianti
30°
45°
60°
90°
1

6
1

4
1

3
1

2
180°

270°
3

2
360°
2
Le funzioni trigonometriche.
Si consideri un sistema di riferimento cartesiano ortogonale (e monometrico) e si costruisca una circonferenza di
centro l’origine degli assi e raggio arbitrario r ; si consideri un punto P sulla circonferenza di coordinate
xP , y P  e si indichi con  l’angolo individuato dal semiasse positivo delle ascisse e dalla semiretta di origine O
passante per il punto P ; come rappresentato nella figura che segue, si indichino con H la proiezione di P
sull’asse x , con A il punto di intersezione della circonferenza con il semiasse positivo delle ascisse ed infine con
T il punto di intersezione tra la retta tangente in A alla circonferenza e la semiretta di origine O e passante per il
punto P .
24
Questa definizione rende dunque ininfluente la scelta del valore numerico del raggio della circonferenza.
17
y
T
P

H
O
x
A
Fig. 20. Le funzioni trigonometriche
Si definisce funzione seno dell’angolo  , e si scrive y  sin  il rapporto tra la misura (relativa) del segmento
HP (ovvero l’ordinata di P ) e il raggio r della circonferenza:
sin  
HP y P

r
r
Dalla definizione data si può ricavare:
y P  r sin 
Si definisce funzione coseno dell’angolo  , e si scrive y  cos  il rapporto tra la misura (relativa) del
segmento OH (ovvero l’ascissa di P ) e il raggio r della circonferenza:
OH x P

r
r
Dalla definizione data si può ricavare:
cos  
x P  r cos 
Dalle espressioni precedenti è possibile ricavare la celebrata identità Pitagorica:
(sin  ) 2  (cos  ) 2  1
Infatti
 y P   x P  r 2
 y P   xP 
(sin  )  (cos  )       
 2 1
r
r 2
 r   r 
Si definisce funzione tangente dell’angolo  , e si scrive y  tan  il rapporto tra la misura (relativa) del
segmento AT (ovvero l’ordinata di T ) e il raggio r della circonferenza:
2
2
tan  
2
2
2
2
AT yT

r
r
Dalla similitudine dei due triangoli rettangoli HPO e ATO 25 è possibile ricavare la seguente relazione tra le 3
funzioni trigonometriche:
sin 
tan  
cos 
Si ottiene così un modo alternativo per calcolare il valore della funzione trigonometrica tangente:
I due triangoli (non degeneri) sono simili in quanto oltre ad essere entrambi rettangolari hanno l’angolo  in
HP AT
comune. Ne segue che il rapporto tra i lati corrispondenti sono uguali, in particolare si ha
da cui

OH OA
sin a
HP / r AT

che porta alla relazione tan  
.
OH / r
r
cos 
25
18
yP
y
sin 
tan  
 r  P
cos  x P
xP
r
Di seguito sono riportati i valori delle funzioni trigonometriche in corrispondenza ad alcuni angoli.
Gradi
0° 30°
45°
60°
90°
180° 270° 360°

Radianti 0
2
1
1
1
1
3
sin 
0
cos 
1
tan 
0
6
1
2

4

3
2
2
2
2
3
2
3
3

2
3
2
1
2
1
3

2

+1
0
-1
0
0
-1
0
1

0

0
Nella Fig. 21 sono riportati i grafici delle funzioni trigonometriche y  sin x e y  cos x
26in
corrispondenza
agli angoli che variano tra 0 e 2 .
y
y  cos x
1
0
1
2
3
4
5
6
x
y  sin x
-1
Fig. 21. Grafico di
y  sin x
e
y  cos x
con
0  x  2
La funzione y  sin x e la funzione y  cos x ripropongono gli stessi valori ottenuti nell’intervallo 0, 2 
qualora si aggiungano al valore dell’angolo x multipli interi di 2 . Si dice che le due funzioni sono periodiche
di periodo 2 :
cos( x  k  2 )  cos x
sin( x  k  2 )  sin x
k Z
y
x
Fig. 22. Grafico di
y  sin x
e
y  cos x
qualunque sia
x
Come si può osservare dal grafico in Figura 22 (e come è possibile dimostrare formalmente) le due funzioni hanno
lo stesso tipo di andamento, sono solo tra loro sfasate di
26

, ovvero:
2
L’angolo è stato indicato con la lettera x per mantenere la convenzione sulle etichette degli assi.
19
sin x  cos( x 

2
cos x  sin( x 
)

2
)
Vengono di seguito riportate alcune formule che risultano utili soprattutto nelle operazioni tra numeri complessi.
Formule di addizione e sottrazione.
 sin      sin   cos   cos   sin 
sin      sin   cos   cos   sin 
 cos     cos   cos   sin   sin 
 cos     cos   cos   sin   sin 
Formule di prostaferesi.
 
 
 sin   sin   2 sin
 cos
2
2
 
 
 sin   sin   2 cos
 sin
2
2
 
 
 cos   cos   2 cos
 cos
2
2

 
 cos   cos   2 sin
 sin
2
2
Formule di Werner
1
 sin   sin    cos     cos   
2
1
 sin   cos   sin      sin    
2
1
 cos   sin   sin      sin    
2
1
 cos   cos   cos     cos   
2

Per quanto riguarda la funzione y  tan  il suo grafico, in corrispondenza degli angoli che variano tra 0 e 2 ,
è riportato in Fig. 23
y
y  tan x
2
1
0
1
2
3
4
5
6
x
-1
-2
Fig. 23. Grafico di
y  tan x con 0  x  2

3
 stanno ad indicare che per quei valori la
2
2
funzione tangente non esiste. È importante osservare che la funzione y  tan  assume valori non negativi
Le due rette verticali in corrispondenza dei valori  
e  
20
quando l’angolo

