Compito scritto di Elettricità e Magnetismo e Elettromagnetismo
16 Settembre 2004
Prova scritta di Elettricità e Magnetismo: esercizi A e B in tre ore
Prova scritta di Elettromagnetismo: esercizi C e D in tre ore
Prova scritta di Elettricità e Magnetismo ed Elettromagnetismo: esercizi A, B e C in quattro ore
A
A) Due condensatori piani uguali con armature quadrate (di lato l=5.0 cm) e aventi distanza tra le
C1
C2
armature d=2.0 mm sono collegati come mostrato in figura. La differenza di potenziale tra i punti
0
A e B vale V0=90 V. Mantenendo il sistema dei due condensatori isolato, il condensatore 1 viene
d
riempito completamente con un materiale isolante a densita’ variabile lungo l’asse z indicato in
figura. Di conseguenza la costante dielettrica dell’isolante varia secondo la legge r1=1/(a+bz),
z
B
dove a=0.08 e b=0.05 mm-1.
a) Calcolare la capacita’ del condensatore 1 dopo l’inserimento del materiale isolante.
b) Calcolare la carica presente sulle armature del condensatore 1 dopo l’introduzione del materiale isolante.
c) Calcolare la densita’ superficiale delle cariche di polarizzazione sulle due superfici (ovvero, z=0 e z=d) del materiale
isolante.
d) Calcolare la densita’ di volume delle cariche di polarizzazione all’interno del materiale isolante.
y
B) Due fili infinitamente lunghi sono posti a distanza d=10 cm parallelamente all’asse z e
x
passano nei punti P1(-d,0,0) e P2(d,0,0). Essi sono ambedue percorsi da una corrente i=10 A
z
diretta come l’asse z ed uscente dal piano del foglio.
P1
P2
a) Si calcolino le espressioni delle componenti del campo di induzione magnetica B in un
generico punto dell’asse x e dell’asse y.
b) Si determini l’equazione del moto di una particella di massa m e carica -q che si trovi all’istante iniziale in un punto
x<<d, y=0 e z=0 con velocità v0=(0,0,v0>0) e si verifichi che tale moto è di tipo sinusoidale lungo l’asse x e se ne calcoli
la frequenza.
(q=1.010-17 C, m=2.510-25 kg, v0=1.0107 m/s). [Si trascurino gli effetti di irraggiamento e relativisitici sul moto della
carica]
C) All’istante t=0 un filo rettilineo indefinito, percorso da una corrente di intensità i, e
una spira quadrata di lato l=40.0 cm e resistenza R=12.0 Ω, sono disposti come in figura.
Si calcoli:
i) l’intensità massima e il verso di percorrenza della corrente indotta nella spira per t=320 ms,
l
quando la distanza d tra il filo ed il lato più vicino della spira rimane inalterata nel tempo
-1
mentre i varia con la legge i=i0 cos ωt con a=15.0 cm, i0=25.0 A ed ω=350 rad s ;
ii) l’intensità massima e il verso di percorrenza della corrente indotta nella spira per t=320 ms, quando
l’intensità di corrente ha valore costante i0 ma la spira si allontana dal filo, muovendosi di moto
traslatorio con la velocità v=1.50 m/s, che forma un angolo φ=π/6 con il filo;
iii) si ricavi l’espressione del coefficiente di mutua induzione tra i due circuiti, in entrambi i casi i) e ii).
i
a
φ
v
D) Una lastra conduttrice, piana e infinita giacente sul piano y-z, è percorsa da una corrente di densità J 0s=J0z=6.4·104
A/m (in figura uscente dal foglio). Il semispazio x>0 è riempito da un materiale ferromagnetico, la cui permeabilità
x
magnetica relativa, nelle condizioni di campo magnetico in esame, può essere approssimata come r x 1 ke ,
dove k=87 e λ=3.2 m. Il semispazio x<0 è vuoto.
Calcolare:
i) modulo, direzione e verso dei campi B, H e M in funzione di x;
ii) le correnti di magnetizzazione di volume, Jmv e di superficie, Jms;
iii) le circuitazioni di B ed H lungo il percorso quadrato ABCD indicato
D
C
in figura, dove l=25cm è sia il lato del quadrato che la distanza del lato
AD della lastra.
l
l
A
y
x
B
A) a) La capacita’ di C1 puo’ essere determinata a partire dall’espressione del campo elettrico
(variabile lungo l’asse del condensatore, ẑ ) E1 1 0 r1 zˆ 1 a bz 0 zˆ , essendo
1 Q1 l 2 la densita’ di carica superficiale sulle armature del condensatore.
La differenza di potenziale tra le armature di C1 e’
0
0
Q
1
V (0) V (d ) E1 dz 1 a bz 0 dz 1 2 ad bd 2 ,
2
0l
d
d
1
da cui C1 Q1 /V (0) V (d ) 0 l 2 ad bd 2 =85 pF.
2
b) Poiche’ il sistema di condensatori e’ isolato la carica presente nel sistema si conserva, mentre
varia la caduta di potenziale tra i punti A e B. Siano C1 e C2 (entrambi pari a 0 l 2 d =11 pF) le
capacita’ rispettivamente del condensatore 1 e 2 prima dell’inserimento del materiale isolante. Se
V0 e V0 sono le cadute di potenziale tra A e B prima e dopo l’inserimento del materiale isolante,
la
conservazione
della
carica
da’
V0 C1 C 2 V0 C1 C 2
Q1 C1V0 C1V0 C1 C 2 C1 C 2 =1.8 nC.
c) Si determina prima l’espressione del vettore di polarizzazione elettrica
P 0 r1 1E1 0 r1 1 1 zˆ 1 1 a bz zˆ da cui si ha
da
cui
0 r1
P z 0 Q1 l 2 1 a =-6.510-7 C/m2 e P z d Q1 l 2 1 a bd =5.810-7 C/m2.
