Compito scritto di Elettricità e Magnetismo e Elettromagnetismo 16

Compito scritto di Elettricità e Magnetismo e Elettromagnetismo
16 Settembre 2004
Prova scritta di Elettricità e Magnetismo: esercizi A e B in tre ore
Prova scritta di Elettromagnetismo: esercizi C e D in tre ore
Prova scritta di Elettricità e Magnetismo ed Elettromagnetismo: esercizi A, B e C in quattro ore
A
A) Due condensatori piani uguali con armature quadrate (di lato l=5.0 cm) e aventi distanza tra le
C1
C2
armature d=2.0 mm sono collegati come mostrato in figura. La differenza di potenziale tra i punti
0
A e B vale V0=90 V. Mantenendo il sistema dei due condensatori isolato, il condensatore 1 viene
d
riempito completamente con un materiale isolante a densita’ variabile lungo l’asse z indicato in
figura. Di conseguenza la costante dielettrica dell’isolante varia secondo la legge r1=1/(a+bz),
z
B
dove a=0.08 e b=0.05 mm-1.
a) Calcolare la capacita’ del condensatore 1 dopo l’inserimento del materiale isolante.
b) Calcolare la carica presente sulle armature del condensatore 1 dopo l’introduzione del materiale isolante.
c) Calcolare la densita’ superficiale delle cariche di polarizzazione sulle due superfici (ovvero, z=0 e z=d) del materiale
isolante.
d) Calcolare la densita’ di volume delle cariche di polarizzazione all’interno del materiale isolante.
y
B) Due fili infinitamente lunghi sono posti a distanza d=10 cm parallelamente all’asse z e
x
passano nei punti P1(-d,0,0) e P2(d,0,0). Essi sono ambedue percorsi da una corrente i=10 A
z
diretta come l’asse z ed uscente dal piano del foglio.
P1
P2
a) Si calcolino le espressioni delle componenti del campo di induzione magnetica B in un
generico punto dell’asse x e dell’asse y.
b) Si determini l’equazione del moto di una particella di massa m e carica -q che si trovi all’istante iniziale in un punto
x<<d, y=0 e z=0 con velocità v0=(0,0,v0>0) e si verifichi che tale moto è di tipo sinusoidale lungo l’asse x e se ne calcoli
la frequenza.
(q=1.010-17 C, m=2.510-25 kg, v0=1.0107 m/s). [Si trascurino gli effetti di irraggiamento e relativisitici sul moto della
carica]
C) All’istante t=0 un filo rettilineo indefinito, percorso da una corrente di intensità i, e
una spira quadrata di lato l=40.0 cm e resistenza R=12.0 Ω, sono disposti come in figura.
Si calcoli:
i) l’intensità massima e il verso di percorrenza della corrente indotta nella spira per t=320 ms,
l
quando la distanza d tra il filo ed il lato più vicino della spira rimane inalterata nel tempo
-1
mentre i varia con la legge i=i0 cos ωt con a=15.0 cm, i0=25.0 A ed ω=350 rad s ;
ii) l’intensità massima e il verso di percorrenza della corrente indotta nella spira per t=320 ms, quando
l’intensità di corrente ha valore costante i0 ma la spira si allontana dal filo, muovendosi di moto
traslatorio con la velocità v=1.50 m/s, che forma un angolo φ=π/6 con il filo;
iii) si ricavi l’espressione del coefficiente di mutua induzione tra i due circuiti, in entrambi i casi i) e ii).
i
a
φ
v
D) Una lastra conduttrice, piana e infinita giacente sul piano y-z, è percorsa da una corrente di densità J 0s=J0z=6.4·104
A/m (in figura uscente dal foglio). Il semispazio x>0 è riempito da un materiale ferromagnetico, la cui permeabilità
x
magnetica relativa, nelle condizioni di campo magnetico in esame, può essere approssimata come  r  x   1  ke  ,
dove k=87 e λ=3.2 m. Il semispazio x<0 è vuoto.
Calcolare:
i) modulo, direzione e verso dei campi B, H e M in funzione di x;
ii) le correnti di magnetizzazione di volume, Jmv e di superficie, Jms;
iii) le circuitazioni di B ed H lungo il percorso quadrato ABCD indicato
D
C
in figura, dove l=25cm è sia il lato del quadrato che la distanza del lato
AD della lastra.
l
l
A
y
x
B
A) a) La capacita’ di C1 puo’ essere determinata a partire dall’espressione del campo elettrico

(variabile lungo l’asse del condensatore, ẑ ) E1   1  0 r1  zˆ   1 a  bz   0 zˆ , essendo
 1  Q1 l 2  la densita’ di carica superficiale sulle armature del condensatore.
La differenza di potenziale tra le armature di C1 e’
0 
0
Q 
1


V (0)  V (d )   E1  dz    1 a  bz   0 dz  1 2  ad  bd 2  ,
2
 0l 

d
d
1


da cui C1  Q1 /V (0)  V (d )   0 l 2  ad  bd 2  =85 pF.
2


b) Poiche’ il sistema di condensatori e’ isolato la carica presente nel sistema si conserva, mentre
varia la caduta di potenziale tra i punti A e B. Siano C1 e C2 (entrambi pari a  0 l 2 d =11 pF) le
capacita’ rispettivamente del condensatore 1 e 2 prima dell’inserimento del materiale isolante. Se
V0 e V0 sono le cadute di potenziale tra A e B prima e dopo l’inserimento del materiale isolante,
la
conservazione
della
carica
da’

V0 C1  C 2   V0 C1  C 2
Q1  C1V0  C1V0 C1  C 2  C1  C 2  =1.8 nC.
c) Si determina prima l’espressione del vettore di polarizzazione elettrica



P   0  r1  1E1   0  r1  1 1 zˆ   1 1  a  bz zˆ da cui si ha

da
cui
 0  r1
 P z  0   Q1 l 2 1  a  =-6.510-7 C/m2 e  P z  d   Q1 l 2 1  a  bd  =5.810-7 C/m2.