2
 è acuto (ovvero 0   

2
) e valori non positivi quando l’angolo
 è ottuso (ovvero
    ).
La funzione y  tan  ripropone gli stessi valori ottenuti nell’intervallo 0,   qualora si aggiungano al valore
dell’angolo  multipli interi di  , ovvero la funzione y  tan  è periodica di periodo  :
tan(   k   )  tan 
k Z
y
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
-1
-2
Fig. 24. Grafico di y  tan x qualunque sia x
0.7
Coordinate polari e numeri complessi.
Sia P un punto nel piano e sia x P , y P  la coppia di coordinate di P rispetto ad un sistema di riferimento
cartesiano ortogonale la cui origine O non coincide con P . La posizione del punto P può essere individuata
anche dal segmento OP e dall’angolo  (la cui ampiezza è misurata solitamente in radianti) formato dal
semiasse positivo delle ascisse e dalla semiretta di origine O e passante per P . La lunghezza di OP , indicata
con  , viene detta distanza polare mentre l’angolo  viene chiamato argomento27. La coppia  ,   rappresenta
la coppia di coordinate polari del punto P . Ad esempio il punto P di coordinate cartesiane 1, 1 ha coordinate


polari  2 ,  .
4

y
P2
yP  1
P
 2

4
x P  1 P1

O
x
Fig. 25. Coordinate polari
27
L’argomento  associato al numero P non è unico; infatti anche la coppia  ,   k 2  , qualunque sia il numero
intero k individua il punto P . Per recuperare l’unicità della coppia di coordinate polari si considera solo il valore
dell’argomento  compreso tra 0 e 2 .
21
Tra le coordinate cartesiane ortogonali e quelle polari di un punto P del piano sussistono le seguenti relazioni:
y   sin 
x   cos
Dove la distanza polare  è espressa da:
  xP 2  y P 2
Un’applicazione delle coordinate polari fa riferimento ai numeri complessi. Un numero complesso z può essere
scritto in forma algebrica come z  a  b  i e può essere rappresentato geometricamente dal punto P di
coordinate cartesiane (a, b) , ovvero dal punto che ha come ascissa la parte reale a del numero complesso e come
ordinata il coefficiente reale b dell’unità immaginaria; in base alle relazioni tra le coordinate cartesiane e quelle
polari il numero z può essere scritto nella forma:
z  a  b  i   cos   sin   i   (cos  sin   i)
Si consideri un secondo numero complesso v  c  d  i la cui rappresentazione in coordinate polari sia:
v  c  d  i   cos    sin   i   (cos   sin   i )
Il prodotto tra z e v è dato da:
z  v   (cos   sin   i )   (cos   sin   i ) 
   cos   cos   sin   sin    i sin  cos   cos  sin      cos(   )  i sin(    )
Nel caso v  z l’espressione precedente assume la forma:
z 2   2  cos 2  i sin 2 
Ripetendo il procedimento fino al prodotto del numero complesso z per se stesso n volte, si giunge alla nota
formula di De Moivre:
z n   n  cos n  i sin n 
Utilizzando la formula di Eulero:
e ix  cos x  i sin x
la formula di De Moivre può essere scritta nel seguente modo:28
z n   n  e in
0.8
Equazioni .
Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni in una (o più) variabile eventualmente verificata per particolari
valori attribuiti alla variabile (i) che compare:
f ( x)  g ( x)

Equazioni algebriche di grado 1.
Un’equazione (algebrica29) di grado 1 si ha quando le due funzioni sono rappresentate da polinomi di grado 1:
a1 x  b1  a 2 x  b2
Riducendo i termini simili e portando tutti i termini a primo membro, si ottiene l’equazione di primo grado in
forma normale:
ax  b  0 30
Risolvere un’equazione di grado 1, scritta in forma normale, equivale a trovare i valori da assegnare ad x in modo
che il primo membro si annulli. Essendo il coefficiente di x diverso da 0, basta dividere entrambi i membri per
a:
x
b
a
Si consideri ad esempio l’equazione
3x  5  0
Portando il termine noto a secondo membro e dividendo entrambi i membri per -3 si ottiene il valore di x che
risolve l’equazione:
28
Questa formula è estremamente utile nella soluzione delle equazioni differenziali e nelle applicazioni di queste ultime
ai modelli di ciclo economico.
29
Per le equazioni non algebriche si vedano i testi indicati in bibliografia.
30
Si assume a  0 per mantenere il grado 1 dell’equazione.
22
x
5 5

3 3

Equazioni algebriche di grado 2.
Un’equazione (algebrica) di grado 2 si ha quando le due funzioni sono costituite da polinomi di grado 2:
a1 x 2  b1 x  c1  a 2 x 2  b2 x  c2
L’equazione di secondo grado è in forma normale se è scritta nel seguente modo:
ax 2  bx  c  0
Le soluzioni dell’equazione31 si trovano utilizzando la seguente formula:
 b  b 2  4ac
2a
La natura delle due soluzioni dipende dal segno della quantità:
  b 2  4ac
denominata discriminante dell’equazione di secondo grado.
Se   0 le due soluzioni sono reali e diverse: x1 , x 2  R , x1  x 2 .
Se   0 le due soluzioni sono reali e coincidenti: x1 , x 2  R , x1  x 2 .
Se   0 le due soluzioni sono non reali ma complesse coniugate: x1 , x 2  R , x1  x 2 .
Ad esempio l’equazione di secondo grado:
x1, 2 
x 2  5x  6  0
ha il discriminante   (5)  4  1  6  25  24  1  0 e le soluzioni (reali e diverse) sono:
2
x1  2 e x2  3
L’equazione di secondo grado:
x 2  8 x  16  0
ha il discriminante   (8)  4  1  16  64  64  0 e le soluzioni (reali e coincidenti) sono:
2
x1  x2  4 .
L’equazione di secondo grado:
x2 1  0
ha il discriminante   0  4  1  1  4  0 e le 2 soluzioni (complesse coniugate) sono:
x1  1  i e x2  1  i .
2
Sommando e moltiplicando le due soluzioni di un’equazione di secondo grado si ottiene:
x1  x 2 
 b  b 2  4ac  b  b 2  4ac
b