1 a bz Q1 l 2 b Q1 l 2 =3.510-5 C/m3.
c) Essendo P P si trova che P
z
B) a) Componendo le espressioni del campo magnetico generato da un filo infinito percorso da
corrente i si trova che ilncampo è sempre perpendicolare alla direzione dell’asse z e non dipende da
z.
μ i 2y
2
y
B
xˆ .
Lungo l’asse y (ovvero x=0 e z=0) si ha B 0 2
2
2π d y
1
B
μ i 1
2
1
x
Lungo l’asse x (ovvero y=0 e z=0) si ha B 0
yˆ .
1
P1
P2
2π x d x d
μ i 2x
b) Nel limite x d (e y=0, z=0) si ha B 0 2 yˆ . La forza di Lorentz agente sulla carica -q
2π d
μi 2
è: Fx qv0 0 2 x , Fy 0 , Fz 0 .
2π d
μi 2
Il moto si svolge nel piano y = 0 e l’equazione del moto è: mx qv0 0 2 x .
2π d
Mentre la particella procede in direzione z, esegue anche un moto è oscillatorio in x con frequenza:
1 qv0 μ0 i
f
64 kHz intorno all’asse z.
2π πmd 2
(Lo stesso comportamento si ottiene quando y 0 e x = 0 se y d : si ha un moto oscillatorio in y
con stessa frequenza. In generale per x 0 e y 0 purché x d e y d si ha la combinazione di
due moti oscillatori intorno all’asse z.)
C) Nel primo caso, in cui la spira sta ferma e la corrente varia nel tempo, la corrente nella spira è
data dalla legge di Faraday-Neumann.
Calcolo del flusso:
d l
i cos t
li cos t d l
.
B 0 0
ldr 0 0
ln
2r
2
d
d
li sin t d l
ln
7.58 10 5 sin 350t A,
Corrente nella spira: i 0 0
2R
d
5
quindi i t 0.32 7.58 10 sin 6417.1 7.58 105 sin 297.1 6.75 105 A. Per il verso
siamo nel IV quadrante quindi i del filo va verso destra, il campo B in corrispondenza della spira
entra nel foglio ed in modulo sta aumentando, quindi il campo indotto deve uscire dal foglio e la
corrente circola in senso antiorario.
Nel secondo caso, in cui la corrente è costante ma la spira si muove, il flusso è dato da:
d l v t
0i0
li
l
, con v v sin .
B
ldr 0 0 ln 1
2r
2
d v t
d v t
lv
li d v t 2
l 2i v
1 d
1
0 0
0 0
Corrente nella spira: i
,
l
R dt
2R 1
2R d v t d v t l
d v t
5 10 8
4.24 108 A. Per il verso, i del filo va verso
0.15 0.75t 0.55 0.75t
destra, il campo B in corrispondenza della spira entra nel foglio ed in modulo sta diminuendo,
quindi il campo indotto deve entrare anch’esso nel foglio e la corrente circola in senso orario.
l d l
1.04 10 7 H; nel
Il coefficiente di induzione nel primo caso è costante e vale: M 0 ln
2
d
l
l
0.4
8.00 108 ln 1
secondo caso dipende dal tempo e vale: M 0 ln 1
H.
2 d v t
0.15 0.75t
quindi i t 0.32
D) i) Per calcolare H uso il teorema di Ampere su un circuito quadrato di lato l, posto
simmetricamente a cavallo dell’asse y: per simmetria H deve essere diretto lungo l’asse y e quindi
J
J
H y l H y l J 0sl
da cui H y 0 s 3.2 10 4 A/m per x>0 e H y 0 s 3.2 104 A/m
2
2
per x<0.
J
Per x<0 si ha B y 0 H y 0 0 s 4.0 10 2 T e M 0 .
2
x
x
0 1 ke
ke
J 0s
Per x>0 si ha B y 0 r H y
J 0 s e M y H y
2
2
ii) Per le correnti di magnetizzazione si ha:
k
J ms M y ( x 0) n J 0 s zˆ 2.8 10 6 A/m,
2
x
kJ x
ke
J mv M y
My
J 0 s 0 s e zˆ
x
x 2
2
Si possono verificare i risultati precedenti facendo l’integrale
kJ 0 s x
k
e dx J 0 s J ms
2
2
0
0
iii) Per il teorema di Ampere la circuitazione di H deve essere zero in quanto il circuito non
contiene correnti macroscopiche. La circuitazione di B si può ottenere in due modi: usando la
definizione di circuitazione oppure il teorema di Ampere. Secondo la definizione di circuitazione,
essendo
nullo
il
contributo
del
lati
perpendicolari
alla
lastra,
si
ha
2l
l
0k
B dl lBx 2l Bx l 2 J 0 s e e 0.24 Wb/m
Per il teorema di Ampere:
2l
2l
k
lk
x
2 l
l
B
dl
J
dxdy
l
J
dx
J
dx 0 J 0 s e e
0s e
mv
l mv
2
2
l
J mv dx