 

1  a  bz Q1 l 2  b Q1 l 2 =3.510-5 C/m3.
c) Essendo  P    P si trova che  P  
z
B) a) Componendo le espressioni del campo magnetico generato da un filo infinito percorso da
corrente i si trova che ilncampo è sempre perpendicolare alla direzione dell’asse z e non dipende da
z.


μ i  2y 
2
y
B
 xˆ .
Lungo l’asse y (ovvero x=0 e z=0) si ha B   0  2
2 

2π  d  y 
1
B
 μ i 1
2
1 
x

Lungo l’asse x (ovvero y=0 e z=0) si ha B  0 
 yˆ .
1
P1
P2
2π  x  d x  d 
 μ i  2x 
b) Nel limite x  d (e y=0, z=0) si ha B  0   2  yˆ . La forza di Lorentz agente sulla carica -q
2π  d 
μi 2
è: Fx  qv0 0 2 x , Fy  0 , Fz  0 .
2π d
μi 2
Il moto si svolge nel piano y = 0 e l’equazione del moto è: mx  qv0 0 2 x .
2π d
Mentre la particella procede in direzione z, esegue anche un moto è oscillatorio in x con frequenza:
1 qv0 μ0 i
f 
 64 kHz intorno all’asse z.
2π πmd 2
(Lo stesso comportamento si ottiene quando y  0 e x = 0 se y  d : si ha un moto oscillatorio in y
con stessa frequenza. In generale per x  0 e y  0 purché x  d e y  d si ha la combinazione di
due moti oscillatori intorno all’asse z.)
C) Nel primo caso, in cui la spira sta ferma e la corrente varia nel tempo, la corrente nella spira è
data dalla legge di Faraday-Neumann.
Calcolo del flusso:
d l
 i cos t
 li cos t d  l
.
 B    0 0
ldr  0 0
ln
2r
2
d
d
 li  sin t d  l
ln
 7.58  10 5 sin 350t  A,
Corrente nella spira: i   0 0
2R
d
5
quindi i t  0.32  7.58  10 sin 6417.1  7.58  105 sin 297.1  6.75  105 A. Per il verso
siamo nel IV quadrante quindi i del filo va verso destra, il campo B in corrispondenza della spira
entra nel foglio ed in modulo sta aumentando, quindi il campo indotto deve uscire dal foglio e la
corrente circola in senso antiorario.
Nel secondo caso, in cui la corrente è costante ma la spira si muove, il flusso è dato da:
d  l  v t
0i0
 li 
l 
 , con v  v sin  .
 B   
ldr  0 0 ln 1 
2r
2
 d  v t 
d  v t
lv 
 li d  v  t 2
 l 2i v
1 d
1
 0 0
 0 0 
Corrente nella spira: i  
,
l
R dt
2R 1 
2R d  v  t d  v  t  l 
d  v t
5  10 8
 4.24  108 A. Per il verso, i del filo va verso
0.15  0.75t 0.55  0.75t 
destra, il campo B in corrispondenza della spira entra nel foglio ed in modulo sta diminuendo,
quindi il campo indotto deve entrare anch’esso nel foglio e la corrente circola in senso orario.
 l d l
 1.04  10 7 H; nel
Il coefficiente di induzione nel primo caso è costante e vale: M  0 ln
2
d
l 
l 
0.4


  8.00  108 ln 1 
secondo caso dipende dal tempo e vale: M  0 ln 1 
 H.
2  d  v t 
 0.15  0.75t 
quindi i t  0.32 
D) i) Per calcolare H uso il teorema di Ampere su un circuito quadrato di lato l, posto
simmetricamente a cavallo dell’asse y: per simmetria H deve essere diretto lungo l’asse y e quindi
J
J
H y l  H y l  J 0sl
da cui H y  0 s  3.2  10 4 A/m per x>0 e H y   0 s  3.2  104 A/m
2
2
per x<0.
J
Per x<0 si ha B y  0 H y   0 0 s  4.0  10 2 T e M  0 .
2
x
x
0 1  ke  
ke 


J 0s
Per x>0 si ha B y  0  r H y 
J 0 s e M y  H y 
2
2
ii) Per le correnti di magnetizzazione si ha:
k
J ms  M y ( x  0)  n  J 0 s zˆ  2.8  10 6 A/m,
2
x

kJ  x

  ke 
J mv    M y 
My 
J 0 s    0 s e  zˆ

x
x  2
2


Si possono verificare i risultati precedenti facendo l’integrale


kJ 0 s  x 
k
e dx   J 0 s   J ms
2
2
0
0
iii) Per il teorema di Ampere la circuitazione di H deve essere zero in quanto il circuito non
contiene correnti macroscopiche. La circuitazione di B si può ottenere in due modi: usando la
definizione di circuitazione oppure il teorema di Ampere. Secondo la definizione di circuitazione,
essendo
nullo
il
contributo
del
lati
perpendicolari
alla
lastra,
si
ha
2l
l
0k


 B  dl lBx  2l   Bx  l   2 J 0 s  e   e    0.24 Wb/m
Per il teorema di Ampere:
2l
2l
k
lk
x
2 l
l

B

dl

J
dxdy

l
J
dx


J
dx  0 J 0 s  e   e  
0s  e

 mv
l mv


2
2
l
 J mv dx  