2a
2a
a
 b  b 2  4ac  b  b 2  4ac b 2  (b 2  4ac) c



2a
2a
a
4a 2
che esprime il legame tra i coefficienti dell’equazione di secondo grado e le due soluzioni. Si può utilizzare il
legame individuato per costruire un’equazione di secondo grado le cui soluzioni sono x1  2 e x2  3 ; esse
hanno per somma 5 e per prodotto 6. I coefficienti a , b , c dell’equazioni di secondo grado si determinano dalle
due relazioni:
x1  x 2 
b
c
e 6
a
a
Se si pone a  1 si trova b  5 e c  6 . Quindi l’equazione di secondo grado che ha come soluzioni x1  2 e
x2  3 , è:
5
x 2  5x  6  0 ,

31
Il segno del polinomio algebrico di grado 2.
Ovvero le radici del polinomio di secondo grado p 2 ( x)  ax 2  bx  c .
23
Il polinomio di secondo grado ax 2  bx  c può essere scomposto in fattori lineari 32utilizzando le espressioni
trovate per le radici del polinomio. Si ha:
ax 2  bx  c  a  x  x1   x  x 2 
Questo risultato è importante per stabilire il segno del polinomio di secondo grado al variare di x sulla retta dei
numeri reali.
Caso 1 ( x1 , x 2  R , x1  x 2 )
Le due radici sono reali e distinte (si supponga, ad esempio, 0  x1  x2 ) e possono, quindi, essere rappresentate
sulla retta reale:
0
x1
x2
Per ogni valore della variabile x a sinistra della più piccola delle radici, x  x1 , si ha x  x1   0 e x  x 2   0
per cui x  x1   x  x 2   0 . Il segno del trinomio di secondo grado è dunque uguale al segno del coefficiente a
2
del termine x .
Per ogni valore della variabile x compresa all’interno dell’intervallo delle radici, x1  x  x 2 , si ha  x  x1   0
e x  x 2   0 per cui x  x1   x  x 2   0 . Il segno del trinomio di secondo grado è dunque uguale all’opposto
2
del segno del coefficiente a del termine x .
Per ogni valore della variabile x a destra della più grande tra le due radici del polinomio, x  x 2 , si ha
x  x1   0
e x  x 2   0 per cui x  x1   x  x 2   0 . Il segno del trinomio di secondo grado è dunque
2
uguale al segno del coefficiente a del termine x .
Riportando sul grafico le considerazioni fatte si ha:
p2 ( x1 )  0
sign( p2 ( x))  sign a
x1
p2 ( x2 )  0
sign( p2 ( x))  sign a
x2
sign( p2 ( x))  sign a
Caso 2 ( x1 , x2  R , x1  x2 )
Le due radici sono reali e coincidenti; la situazione può essere rappresentate sulla retta reale:
x1  x2
Per ogni valore della variabile x a sinistra della radice doppia x1  x2 , si ha x  x1   0 e quindi anche
x  x 2   0 per cui x  x1   x  x 2   0 . Il segno del trinomio di secondo grado è dunque uguale al segno del
2
coefficiente a del termine x .
Poiché x1  x2 non esistono valori della variabile x compresi, in senso stretto, tra gli estremi dell’intervallo
delle radici (ovvero l’insieme dei punti x per i quali x1  x  x 2 coincide con l’insieme vuoto).
Per ogni valore della variabile x a destra della radice doppia x1  x2 , si ha  x  x1   0 e quindi anche
x  x 2   0 per cui x  x1   x  x 2   0 . Il segno del trinomio di secondo grado è dunque uguale al segno del
2
coefficiente a del termine x .
Riportando sul grafico le considerazioni fatte si ha:
p2 ( x1 )  p2 ( x2 )  0
32
Si consiglia lo studente di riguardare, nei testi citati in bibliografia, il metodo di scomposizione dei polinomi con la
Regola di Ruffini.
24
sign( p2 ( x))  sign a
x1  x2
sign( p2 ( x))  sign a
Caso 3 ( x1 , x2  R , x1  x2 )
Le due radici sono complesse e coniugate e non sono rappresentabili sulla retta reale. Non essendoci sulla retta
reale nessun intervallo delle radici allora ogni valore reale di x è esterno all’intervallo delle radici per cui il segno
di ax 2  bx  c  a  x  x1   x  x 2  è sempre uguale al segno del coefficiente a del termine x .
2
sign( p2 ( x))  sign a
In sintesi si può enunciare il seguente risultato:
Segno del trinomio di secondo grado
2
“Il polinomio di secondo grado p 2 ( x)  ax  bx  c assume valori che hanno lo stesso segno del coefficiente
a del termine x 2 , all’esterno dell’intervallo delle radici. Il polinomio assume valori che hanno segno opposto
2
rispetto al coefficiente a del termine x , all’interno dell’intervallo delle radici”.
0.9
Disequazioni.
Una disequazione è una disuguaglianza tra due funzioni in una (o più) variabile eventualmente verificata per
particolari valori attribuiti alla variabile (i) che compare:

f ( x) g ( x)


Disequazioni algebriche di grado 1.
Una disequazione (algebrica33) di grado 1 si ha quando le due funzioni sono rappresentate da due polinomi di
grado 1:
a1 x  b1

a 2 x  b2

La disequazione di primo grado 34è in forma normale se è scritta nel seguente modo:
ax  b

0

Risolvere una disequazione di grado 1, scritta in forma normale, equivale a trovare i valori da assegnare ad x in
modo che la relazione tra il primo membro e il secondo membro sia verificata. Si consideri ad esempio la seguente
disequazione (rispetto alla quale presenteremo i diversi risultati e proprietà, l’estensione agli altri tipi di
disequazione è banale):
ax  b  0
L’espressione precedente può essere scritta isolando il termine che contiene la variabile x :
ax  b
Se il coefficiente a è positivo allora i valori della variabile x che risolvono la disequazione si ottengono
dividendo entrambi i membri per a :
x
b
a
L’insieme A che contiene le soluzioni della disequazione può essere scritto nel seguente modo:
b

A   x  R; x   
a

33
34
Per le disequazioni non algebriche si vedano i testi indicati in bibliografia.
Si assume a  0 per mantenere il grado 1 della disequazione algebrica.
25
Geometricamente A equivale alla semiretta avente come origine il punto sulla retta di ascissa 
b
ed orientata
a
positivamente:
A
B

b
a
La parte tratteggiata indica l’insieme dei valori che non risolvono la disequazione (ovvero l’insieme B  R  A)
Se il coefficiente a è negativo la disequazione iniziale può essere scritta come :
b   ax
ovvero  ax  b espressione nella quale  a  0 35
Dividendo entrambi i membri della disequazione per  a , che è positivo, si ottiene:
x
b
a
In questo caso l’insieme A che contiene le soluzioni della disequazione può essere scritto nel seguente modo:
b

A   x  R; x   
a

Geometricamente A equivale alla semiretta avente come origine il punto sulla retta di ascissa 
b
e orientata nel
a
verso negativo:
A
B


b
a
Disequazioni algebriche di grado 2.
Una disequazione (algebrica) di grado 2 si ha quando le due funzioni sono rappresentate da due polinomi di grado
2:
a1 x 2  b1 x  c1

a 2 x 2  b2 x  c 2

La disequazione di secondo grado 36è in forma normale se è scritta nel seguente modo:
ax 2  bx  c

0

Per risolvere una disequazione di grado 2, scritta in forma normale, si può fare riferimento al Teorema sul segno
di un polinomio di secondo grado. Si consideri ad esempio la disequazione:
ax 2  bx  c  0
I valori della variabile x che risolvono la disequazione sono costituiti dai valori in corrispondenza ai quali il
2
polinomio assume valori positivi. Se il coefficiente a del termine x è positivo l’insieme soluzione è costituito
In tale modo ci si riconduce al caso precedente. L’espressione ax  b è stata ottenuta da ax  b , moltiplicando
entrambi i membri per 1 e cambiando, oltre ai segni dei termini che compaiono a primo e secondo membro, anche il
verso della disequazione (Secondo Principio di equivalenza).
36
Si assume a  0 per mantenere il grado 2 della disequazione algebrica.
35
26
2
dall’insieme dei valori esterni all’intervallo delle radici; se il coefficiente a del termine x è negativo l’insieme
soluzione è costituito dall’insieme dei valori interni all’intervallo delle radici.

Disequazioni algebriche fratte.
Una disequazione ad una incognita x si dice fratta se x compare sia a numeratore sia a denominatore di almeno
una frazione. La disequazione fratta si dice ridotta alla forma normale se risulta scritta nel seguente modo:
f ( x) 
0
g ( x) 
Si consideri in particolare la disequazione fratta:
f ( x)
0
g ( x)
Risolverla significa trovare i valori di x in corrispondenza ai quali la funzione a numeratore assume valori dello
stesso segno della funzione a denominatore.
Per risolvere la disequazione è necessario individuare completamente la variazione dei segni dei valori assunti dal
numeratore e dal numeratore e successivamente determinare la variazione dei segni della frazione.
Ad esempio si debba risolvere la seguente disequazione fratta:
x 2  7 x  10
0
2x  6
Passo 1
2
Si studi il segno del numeratore f ( x)  x  7 x  10
37.
Le radici del polinomio sono reali e diverse ed uguali a
x1  2 e x2  5 . In base al segno del trinomio di secondo grado (essendo a  1  0 ) si ottiene:
______
++++++++++++++++++ 0
0
0+ + + + + + + + + + + +
5
2
Passo 2
Si determini come varia il segno del denominatore g ( x)  2 x  6 . Trattandosi di un polinomio di grado 1 si
ottiene:
______________________
0
0 +++++++++++++++++
3
Passo 3
Si determini il segno della frazione
f ( x)
nei diversi intervalli in cui la retta viene suddivisa dai valori critici
g ( x)
trovati 2, 3, 5 :
C’è l’abitudine di individuare il segno del numeratore (o del denominatore) risolvendo la disequazione
x  7 x  10  0 (ovvero nel caso del denominatore 2 x  4  0) . In realtà si tratta di disequazioni fittizie in quanto non
si debbono individuare solamente i valori di x in corrispondenza ai quali il numeratore (o il denominatore) assume
valori positivi ma anche quelli nei quali il numeratore (o il denominatore) assume valori negativi. Il verso della
disequazione è dunque arbitrario e non vincolante.
37
2
27
______
+ + + + + + + + + + + + + + + + +0
0+ + + + + + + + + + + +
f (x)
0
5
2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _0
0 +++++++++++++++++
g (x)
3
0
____________________
f ( x)_
g ( x)
0
2
5
0
0
0
3
0+ + + + + + + + + + + +
……… 0
+
_.............................
f ( x).
g ( x)
__
0 ++
2
3
5
Fig. 26. Soluzione di una disequazione fratta
La soluzione della disequazione iniziale è dunque rappresentata dai valori di x compresi tra 2 e 3 e dai valori di
x più grandi di 5. Usando la notazione degli insiemi la soluzione è data dall’insieme:
A  x  R; 2  x  3  x  R; x  5.

Sistemi di disequazioni.
Un sistema di disequazioni è un insieme di N ( N  2) disequazioni (contenenti le stesse incognite) delle quali
si vogliono determinare tutte le eventuali soluzioni comuni. Se l’insieme delle soluzioni della disequazione iesima ( i  1, 2, , N ) è indicato da S i allora l’insieme soluzione del sistema è ottenuto dalla intersezione di tutti
gli insiemi S i con i  1, 2, , N . Si consideri ad esempio il seguente sistema di disequazioni algebriche:
 x 2  7 x  10  0

2 x  6  0
L’insieme soluzione S1 della prima disequazione del sistema è costituito dai valori reali di x in corrispondenza ai
quali il trinomio di secondo grado è positivo; essendo positivo il coefficiente a della potenza x 2 si può
concludere, in base al Teorema sul segno del trinomio di secondo grado, che la soluzione è costituita dai valori
esterni all’intervallo delle radici che si ricorda sono x1  2 e x 2  5 . Risulta S1  x  R; x  2  x  R; x  5 .
L’insieme S 2 della seconda disequazione del sistema si ottiene portando il termine noto a secondo membro e
dividendo entrambi i membri della disequazione per il coefficiente di x (il verso della disequazione non cambia
perchè il coefficiente di x è positivo). Risulta S 2  x  R; x  3 . L’insieme soluzione del sistema è dato da
S1  S 2  S  x  R; x  5 . Gli insiemi S1 , S 2 e S
sono rappresentati graficamente mediante una linea
continua:
28
S1
S1
Disequazione 1
0
5
2
S2
Disequazione 2
3
0
S  S1  S 2
Sistema
0
2
3
5
Fig. 27. Soluzione di un sistema di disequazioni
L’insieme S
delle soluzioni del sistema, dato dall’intersezione di S1 ed S 2 , è costituito dai valori di x in
corrispondenza ai quali si ha un tratto continuo 38per entrambe le disequazioni. Risulta: S  x  R; x  5 .

Disequazioni irrazionali:39
Si consideri la seguente disequazione:
9 x 2  6 x  8  3x  5
40
Per determinare le sue soluzioni reali occorre prima di tutto che il calcolo della radice (avendo indice pari41)
generi un numero reale; la condizione che deve essere rispettata è che il radicando sia non negativo, ovvero:
9x 2  6x  8  0
Il termine che contiene la radice ha il segno positivo,42 ovvero il primo membro della disequazione è non
negativo. Occorre quindi che anche il secondo membro della disequazione risulti non negativo, ovvero:
3x  5  0
A questo punto è possibile elevare al quadrato entrambi i membri ottenendo la disequazione algebrica:
9 x 2  6 x  8  9 x 2  30 x  25
ovvero
9 x 2  6 x  8  (3x  5) 2
Che assume la forma normale:
38
La simbologia adottata per rappresentare la soluzione di una disequazione non va confuso con la simbologia utilizzata
per risolvere le disequazioni fratte. In quel caso, infatti, il verso della disequazione (ad esempio >0) utilizzato per
studiare il segno del numeratore (o del denominatore) era assolutamente arbitrario e serviva per determinare i valori di x
in corrispondenza ai quali il numeratore (denominatore) era positivo e, per complementarietà, dove era negativo. In quel
caso abbiamo usato i simboli “+” e “-“ e non il tratto continuo (che significa la disequazione è risolta) e quello
tratteggiato (che significa la disequazione non è risolta).
39
La variabile x compare sotto il segno di radice; in questo caso la disequazione viene denominata irrazionale.
40
La disequazione considerata è del tipo
f ( x)  g ( x) . Esistono altre strutture di disequazioni; ad esempio
f ( x)  g ( x) , ma abbiamo scelto la prima in quanto risulta la più complicata da risolvere.
Se l’indice della radice è dispari basta elevare entrambi i membri della disequazione alla potenza n-esima per
ritrovare una disequazione non irrazionale.
42
Va precisato che nella disequazione il radicale è già il risultato dell’estrazione della radice quadrata ed in particolare è
il valore con il segno positivo. Se si considera, ad esempio, il numero 25 l’estrazione di radice quadrata genera due
valori -5 e +5, ma se scriviamo 25 intendiamo il risultato +5 così come se scriviamo  25 intendiamo il valore -5.
41
29
36x  33  0
I valori di x che risolvono la disequazione irrazionale di partenza si ottengono risolvendo il sistema di
disequazioni:
9 x 2  6 x  8  0
Condizione di realtà


Condizione di positività del sec ondo membro
3x  5  0
36 x  33  0
Disequazione finale


S1
S1
Disequazione 1

2
3
0
4
3
S2
Disequazione 2

5
3
0
S3
Disequazione 3

11
12
0
S  S1  S 2  S 3
Sistema

11  2
3
12
0
4
3
0.11
Percentuali
Il simbolo “%” si legge “per 100”; compare quando si calcola il rapporto tra due quantità e consente di
confrontare tra loro valori dimensionalmente diversi.
In una classe di 30 studenti il numero di studenti femmine è pari a 18, il rapporto tra il numero di femmine e il
numero complessivo di studenti di quella classe porta a:
18 6
60


 0,60  60%
30 10 100
ovvero la percentuale di femmine in quella classe è pari al 60% del totale (conseguentemente quella dei maschi è
del 40%). Nella Facoltà di Economia il numero degli studenti iscritti è pari a 2800 e il numero di studentesse è
1680; in termini percentuali il numero degli studenti femmine è ancora pari al 60% 
1680
. Le due popolazioni
2800
pur avendo ordini di grandezza diversi esibiscono lo stesso valore percentuale di femmine e si può quindi
concludere che le due popolazioni sono simili in termini di composizione per genere (trascurando altri parametri
come l’età,…).

Un problema di costi e di ricavi.
30
Si consideri un’impresa per la quale i costi sostenuti per la manodopera nell’anno 1 e nell’anno 2 sono stati
rispettivamente uguali a 1,25 milioni di € e 1,50 milioni di €; i ricavi sono passati da 20 milioni di € a 23 milioni
di €. In termini assoluti i costi della manodopera sono aumentati di 250.000 € mentre i ricavi di 3 milioni di €; in
base a questi valori si può osservare che i ricavi crescono di più, in termini assoluti, rispetto al costo della
manodopera ma il confronto non può spingersi oltre. Il costo della manodopera è cresciuto percentualmente
secondo il valore
var iazione
250.000

 0,20  20% .
valore iniziale
1.250.000
Analogamente i ricavi sono aumentati percentualmente secondo il valore
Variazione
3.000.000

 0,15  15% .
Valore iniziale
20.000.000
I ricavi sono cresciuti percentualmente di meno rispetto al costo della manodopera e questo dato consente di
acquisire informazioni più significative. L’incidenza percentuale dei costi di manodopera sui ricavi nei 2 anni è
stata pari a:
1.250
 0,0625  6,25%
20
1.500
 0,0652  6,52%
anno 2:
23
anno 1:
L’incidenza dei costi sui ricavi è aumentata, come era logico aspettarsi visto che i costi sono aumentati
percentualmente di più dei ricavi.

Il peso degli azionisti in una SpA
Si consideri una SpA nella quale ci sono 5 azionisti che detengono rispettivamente 112, 200, 224, 300 e 350
azioni per complessive 1186 emesse. Ci si chiede qual è il peso relativo dei singoli azionisti, ovvero ci si chiede
qual è il valore percentuale del pacchetto di azioni detenuto da ciascun azionista sul totale delle azioni emesse.
Calcolando il rapporto tra il numero di azioni detenute da ciascun azionista e il numero complessivo di azioni si
ottiene la risposta al problema posto. Si ottiene:
azionista 1:
azionista 2:
azionista 3:
azionista 4:
azionista 5:
112
 0,0944  9,44%
1186
200
 0,1686  16,86%
1186
224
 0,1888  18,88%
1186
300
 0,2530  25,30%
1186
350
 0,2951  29,52%
1186
La somma delle percentuali è uguale a 100% che corrisponde al numero complessivo, 1186, delle azioni
possedute dagli azionisti.

Come si calcola il valore delle grandezze noti i valori percentuali.
In alcuni problemi si conosce il valore di una quantità e la percentuale dell’altra quantità rispetto alla prima. Ad
esempio i ricavi per un’impresa sono stati di 30 milioni di € e la percentuale dei costi totali sostenuti sui ricavi
totali è del 85%, determinare il valore dei costi totali. In questo caso si ha:
CT
 85% e RT  30mil
RT
per cui
CT  85%RT  85%30mil  25,5mil .
Si consideri il problema simmetrico. I costi totali ammontano a 25,5 milioni di € e rappresentano l’85% dei ricavi,
determinare il valore dei ricavi totali che debbono essere realizzati. Si ha
31
CT
 85% e CT  25,5mil
RT
Da cui
CT
25,5
 RT 
 30mil
85%
85%

Il margine di contribuzione (MdC) ed il Mark up (Mu)
In un’impresa che produce un certo bene il pareggio si determina quando i costi totali (dati dalla somma dei costi
variabili e dei costi fissi) uguagliano i ricavi totali:
RT  CT
ovvero
RT  CV  C F
I ricavi si ottengono moltiplicando il prezzo unitario per il numero Qd di pezzi venduti; i costi variabili si
ottengono dal prodotto del costo variabile unitario (ad esempio il costo delle materie prime necessarie a produrre
una unità del bene) per il numero di pezzi prodotti Qo . Si supponga (si pensi ad esempio al caso di una pizzeria)
che i pezzi prodotti siano uguali ai pezzi venduti Qd  Qo  Q , la relazione precedente diventa:
pu Q  CVu Q  C F
Da cui
pu Q  CVu Q  ( pu  CVu )Q  C F
Il livello delle vendite (=livello della produzione) nel punto di pareggio tra costi e ricavi è esprimibile come:
CF
Q
p u  CVu
Il denominatore della frazione viene denominato Margine di contribuzione unitario e viene indicato con (MdC) u .
Per quanto riguarda i ricavi nel punto di pareggio si ottiene:
pu Q  pu
CF
CF
CF


pu  CVu
pu  CVu
(MdC )%
pu
Dove il simbolo (MdC) % viene denominato margine di contribuzione percentuale ed è definito come rapporto tra
il margine di contribuzione unitario (la differenza tra il prezzo unitario e il costo variabile unitario) e il prezzo
unitario. Risulta:
pu  CVu
CV
( MdC)% 
 1 u
pu
pu
Si definisce Mark up (Mu) il rapporto tra il margine di contribuzzione unitario (la differenza tra il prezzo unitario
e il costo variabile unitario) e il costo variabile unitario, ovvero:
Mu 
p u  C vu
C vu
Se viene acquistato un bene a 100€ e il bene viene rivenduto a 150€, il margine di contribuzione percentuale è:
( MdC )% 
150  100
 0, 3  33, 3 %
150
Mentre il mark up è:
Mu 
150  100
 0,5  50 %
100
È importante definire il legame tra i due valori percentuali. I passaggi che seguono non necessitano di particolari
commenti:
pu  CVu
( MdC )% 
pu  CVu
pu

CVu
pu
CVu

CV
Mu
 Mu  u  Mu  (1  ( MdC )% )
pu
pu
CVu
Da cui si ottiengono le due espressioni seguenti:
32
( MdC)%
1  ( MdC)%
Mu 
( MdC )% 
Mu
Mu  1
Nell’esempio si è calcolato MdC  33, 3 % allora il mark up risulta uguale a Mu 
33, 3 %
 50%
66, 6 %
Inversamente dal valore noto del Mark up, Mu  50% , si ricava il Margine di Contribuzione percentuale che risulta
uguale a MdC 
50%
 33, 3 % .43
50%  1

Il caso degli sconti progressivi
Esistono situazioni nelle quali ci si trova di fronte ad una politica commerciale che prevede l’applicazione di
sconti progressivi. Ad esempio si consideri il caso in cui sul prezzo ufficiale, pari a p0  100€ , vengano
applicati in sequenza i seguenti sconti: s1  30% , s2  20% , s3  15% . Questo sistema indica che viene
prima applicato un sconto del 30% sui 100€, sul prezzo scontato viene applicato un successivo sconto del 20% e
sul prezzo così ottenuto viene applicato uno sconto finale del 15%. Dopo il primo sconto il prezzo è diventato 70€
I risultati ottenuti derivano dall’ipotesi fatta di linearità sia sui ricavi che sui costi variabili. Nel caso generale si ha:
RT  CV  CF
Si moltiplichino i due membri per RT e si dividano entrambi i membri per RT  CV :
43
RT  (RT  CV )  C F  RT
CF
RT 
 RT
( RT  CV )
Da cui
RT 
CF
RT  CV
RT
Si definisce margine di contribuzione (MdC) il rapporto tra, la differenza tra i ricavi totali e i costi variabili, e i ricavi
totali. Il MdC è un valore percentuale e coincide con l’espressione che compare a denominatore della formula
precedente
MdC 
RT  CV
C
 1 V
RT
RT
Per cui nel punto di pareggio si ha:
RT 
CF
MdC
Nel caso del Mark up si ha:
Mu 
RT  C V
R
 T 1
CV
CV
R  CV
MdC  T

RT
RT  CV
CV
C
Mu

 Mu  V  Mu  (1  MdC )
RT
RT
RT
CV
CV
Da cui:
Mu 
MdC
1  MdC
Analogamente
R  CV
Mu  T

CV
RT  CV
RT
R
MdC

 MdC  T  MdC  ( Mu  1)
CV
CV
CV
RT
RT
Da cui:
MdC 
Mu
Mu  1
33
(=100-30%100); dopo il secondo sconto il prezzo si è ridotto a 56€ (=70-20%70) ed infine, dopo lo sconto finale,
il prezzo è diventato 47,6€ (=56-15%56). Formalmente il prezzo finale si ottiene attraverso il seguente calcolo:
pF  p0  (1  s1 )  (1  s2 )  (1  s3 )
Infatti:
pF  100€  (1  30%)  (1  20%)  (1  15%)  47,6€
La sconto complessivo S T applicato è pari a:
ST  p0  p F  p0  p0  (1  s1 )  (1  s2 )  (1  s3 )  p0 1  (1  s1 )  (1  s2 )  (1  s3 )
Nell’esempio trattato si ha:
ST  100€1  (1  30%)  (1  20%)  (1  15%)  52,4€
Se si vuole esprimere lo sconto complessivo in termini percentuali, s , basta rapportare lo sconto totale al prezzo
iniziale ottenendo:
s
p0 1  (1  s1 )  (1  s 2 )  (1  s3 )
 1  (1  s1 )  (1  s 2 )  (1  s3 )
p0
Nell’esempio si ha:
s  1  (1  30%)  (1  20%)  (1  15%)  52,4%

Un problema di IVA
Un problema che assilla molti è quello che si riferisce ai calcoli relativi all’IVA. Se si conosce il prezzo Pnetto (ad
esempio Pnetto  1500€ ) di un prodotto senza IVA e il valore percentuale di IVA da applicare (ad esempio
IVA=20%) è semplice determinare il prezzo del prodotto con IVA:
Plordo  Pnetto  IVA  Pnetto  Pnetto (1  IVA)
Nell’esempio si ottiene:
Plordo  1500€(1  20%)  1500€(1,2)  1800€
Ma se si conosce il prezzo “IVAto” (ovvero Plordo ) come si risale al prezzo netto Pnetto , cioè al prezzo senza
IVA?
In questo caso basta esprimere Pnetto in funzione di Plordo , ottenendo:
Pnetto 
Plordo
1  IVA
Nell’esempio trattato si ha:
Pnetto 
1800
1800

 1500
1  20%
1,2

La pendenza.
Dire che un tratto di salita dal punto A al punto C, ha pendenza media del 12% significa dire che facendo un
“foro” orizzontale lungo 100 (unità di misura: metri, cm,…) fino a raggiungere il punto B, per tornare nel punto C
della salita occorre fare un “buco” verticale lungo 12 (unità di misura). Si osservi che il tratto di salita considerato
è lungo (in base al teorema di Pitagora)
100 2  12 2  10144  100,72 .
C
100,72
12%100  12
A
100
B
Dire che un tratto di salita, lungo 250 metri (rappresentato dall’ipotenusa del triangolo ABC), ha una pendenza
media del 12% significa che la misura del cateto verticale BC del triangolo ABC è pari al 12%=0,12 della misura
del cateto orizzontale AB. In base al teorema di Pitagora si ha:
34
250  x 2  (0,12 x) 2  1,144 x 2  x 1,144
da cui:
x
250
1,144
 233,74
L’altitudine in quel tratto di strada è dunque cresciuta di 12%  233,74  28,05 metri. In entrambi i casi (la salita
è lunga 100,72 unità di misura, oppure lunga 250 metri) il rapporto tra i due cateti (verticale ed orizzontale) è
costante e uguale a 0,12= 12% = tan  . L’angolo

  CAB risulta uguale a (6,84)°.
C
250 metri
12%x
  6,84
A
x
B
Fig. 28. Pendenza.
35
Esercizi proposti
0.1 Dati gli insiemi A={1,2,3} e B={4,5,1} calcolare:
a)
A B 
b)
A B 
c)
A\ B
d)
A B 
0.2 Dati gli insiemi A={1,3,6} e B={1,4,7,} calcolare:
a)
A B 
b)
A B 
c)
A\ B
d)
A B 
0.3 Dati gli insiemi A={1,3} e B={1,4} calcolare
0.4 Dati gli insiemi A e B, con A 
B
calcolare
A B
A B
0.5 Sia X  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 l’insieme universale e si considerino i due insiemi A={1,3,5,7,9} e
B={0,2,4,6,8}. Si calcolino il complementare dell’insieme A e dell’insieme B.
0.6 Si rappresentino in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali i punti aventi come coordinate le seguenti
coppie di numeri:
( 2, 3) , (2, 3) , (2,  3) , ( 2,  3)
0.7 Si calcoli la distanza tra i punti di coordinate ( 2, 3) e ( 2,  3)
0.8 Si determini l’equazione della retta individuata dai 2 punti A(2, 3) e B(2,  3)
0.9 Si determini l’equazione della retta individuata dai 2 punti A(2, 3) e B(2,  3)
0.10 Si determini l’equazione della retta individuata dai 2 punti A(2, 3) e B(2, 3)
0.11 Si determini l’equazione della retta individuata dai 2 punti A(2, 3) e O(0, 0)
0.12 Si determini l’equazione della circonferenza di centro C (0, 3) e raggio r  3
0.13 Si determini l’equazione dell’ellisse che interseca gli assi nei punti A(8, 0) , B(0, 6) , C (8, 0) e D(0, 6) . Si
determinino anche le coordinate dei fuochi.
0.14 Si calcoli l’equazione dell’iperbole equilatera che ha i fuochi nei punti F1 (3, 3) e F2 (3,  3)
0.15 Applicando la definizione, si calcoli l’equazione della parabola con il vertice nel punto V (2, 3) e avente
come direttrice la retta di equazione y  3  0
0.16 Si calcoli il valore delle seguenti espressioni:
 
 
 
cos   sin 0  cos    sin  
2
 2
2
 
 
 
cos   sin    tan 0  tan  
4
3
6
0.17 Risolvere le seguenti disequazioni di grado 1:
1
2 x7 x 0
3
1
5 x7 x 0
2
4 x6 x20
0.18 Risolvere le seguenti disequazioni di secondo grado:
x2
x2
x2
x2
x20
 5x  4  0
40
 6x  9  0
36
x2  x  3  0
0.19 Risolvere le seguenti disequazioni fratte:
x4
0
x3
x2
0
x5
x2  4
0
x 2  5x  4
0.20 Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni:
x 2  2 x  2  0

x  7  0
x  2  0
 2
x  2x  3  0
x  7  0

0.21 Si determinino le coordinate polari dei punti di coordinate cartesiane:
(3,0) , (3,1) , (3,3) , (3,3)
0.22 I costi totali di un’azienda in due anni successivi, sono passati da 50.000€ a 60.000€. Determinare:
la variazione percentuale;
il numero di € corrispondenti ad un aumento dell’1%.
0.23 Il 40% della produzione di una impresa è diretta ad un mercato estero nel quale l’impresa copre il 25% della
domanda. Se volesse coprire il 50 % di quel mercato quale percentuale della sua produzione dovrebbe esportare su
quel mercato?
0.24 In un certo Paese (dove non ci sono detrazioni possibili) il livello di tassazione sui redditi prevede che fino a
10.000um l’aliquota di tassazione sia pari al 10%. Oltre 10.000um fino a 50.000um l’aliquota è del 20%. Oltre
50.000um fino a 250.000um l’aliquota è del 30%. Infine oltre 250.000um l’aliquota diventa del 40%. Determinare
quante tasse paga un cittadino che ha un reddito di 300.000um. Determinare il valore unico di quell’aliquota
(media) che applicata al reddito equivale alla tassazione per scaglioni di reddito.
0.25 Determinare il valore (in percentuale) del margine di contribuzione per un bene acquistato a 250€ e rivenduto
a 350€. Qual è il corrispondente valore di mark up (in percentuale)?
0.26 Un gruppo di ciclisti ha raggiunto dopo una lunga salita un passo di montagna la cui quota (rispetto al livello
del mare) è di 2680m. La prima discesa rettilinea che scende a valle è lunga 1000m e la pendenza media è del
15%. Qual è la quota (rispetto al livello del mare) del punto che si trova alla fine della discesa?
37
Test di autovalutazione
T.0.1 Esiste il valore tan

2
?
T.0.2 Un polinomio algebrico di grado 2 in una variabile può assumere solo valori negativi in corrispondenza ad
un qualunque valore reale assegnato alla variabile?
1
T.0.3 Calcolare il valore della seguente espressione:
5
2
2
*2
3
 
5
: 20 .
T.0.4 Determinare l’espressione dell’equazione di secondo grado che ha come soluzioni x1  3  5i e
x1  3  5i .
T.0.5 Risolvere la seguente disequazione fratta
x( x  1)
1

2
x 1
x x2
T.0.6 Risolvere il seguente sistema di disequazioni:
 2x
 3  x  0
 2
 x 1  0
 x  2
T.0.7 Risolvere la disequazione irrazionale 4 x 2  13x  3  2 x  5
T.0.8 Determinare le coordinate polari del punto di coordinate ( 2,  5)
T.0.9 Determinare lo sconto complessivo corrispondente ad uno sconto progressivo espresso da
(30%, 20%, 10%)
T.0.10 I costi sostenuti da una impresa, in 3 anni consecutivi, sono stati 140.000€, 160.000€ e 200.000€. I ricavi
corrispondenti sono stati 200.000€, 220.000€ e 260.000€. Determinare la percentuale di variazione, anno per anno
e rispetto al primo anno, dei costi e dei ricavi. Determinare i valori percentuali di incidenza dei costi sui ricavi nei
3 anni.
Risposte alle domande del test di autovalutazione.
T.0.1 NO. La retta tangente in A non è intercata dalla retta per O e per P, anch’essa verticale.
T.0.2 SI. Se il coefficiente di x 2 è negativo e le due radici del polinomio di secondo grado sono complesse
coniugate allora i valori assunti dal polinomio sono sempre negativi.
T.0.3
T.0.4
1
25
x 2  6 x  34  0

 

T.0.5
T.0.6
A  x  R; 2  x  1  x  R; 2  x  2
A  x  R;2  x  1 x  R; x  3
T.0.7

A   x  R; x 

1 
22 
   x  R; x  
4 
7
T.0.8   29 e   1,19 rad
T.0.9 49,6%
T.0.10 Costi:
14,29%, 25%.
Ricavi:
11,00%, 17,12%
Costi/ricavi: 70,00%, 72,07%,
14,29%,
11,00%,
42,86%
30%
76,92%
38